A全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法

1、八年级上册 同学当堂检测 我的个性化教案 手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点 结论：（1）abd aec （2）+boc=180° （3）oa平分boc变形： 例1.如图在直线的同一侧作两个等边三角形与，连结与，证明（1）(2)(3) 与之间的夹角为(4)(5)(6) 平分(7)变式精练1：如图两个等边三角形与，连结与，证明（1）（2）（3） 与之间的夹角为（4） 与的交点设为,平分变式精练2：如图两个等边三角形与，连结与，证明（1）(2）(3） 与之间的夹角为(4） 与的交点设为,平分例2：如图，两个正方形与,连结,二者相交于

2、点问：（1）是否成立？（2） 是否与相等？（3） 与之间的夹角为多少度？（4） 是否平分？例3：如图两个等腰直角三角形与，连结,二者相交于点问：（1）是否成立？（2）是否与相等？（3）与之间的夹角为多少度？（4）是否平分？例4：两个等腰三角形与，其中,连结与，问：（1）是否成立？（2）是否与相等？（3）与之间的夹角为多少度？（4）是否平分？例5：如图，点a. b. c在同一条直线上，分别以ab、bc为边在直线ac的同侧作等边三角形abd、bce.连接ae、dc，ae与dc所在直线相交于f，连接fb.判断线段fb、fe与fc之间的数量关系，并证明你的结论。【练1】如图，三角形abc和三

3、角形cde都是等边三角形，点a,e,d,同在一条直线上，且角ebd=62°，求角aeb的度数 倍长与中点有关的线段倍长中线类考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线 abc中 方式1： 延长ad到e， ad是bc边中线 使de=ad， 连接be 方式2：间接倍长 作cfad于f， 延长md到n， 作bead的延长线于e 使dn=md，连接be 连接cd【例1】 已知：中，是中线求证：【练1】在中

4、，则边上的中线的长的取值范围是什么？【练2】如图所示，在的边上取两点、，使，连接、，求证：【练3】如图，在等腰三角形abc中，ab=ac，d是ab上一点，f是ac延长线上的一点，且bd=cf，连结df交bc于e求证：de=ef(倍长中线、截长补短)【例2】 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，求证：【练1】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：【练2】如图，在abc中，ab>ac，e为bc边的中点，ad为bac的平分线，过e作ad的平行线，交ab于f，交ca的延长线于g. 求证：bf=cg.【练3】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，

5、若，求证：为的角平分线【练4】如图所示，已知中，平分，、分别在、上，求证：【例3】已知为的中线，的平分线分别交于、交于求证：【练1】在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足若，则线段的长度为_【练2】如图，abc中，ab=2ac，ad平分bc且adac，则bac=_.【练3】在中，点为的中点，点、分别为、上的点，且（1）若，以线段、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？（2）如果，求证【例4】如图，等腰直角与等腰直角，为中点，连接、.探究、的关系.（证角相等方法）【练1】如图，两个正方形和，点为的中点，连接交于点.探究与的数量关系和位置关系.（证角相等方法

6、）【练2】如图，在中，是边的中线.求证：【例5】如图所示，在中，延长到，使，为的中点，连接、，求证【练1】已知中，为的延长线，且，为的边上的中线求证：【练2】如图,cb、cd分别是钝角aec和锐角abc中线,且ac=ab,acb=abc.求证ce=2cd.【例16】如图，两个正方形和，点为的中点，连接交于点.探究与的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用）【练1】已知：如图，正方形和正方形，点是线段的中点. 试说明线段与数量关系和关系. 如图，若将上题中正方形绕点顺时针旋转度数（），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.全等之截长补短：人教八年级上

7、册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，全等)【例10】 如图所示，中，ad平分交bc于d。求证：ab=ac+cd。【练1】如图所示，在中，的角平分线ad、ce相交于点o。求证：ae+cd=ac。【练2】已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明 【练2】如图,在四边形abcd中,adbc，ae平分bad交dc于点e，连接be，且aebe，求证：ab=ad+bc.【练3

8、】已知：如图,在abc中,a=90，ab=ac，bd是abc的平分线。求证：bc=ab+ad.【练4】点m，n在等边三角形abc的ab边上运动，bd=dc，bdc=120°，mdn=60°，求证mn=mb+nc 【例11】已知如图所示，在abc中,ad是角平分线,且ac=ab+bd,试说明b=2c（不只是边，倍角也适用）【练1】如图，在abc中，abac，bdac交ac于点d求证：dbcbac【例12】如图所示，已知，p为bn上一点，且于d，ab+bc=2bd，求证：。【练1】如图，在四边形abcd中，bcba, adcd，bd平分， 求证： 【例13】如图所示，在中，ab

9、=ac，ce垂直于bd的延长线于e。求证：bd=2ce。【练1】已知：如图示，在rtabc中，a=90°，abc=2c，bd是abc的平分线求证：cd=2ad【练2】如图所示，在中，ad为的平分线，=30，于e点，求证：ac-ab=2be。【练3】正方形abcd,e是bc上一点,aeef,交dch的平分线于点f，求证ae=ef【练4】已知在abc中，ab=ac，d在ab上，e在ac的延长线上，de交bc于f，且df=ef，求证：bd=ce【例14】如图所示，已知/cd，的平分线恰好交于ad上一点e，求证：bc=ab+cd。【练1】如图，已知adbc，pab的平分线与cba的平分线相交

10、于e，ce的连线交ap于d求证：ad+bc=ab【练2】如图，在正方形abcd中，f是cd的中点，e是bc边上的一点，且af平分dae，求证：ae=ec+cd【练3】在abc中，ad是bc边上的高，b=2c求证：cd=ab+bd【练4】如图所示,在三角形abc中,acb=90°,ac=bc,d为三角形abc外一点,且adbd,deac交ac的延长线于点e.试探求ed、ae和bc之间有何数量关系 【练5】在四边形abcd中，abdc，e为bc边的中点，bae=eaf，af与dc的延长线相交于点f。试探究线段ab与af、cf之间的数量关系，并证明你的结论【例15】如图在abc中，abac

11、，12，p为ad上任意一点，求证：ab-acpb-pcd a 12 p b c【练1】已知为的中线，的平分线分别交于、交于 求证：如图，e是的平分线上一点，垂足为c、d。求证：（1）oc=od； （2）df=cf。 构造等边三角形1、如图,已知abc中,ab=ac,d是cb延长线上一点,adb=60，e是ad上一点，且有de=db.求证：ae=be+bc.2、在等腰中，顶角，在边上取点，使，求. 练习1、如图,在abc中,acb=90°,be平分abc,deab于d,如果ac=3cm,那么ae+de等于a、2cmb、3cmc、4cmd、5cmabcda'b'c'

12、;d'练习2、在abc和a'b'c'中,ab=a'b',ac=a'c',点d,d'分别是bc,b'c'的中点,且ad=a'd',证眀：.（倍长中线）练习3、如图，在abc中，be是abc的角平分线，adbe，垂足为d，求证：2=1+c练习4、如图（1），已知abc中，bac=90°，ab=ac，ae是过a的一条直线，且b、c在a、e的异侧，bdae于d，ceae于e（1）试说明：bd=de+ce（2）若直线ae绕a点旋转到图（2）位置时（bdce），其余条件不变，问bd与de、ce

13、的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线ae绕a点旋转到图（3）位置时（bdce），其余条件不变，问bd与de、ce的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由如图所示，在rtabc中，abac，bac90°，有过a的任一条直线an，bdan于d，cean于e，求证：debdce（思路：截长补短法）如图,在abc中,ab=ac,d是三角形外一点,且abd=60,bd+dc=ab.求证：acd=60.（截长补短）1、如图，等腰直角与等腰直角，为中点，连接、.探究、的关系.（辅助线的连法都一样）2、已知：如图，正方形和正方形，点是线段的中点. 试说明线段与数量关系和关系.（辅助线的连法都一样

14、） 如图，若将上题中正方形绕点顺时针旋转度数（），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.3、已知为的中线，的平分线分别交于、交于 求证：（辅助线的连法都一样）【阅读理解】已知：如图1，等腰直角三角形abc中，b=90°，ad是角平分线，交bc边于点d求证：ac=ab+bd证明：如图1，在ac上截取ae=ab，连接de，则由已知条件易知：rtadbrtade（aas）aed=b=90°，de=db又c=45°，dec是等腰直角三角形de=ecac=ae+ec=ab+bd【解决问题】已知，如图2，等腰直角三角形abc中，b=90°，ad是bac的平分线，交bc边于点d，deac，垂足为e，若ab=2，则三角形dec的周长为 【数学思考】：现将原题中的“ad是内角平分线，交bc边于点d”换成“ad是外角平分线，交bc边的延长线于点d如图3”，其他条件不变，请你猜想线段ac、ab、b