积分例题精选干货

1、积分例题2020-12-242例例5 计算下列积分计算下列积分(1) 2.( ).21d (2)d (3)dxxxxxex解解 (1)22 dln 2xxxc(3). deexxxc11111( ) d( )( )122ln 2 2ln2xxxxcc (2)2020-12-243例1. 设曲线通过点(1,2), 且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程求此曲线的方程.解解: xy2xxyd2cx 2所求曲线过点所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有故有c2121 c因此所求曲线为因此所求曲线为12 xyyxo)2, 1 (积

2、分常数的确定2020-12-244例例2 2 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根据积分公式（根据积分公式（2）cxdxx 11 2020-12-245例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx2020-12-246例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xf

3、y 根据题意知根据题意知, x2y ,cxxdx2y2 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1 c所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy2020-12-247基基本本积积分分表表 kckxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 cxdxx;c|x|lnxdx)3( 3.基本积分公式基本积分公式 dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx 2020-12-248由不定积分的定义，可知有如下由不定积分的定义，可知有如下性质性质14.不定积分的性质不定积分的性质 dx)x(g)x( f )1(;)()( dxxgdxxf dx)x( fadx)x(a

4、f0a )2(例例 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 c 2020-12-249一、一、 填空题：填空题：1 1、 一个已知的函数，有一个已知的函数，有_个原函数，其中任意个原函数，其中任意两个的差是一个两个的差是一个_；2 2、 )(xf的的_称为称为)(xf的不定积分；的不定积分；3 3、 把把)(xf的一个原函数的一个原函数)(xf的图形叫做函数的图形叫做函数)(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xfy ，这样不定积，这样不定积 dxxf)(在几何上就表示在几何上就表示_，它的方程是

5、，它的方程是 cxfy )(；4 4、 由由)()(xfxf 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族可 知 ， 在 积 分 曲 线 族cxfy )( )(是是任任意意常常数数c上横坐标相同的点上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是处作切线，这些切线彼此是_的；的；5 5、 若若)(xf在某区间上在某区间上_，则在该区间上，则在该区间上)(xf的的 原函数一定存在；原函数一定存在；练习题练习题2020-12-24106 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .2020-12-24

6、11一、一、1 1、无穷多、无穷多, ,常数；常数； 2 2、全体原函数；、全体原函数； 3 3、积分曲线、积分曲线, ,积分曲线族；积分曲线族； 4 4、平行；、平行； 5 5、连续；、连续； 6 6、cx 2552； 7 7、 cx 2332； 8 8、cxxx 223323； 9 9、cxxxx 2325332523、 1010、cxxx 252352342. .练习题答案练习题答案2020-12-2412 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 2020-12-2413例例1

7、 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx2020-12-2414例例3 设曲线通过点设曲线通过点(1,2), 且其上任一点处的且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线求此曲线方程方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy ,22 cxxdx,)(2cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1 1，2 2）, 1 c所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy)(xfx2即即是是的一个原函数的一个原函数. .20

8、20-12-2415 dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx 2020-12-24161. (3cos )xex dx 2. 2xxe dx (2 )xe dx (2 )ln(2 )xece(2 )ln21xec 3 cosxe dxxdxsinxexc 2020-12-2417例例5 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarcta

9、n3 xarcsin2 c 2020-12-2418例例6 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112arctanln.xxc 提示：提示：(3)ln;dxxcx 2020-12-2419说明：说明： , 0 x,ln cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( cxxdx,|ln cxxdx(3)ln;dxxcx 2020-12-2420例例7 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 2020-12-2421 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .答案：答案：2020-12-2422例例 求积分求积分(1+x3)2dx。解解dxxxdxx)21 ()1 (63