正弦定理与余弦定理的综合应用

1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。正弦定理与余弦定理的综合应用(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5p16练习1改编)在abc中，若sin asin bsin c=7813，则cos c=.【答案】-【解析】由正弦定理知abc=7813，再由余弦定理得cos c=-.2.(必修5p24复习题1改编)在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c.若a2-b2=bc，sinc=2sinb，则角a=.【答案】【解析】由sinc=2sinb得c=2b，代入a2-b2=bc得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a=b，所以cosa=，所以角a=.3.(必修5p20练习

2、3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔p的南偏西75°方向、距塔68 n mile的m处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处，则这只船的航行速度为n mile/h.(第3题)【答案】4.(必修5p26本章测试7改编)设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.若asin a+csin c-asin c=bsin b，则角b=.【答案】45°【解析】由正弦定理得a2+c2-ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2accos b，故cos b=，因此b=45°.5.(必修5p19例4改编)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c

3、，若a，b，c成等比数列，则角b的取值范围为.【答案】【解析】因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，所以cos b=，因为0<b<，所以0<b.1.测量问题的有关名词(1)仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角.(2)方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30°，南偏西45°.(3)方位角：是指北方向线顺时针转到目标方向线的角.(4)坡角：是指坡面与水平面所成的角.(5)坡比：是指坡面的铅直高度与水平宽度之比.2.求解三角形实际问题的基本步骤(1

4、)分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图；(2)建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解.【要点导学】要点导学各个击破利用正、余弦定理解常见的三角问题例1(2016·苏北四市期中)在锐角三角形abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知b=4，c=6，且asin b=2.(1)求角a的大小；(2)若d为bc的中点，求线段ad的长.【解答】(1)由正弦定理，得asinb=bsina.因为b=4，asin b=2，所以sin a=

5、.又0<a<，所以a=.(2)若b=4，c=6，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a=16+36-2×24×=28，所以a=2.又因为asin b=2，所以sin b=，所以cos b=.因为d为bc的中点，所以bd=dc=.在abd中，由余弦定理，得ad2=ab2+bd2-2ab·bd·cos b，即ad2=36+7-2×6××=19，所以ad=.变式(2015·全国卷)已知a，b，c分别是abc的内角a，b，c的对边，且sin2b=2sin asin c.(1)若a=b，求cos b的值；

6、(2)若b=90°，且a=，求abc的面积.【解答】(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又因为a=b，所以b=2c，a=2c，由余弦定理可得cos b=.(2)由(1)知b2=2ac.因为b=90°，由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac，得c=a=.所以abc的面积为1.【精要点评】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择变形的方向.实际问题中解三角形例22011年5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部，造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难，美国救援队随时待命进行救援.如图(1)，某天，信息

7、中心在a处获悉：在其正东方向相距80 n mile的b处有一艘客轮遇险，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40 n mile的c处的救援船，救援船立即朝北偏东角的方向沿直线cb前往b处救援.(例2(1)(1)若救援船的航行速度为60 n mile/h，求救援船到达客轮遇险位置的时间(2.646，结果保留两位小数)；(2)求tan 的值.【思维引导】(1)把问题转化为三角形中的边角关系，因此本题的关键是找出图中的角和边，利用余弦定理求出bc即可解决；(2)首先利用正弦定理求出sinacb，然后利用同角基本关系求出tan acb，再利用两角和的正切公式即可得出结

8、果.(例2(2)【解答】(1)如图(2)，在abc中，ab=80，ac=40，bac=120°，由余弦定理可知bc2=ab2+ac2-2ab·ac·cos 120°，即bc=40，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为40÷60=1.76 (h).(2)在abc中，由正弦定理可得=，则sin acb=·sin bac=.显然acb为锐角，故cos acb=，tan acb=，而=acb+30°.所以tan =tan(acb+30°)=.变式如图，某海岛上一观察哨a在上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的c处

9、，12时20分测得该轮船在海岛北偏西60°的b处，12时40分，该轮船到达海岛正西方5 km的e港口，若该轮船始终匀速前进，求该轮船的速度.(变式)【解答】设abe=，船的速度为v km/h，则bc=v，be=v，在abe中，=，即sin =.在abc中，=，即ac=.在ace中，=25+-2×5××cos 150°，化简得v2=25+100=，即v2=93，所以v=.故船速为 km/h.例3(2015·苏锡常镇、宿迁一调)如图，有一段河流，河的一侧是以o为圆心、半径为10 m的扇形区域ocd，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟

10、囱ab(不计b离河岸的距离)，且ob的连线恰好与河岸l垂直，设ob与圆弧的交点为e.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点c，点o和点e处测得烟囱ab的仰角分别为45°，30°和60°.(例3)(1)求烟囱ab的高度；(2)如果要在ce间修一条直路，求ce的长.【思维引导】一要理解这是一个立体图形，若设ab=h m，在rtabe中，aeb=60°，可求得eb=h.(1)在rtabo中，aob=30°，ob=h，由oe=10，可求出ab.(2)在rtabc中，acb=45°，bc=ab，在cbo中，求出cos cob，在ceo中，求

11、ce的长.【解答】(1)设ab的高度为h m.在cab中，因为acb=45°，所以cb=h.在oab和eab中，因为aob=30°，aeb=60°，所以ob=h，eb=h.由题意得h-=10，解得h=15.答：烟囱的高度为15 m.(2)在obc中，oc=10 m，ob=15 m，bc=15 m，所以cos cob=，所以在oce中，oc=10 m，oe=10 m，所以ce2=oc2+oe2-2oc·oecos coe=300+300-600×=100.答：ce的长为10 m.变式(2015·苏锡常镇三模)如图(1)，甲船从a处以每小

12、时30 n mile的速度沿正北方向航行，乙船在b处沿固定方向匀速航行，b在a南偏西75°方向且与a相距10 n mile 处.当甲船航行20 min到达c处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的d处，此时两船相距10 n mile.(变式(1)(1)求乙船每小时航行多少海里?(2)在c处的北偏西30°方向且与c相距 n mile处有一个暗礁e，暗礁e周围 n mile范围内为航行危险区域.问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险?如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险?如无危险，请说明理由.(变式(2)【解答】(1)如图(2)，连接ad，由题知cd=10，

13、ac=×30=10，acd=60°，所以acd为等边三角形，所以ad=10，又因为dab=45°，在abd中，由余弦定理得bd2=ad2+ab2-2ab×adcos 45°=100，bd=10，v=10×3=30(n mile/h).答：乙船的速度为每小时30 n mile.(2)在海平面内，以点b为原点，分别以东西方向作x轴，以南北方向作y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.危险区域在以e为圆心，半径为r=的圆内，因为dab=dba=45°，易知直线bd的方程为y=x，e的横坐标为abcos 15°-cesin 3

14、0°，纵坐标为absin 15°+cecos 30°+ac，求得a(5+5，5-5)，c(5+5，5+5)，e，点e到直线bd的距离为d1=1<，故乙船有危险；点e到直线ac的距离为d2=>，故甲船没有危险.以e为圆心，半径为的圆截直线bd所得的弦长为l=2=2，所以乙船遭遇危险持续时间t=(h).答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险开始持续 h后脱险.解三角形中的不等关系微课9 典型示例例4如图，在等腰直角三角形opq中，poq=90°，op=2，点m在线段pq上.(例4)(1)若om=，求pm的长；(2)若点n在线段mq上，且mon

15、=30°，问：当pom取何值时，omn的面积最小?并求出面积的最小值.【思维导图】【规范解答】(1)在omp中，p=45°，om=，op=2.由余弦定理，得om2=op2+pm2-2×op×pm×cos 45°，得pm2-4pm+3=0，解得pm=1或pm=3.(2)设pom=，0°60°，在omp中，由正弦定理，得=，所以om=，同理on=，故somn=×om×on×sin mon=×=.因为0°60°，所以30°2+30°150&#

16、176;.所以当=30°时，sin(2+30°)取得最大值为1，此时omn的面积取得最小值，即pom=30°时，omn的面积最小，其最小值为8-4. 总结归纳(1)求最值首先选择适当的变量作为自变量，若动点在圆上，则选择圆心角为自变量，三角形(特别是直角三角形)中常选择一锐角为自变量，最关键的是列出解析式.(2)若角是自变量，常把解析式化为f(x)=asin(x+)+b的形式，求得最值. 题组强化1.若abc的内角满足sin a+sin b=2sin c，则cos c的最小值是.【答案】【解析】由sin a+sin b=2sin c及正弦定理可得a+b=2c，所以

17、cos c=，当且仅当3a2=2b2，即=时等号成立，所以cos c的最小值为.2.在锐角三角形abc中，已知a=2b，则的取值范围是.【答案】()【解析】因为a+b+c=180°，a=2b，abc为锐角三角形，所以30°<b<45°，所以=2cos b().3.已知线段ab外有一点c，abc=60°，ab=200 km，汽车以80 km/h的速度由a向b行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由b向c行驶，则运动开始h后，两车的距离最小.(第3题)【答案】【解析】如图，设t h后，汽车由a行驶到d，摩托车由b行驶到e，则ad=80t，be=5

18、0t.因为ab=200，所以bd=200-80t，问题就转化为求de最小时t的值.由余弦定理，得de2=bd2+be2-2bd·becos 60°=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t=12 900t2-42 000t+40 000.当t=时，de最小.4.(2015·苏州调查)如图，有两条相交成60°角的直路x'x，y'y，交点为o，甲、乙两人分别在ox，oy上，甲的起始位置与点o相距3 km，乙的起始位置与点o相距1km.后来甲沿xx'的方向、乙沿yy'的方向同时以4 km/h的速

19、度步行.(第4题)(1)求甲、乙在起始位置时两人之间的距离；(2)设t h后甲、乙两人的距离为d(t)，写出d(t)的表达式，当t为何值时，甲、乙两人之间的距离最短?并求出两人之间的最短距离.【解答】(1)由余弦定理，得起初两人的距离为=(km).(2)设t h后两人的距离为d(t)，则当0t时，d(t)=；当t>时，d(t)=；当<t时，d(t)=.所以d(t)= (t0)，当t=时，两人的距离最短，且为 km.答：当t=时，两人的距离最短为 km.1.(2015·北京卷)在abc中，已知a=3，b=，a=，则角b=.【答案】【解析】由正弦定理，得=，即=，所以sin

20、b=，因为b<a，所以角b=.2.(2016·苏州期中)在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，若tan a=2tan b，a2-b2=c，则c=.【答案】1【解析】由已知及正、余弦定理知，tan a=2tan b=3a2-3b2=c2，又a2-b2=c，所以c2-c=0，解得c=1或c=0(舍去)，故c=1.3.为了测量塔ab的高度，先在塔外选择和塔脚在一条水平直线上的三点c，d，e，测得仰角分别为，2，4，cd=30 m，de=10 m，则=，塔高ab=m.【答案】15°15(第3题)【解析】如图，设塔脚为b，由题意得ade=2acd=2，可知acd为等腰

21、三角形，所以ad=30，同理ade也是等腰三角形，ae=10，在ade中，cos 2=，所以2=30°，所以=15°，ab=aesin 4=aesin 60°=10×=15(m).4.(2015·南京、盐城、徐州二模)如图，在abc中，d是bc上的一点.已知b=60°，ad=2，ac=，dc=，则ab=.(第4题)【答案】【解析】在acd中，因为ad=2，ac=，dc=，所以cos adc=-，从而adc=135°，所以adb=45°.在adb中，=，所以ab=.5.(2015·苏州期末)如图，某生态园将

22、三角形地块abc的一角apq开辟为水果园种植桃树，已知角a为120°，ab，ac的长度均大于200 m，现在边界ap，aq处建围墙，在pq处围竹篱笆.(第5题)(1)若围墙ap，aq的总长度为200 m，问：如何围可使得三角形地块apq的面积最大?(2)已知ap段围墙高1 m，aq段围墙高1.5 m，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省?【解答】(1)设ap=x m，aq=y m，则x+y=200，x>0，y>0.apq的面积s=xysin 120°=xy.因为xy=10 000，当且仅当x=y=100时取等号.所以当

23、ap=aq=100 m时，可使三角形地块apq的面积最大.(2)由题意得100×(1×x+1.5×y)=20 000，即x+1.5y=200.在apq中，pq2=x2+y2-2xycos 120°=x2+y2+xy，即pq2=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40 000，其中0<y<.则当y=，x=时，pq2取得最小值，从而pq也取得最小值.所以当ap= m，aq= m时，可使竹篱笆用料最省.【融会贯通】融会贯通能力提升已知在锐角三角形abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且tan c=

24、.(1)求角c的大小；(2)当c=1时，求a2+b2的取值范围.【思维引导】【规范解答】(1) 由已知及余弦定理，得=，所以sin c=. 2分因为c为锐角，所以c=30°.4分(2)由正弦定理，得=2， 5分所以a=2sin a，b=2sin b=2sin(a+30°).a2+b2=4sin2a+sin2(a+30°)=4=4=4-3cos 2a+sin 2a=4+2sin(2a-60°).8分由得60°<a<90°，10分所以60°<2a-60°<120°，<sin(2a

25、-60°)1 .12分所以7<a2+b24+2.所以a2+b2的取值范围是(7，4+2.14分【精要点评】三角形有六个基本元素，即三条边和三个角，解三角形最主要的就是将六个基本元素化为已知的过程，一般要用正、余弦定理等工具，但选用怎样的公式，如何转化分析，要总结经验和规律.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第6364页.【检测与评估】第32课正弦定理与余弦定理的综合应用一、 填空题 1.轮船a和轮船b在中午12时离开海港c，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船a的航行速度是25 n mile/h，轮船b的航行速度是15 n mile/h，

26、下午2时两船之间的距离为. 2.小明同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点a处望见电视塔s在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点b处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点b时与电视塔s的距离是.3.如图，要测量河对岸a，b两点之间的距离，今沿河岸选取相距40 m的c，d两点，测得acb=60°，bcd=45°，adb=60°，adc=30°，则ab的距离为m.(第3题) 4.已知abc的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为.5.如图，当甲船位于a处时获悉，在其正东方向、相距

27、20 n mile的b处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10 n mile的c处的乙船.设乙船朝北偏东度的方向沿直线前往b处救援，则sin =. (第5题)6.如图，在abc中，已知点d在边bc上，adac，sinbac=，ab=3，ad=3，那么bd的长为.(第6题) 7.(2015·重庆卷)设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且a=2，cos c=-，3sin a=2sin b，则c=.8.(2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到a处时测得公路北侧一山顶d在

28、北偏西60°的方向上，行驶600 m后到达b处，测得此山顶d在北偏西15°的方向上，仰角为30°，则此山的高度cd=m. (第8题)二、 解答题 9.如图，在abc中，sin=，ab=2，点d在线段ac上，且ad=2dc，bd=.(1)求bc的长.(2)求dbc的面积.(第9题)10.(2015·南京三模)在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知acos c+ccos a=2bcos a.(1)求角a的大小；(2)求sin b+sin c的取值范围.11.如图，在海岛a上有一座海拔1 km的山，山顶设有一个观察站p，上午9时，测

29、得一轮船在海岛北偏东30°、俯角为30°的b处，到9时10分又测得该船(船直线航行)在海岛北偏西60°、俯角为45°的c处.(1)求船的航行速度；(2)在c处，该船改为向正南方向航行，且不改变速度，10min后到达什么位置(以点a为参照点)?(第11题)三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.在abc中，已知=，则abc的形状为.13.在不等边三角形abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(b+c)<sin2b+sin2c，则角a的取值范围是.【检测与评估答案】第32课正弦定理与余弦定理的综合应用1

30、. 70 n mile【解析】设轮船a，b航行到下午2时时所在的位置分别是e，f，则依题意有ce=25×2=50(n mile)，cf=15×2=30(n mile)，且ecf=120°，所以ef=70.2. 3 km【解析】如图，由条件知ab=24×=6，在abs中，bas=30°，ab=6，abs=180°-75°=105°，所以asb=45°.由正弦定理知=，所以bs=·sin 30°=3(km).(第2题)3. 20【解析】如图，由题设知bdc为等腰直角三角形，故db=40.由

31、acb=60°和adb=60°知a，b，c，d四点共圆，所以bad=bcd=45°.在bda中，运用正弦定理可得ab=20.(第3题)4. -【解析】设最小边为a，则其他两边分别为a，2a.由余弦定理得最大角的余弦值为cos =-.5. 【解析】如图，过点c作cdab，交ba的延长线于点d，则dac=60°，ac=10，所以ad=5，cd=5，则bd=25，bc=10，所以sin =sin dcb=.(第5题)6. 【解析】因为adac，所以dac=90°，所以在abd中，cosbad=cos(bac-90°)=sinbac=，所以b

32、d=.7. 4【解析】由3sin a=2sin b及正弦定理得3a=2b，又因为a=2，所以b=3，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos c=4+9-2×2×3×=16，所以c=4.8. 100【解析】在abc中，cab=30°，acb=75°-30°=45°，根据正弦定理知=，即bc=×sinbac=×=300，所以cd=bc×tandbc=300×=100.9. (1) 因为sin=，所以cosabc=1-2×=.在abc中，设bc=a，ac=3b，则由余弦定理可得9b2=a2+4-a，在abd和dbc中，由余弦定理可得cosadb=，cosbdc=.因为