wy_e刚体的定轴转动

1、第五章刚体的定轴转动第五章刚体的定轴转动(Rotation of a Rigid Body About a Fixed Axis)又如跳马又如跳马, ,跳水跳水, ,芭蕾等芭蕾等 一、刚体的概念一、刚体的概念在力的作用下，其大小和形状在力的作用下，其大小和形状都保持不变的物体称为刚体都保持不变的物体称为刚体。理想化模型理想化模型二二 、刚体的平动和定轴转动、刚体的平动和定轴转动1 1、刚体的平动、刚体的平动ABABA B 平动特点平动特点BArrBAvvBAaanBxyzOABArBr1BM2B3B1A2A3AnA刚体中各质点的平动规律完全相同刚体中各质点的平动规律完全相同, ,因此可用刚体因

2、此可用刚体中某一点的平动规律来代表整个刚体的平动规律中某一点的平动规律来代表整个刚体的平动规律2 2、刚体的定轴转动、刚体的定轴转动刚体内各点都绕同一固定直线刚体内各点都绕同一固定直线( (转转轴轴) )作圆周运动作圆周运动 特点：特点：刚体内各点对应的一切角量完全刚体内各点对应的一切角量完全相同，可用一点的角量规律来代相同，可用一点的角量规律来代表整个刚体的转动规律表整个刚体的转动规律 转动平面转动平面刚体的运动刚体的运动:复合运动复合运动平动转动平动转动平动平动各质元运动状态相同各质元运动状态相同转动转动各质元绕同一轴作圆周运动各质元绕同一轴作圆周运动本章：本章： 定轴转动运动学定轴转动运

3、动学定轴转动定律定轴转动定律定轴转动的功和能定轴转动的功和能 转动中的角动量守恒定律转动中的角动量守恒定律5.1 5.1 定轴转动运动学定轴转动运动学 (Kinematics of Rotation About a Fixed Axis)同同Chap.1 Chap.1 “圆周运动圆周运动”RS Rv Rat2 Ran vsotanaR角速度的矢量表示法：角速度的矢量表示法：大小：大小： 方向：方向：/转轴转轴, 符合右手螺旋符合右手螺旋rrv线速度：线速度：rv验证：验证：r大小：大小：方向：方向：Note: r 圆周切向圆周切向例例5-15-1 已知：已知：min/60revkmkjir21

4、0)543 (求：求：?v解：解：k)60260()/(2sradkrv210)543 (2kjik210)86(ij)/(188. 0251. 0smji5.2 5.2 定轴转动定律定轴转动定律 (The Law of Rotation About a Fixed Axis)M=J M=Mi =Miz=( )Fi ri 轴向轴向力矩力矩转动转动惯量惯量角加角加速度速度Notes:iriFMi方向方向(顺、逆时针顺、逆时针)与所设转动正方向与所设转动正方向一致为一致为正，相反为负正，相反为负. .刚体的重力矩刚体的重力矩等于刚体全部质量集中于等于刚体全部质量集中于质心时所产生的重力矩质心时所产

5、生的重力矩.重力矩大小：重力矩大小：cos2Lmge.g.细杆质量细杆质量m, 长长Logm由质点组角动量定理：由质点组角动量定理：二、定轴转动定律由来二、定轴转动定律由来dtLdM 对于固定轴对于固定轴z轴，其分量式为轴，其分量式为dtdLMzz =( )Fi ri iriF质元质元 mi，对固定，对固定z轴的角动量轴的角动量vmi2i imr 整个刚体，对整个刚体，对z轴的轴的总角动量为总角动量为zizLLizi i iLmrv2i i(mr )2i imr J-刚体定轴转动的刚体定轴转动的 转动定转动定律律 JdtdJdt)J(dMZ 2i iJmr-转动惯量转动惯量 JMZ 合外力矩合

6、外力矩 MZJ= miri2 (Rotational inertia) mi第第i i质元的质量质元的质量 ri 第第i i质元到转轴的距离质元到转轴的距离e.g.oomm2232mL231232)(2)(LmLmJ对对OO 轴：轴：SISI单位：单位：kg m2L31L32三、转动惯量的计算三、转动惯量的计算dmrJ2 J J的大小依赖于的大小依赖于刚体质量相对于转轴的分刚体质量相对于转轴的分布布.oocc细杆质量细杆质量m, ,长长L对于对于 轴：轴：J=mL2/3oo J J的物理意义的物理意义: : 表征刚体转动惯性的大小表征刚体转动惯性的大小.e.g.cc 对于对于 轴：轴：J=mL

7、2/12例例5-25-2已知已知: :滑轮质量滑轮质量M、半径、半径R、 转动惯量转动惯量J=MR2/2 物体质量物体质量m，v0 0=0=0 忽略绳子质量忽略绳子质量 绳、轮之间无滑动绳、轮之间无滑动求求: :物体下落时的物体下落时的vt t关系关系解：解： 受力图：受力图：gma)(TT TgMNT对物体：对物体：maTmg对滑轮：对滑轮：221MRTRMmmga22.consta atv Note:T F2 ） M地球自转轴旋进地球自转轴旋进38我国古代已发现了岁差：我国古代已发现了岁差：每每50年差年差1度（约度（约72 /年）年） 前汉（公元前前汉（公元前206 23）刘歆发现岁差。

8、刘歆发现岁差。晋朝（公元晋朝（公元265 316） 虞喜最先确定了岁差：虞喜最先确定了岁差：将岁差引入历法：将岁差引入历法：391年有年有144个闰月。个闰月。祖冲之（公元祖冲之（公元429 500）编编大明历大明历最先最先（精确值为（精确值为50.2 /年）年）牛顿力学牛顿力学理论力学理论力学关于广义坐标广义动量的力学理论关于广义坐标广义动量的力学理论拉格朗日拉格朗日哈密顿哈密顿欧拉欧拉系统用系统用拉格朗日量拉格朗日量或者或者哈密顿哈密顿描述描述利用变分原理求解物理过程利用变分原理求解物理过程理论力学方法：理论力学方法：光光走走极极小小路路径径力学系统的分析力学系统的分析 Chap.5 SU

9、MMARY1.1.定轴转动运动学定轴转动运动学rvRS Rv Rat2 Ran2.2.定轴转动定律定轴转动定律 M=J (重力矩的计算！重力矩的计算！)3.3.转动中的功和能转动中的功和能力矩的功力矩的功( (有正负有正负 ) )转动动能转动动能221JEk21MdA转动动能定理转动动能定理21212221JJA刚体重力势能的计算刚体重力势能的计算4.4.对固定轴的角动量对固定轴的角动量质点：质点： L=mvd刚体：刚体： L=J dvmO5.5.定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理微分形式：微分形式：dtdLM 积分形式：积分形式：1221LLMdttt6.6.定轴转动的角动量守恒定律定

10、轴转动的角动量守恒定律对于刚体系，若对于刚体系，若则则.constLtotal0extM 有两个半径相同、质量相等的细圆环有两个半径相同、质量相等的细圆环A和和B，A环的质量分布均匀，环的质量分布均匀，B环不均匀，它环不均匀，它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为量分别为JA和和JB，则，则(A)JAJB (B)JAT 22 1 设飞轮质量为设飞轮质量为M, ,则则 2与与 1的定量关系的定量关系?思考思考如图，质量为如图，质量为m、半径为、半径为R的圆盘可绕通的圆盘可绕通过其直径的光滑固定轴转动，转动惯量过其直径的光滑固定轴转动，转动惯量J=mR2

11、/4，设圆盘从静止开始在恒力矩，设圆盘从静止开始在恒力矩M作用下转动，则作用下转动，则t秒后圆盘边缘上秒后圆盘边缘上B点的点的at=，an=.BR at=R =4M/mR an=R 2=16M2t2/m2R3解：解：M恒定恒定 恒定恒定转过转过n圈后，结果圈后，结果？思考思考 =M/J=4M/mR2 = t=4Mt/mR2RghRMmmv122)2(5.5.圆盘质量圆盘质量M, ,半径半径R,R,J=MR2/2. .转转轴光滑轴光滑. .粘土块质量粘土块质量m=M/10. .开开始时两者静止始时两者静止. . =60=60 . .求求: :粘土块粘土块落到盘上后落到盘上后, ,两者一起开始运动

12、两者一起开始运动的角速度的角速度. .解：解：在碰撞中在碰撞中, ,粘土块圆盘系统粘土块圆盘系统 L=const.L=const.于是于是mv Rcos60 =(mR2+MR2/2) 粘土块触盘前，粘土块触盘前，ghv2h思考思考 碰撞中系统机械能守恒否碰撞中系统机械能守恒否?(No)6.如图如图,子弹射向球心子弹射向球心,已知小木已知小木球和细棒对通过水平轴球和细棒对通过水平轴O的转的转动惯量的总和为动惯量的总和为J,求子弹嵌入求子弹嵌入球心后球心后,系统的共同角速度系统的共同角速度.解：解：在射入过程中，子弹小球细棒系统在射入过程中，子弹小球细棒系统对对O轴的角动量守恒：轴的角动量守恒：J

13、m RL2()20)(cos)(LRmJLRmv系统水平方向动量不守恒系统水平方向动量不守恒!Attention:L0vR mO0mv RL cos()7.7.飞轮转动惯量飞轮转动惯量J J，初角速度，初角速度 0 0，阻力矩的阻力矩的大小与角速度的平方成正比，比例系数为大小与角速度的平方成正比，比例系数为k k(k(k为正的常量为正的常量) )求：当求：当 = = 0 0/3/3时，角加时，角加速度速度 = =？从开始制动到从开始制动到 = = 0 0/3/3时时所所转过转过的角度的角度解：解： 按题意按题意 M=-k 2JMJk20) 3/(Jk920转动定律转动定律：dtdJk2kJ3l

14、n3/000ddJk思考思考 所经过的时间所经过的时间?ddtdJdk28.8. 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动，一个物体正在绕固定光滑轴自由转动，(A)它受热膨胀或遇冷收缩时它受热膨胀或遇冷收缩时,角速度不变角速度不变.(B)它受热或遇冷时它受热或遇冷时,角速度均变大角速度均变大.(C)它受热时角速度变大它受热时角速度变大,遇冷时角速度变小遇冷时角速度变小.(D)它受热时角速度变小它受热时角速度变小,遇冷时角速度变大遇冷时角速度变大.解解：自由转动自由转动 无外力矩无外力矩 J =const.受热时：受热时：J 遇冷时：遇冷时：J (D)若物体的线胀系数为若物体的线胀系数为 ，则温度增量为，则温度增量为 T时，角速度是原来的多少倍时，角速度是原来的多少倍？思考思考9.9.圆盘质量圆盘质量M, ,半径半径R, ,转动惯量转动惯量 J=MR2/2, ,转轴光滑转轴光滑, ,人的质量人的质