中考数学折叠问题讲义

1、中考数学六种类型折叠问题类型1 直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题例1如图，rtabc中，ab9，bc6，b90°，将abc折叠，使点a与bc的中点d重合，折痕为mn，则线段bn的长为（）【分析】设bnx，则由折叠的性质可得dnan9x，根据中点的定义可得bd3，在rtbnd中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解【解答】设bnx，由折叠的性质可得dnan9x，d是bc的中点，bd3，在rtnbd中，x +3 （9x），解得x4即bn4故选：a例1变式1如图，在rtabc中，直角边ac6，bc8，将abc按如图方式折叠，使点b与点a重合，折痕为de，则cd的长为（）

2、a25/4 b22/3 c7/4 d5/3【解析】由题意得dbad；设cdx，则addb（8x），c90°，ad cd ac ,（8x）x 36，解得x7/4；即cd7/4故选：c例1变式2如图，矩形abcd中，ab4，ad6，点e为bc上一点，将abe沿ae折叠得到aef，点h为cd上一点，将ceh沿eh折叠得到ehg，且f落在线段eg上，当gfgh时，则be的长为_【解析】由折叠可得aeh1/2bec90°，进而得出rtaeh中，ae +eh2 ah ，设bex，则efx，ce6xeg，再根据勾股定理，即可得到方程x +4 +（6x）+（62x）（2x2）+6 ，解该一

3、元二次方程，即可得到be的长be的长为2【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程的综合运用，解决问题的关键是连接ah构造直角三角形aeh，这种折叠问题常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案方法策略模式：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。类型2 翻折前有平行线这一条件的问题例2如图，在长方形纸片abcd中，ad4cm，把纸片沿直线ac折叠，点b落在e处，ae交dc于点o，若oc5cm，则cd的长为（）a6cm b7cm c8cm d1

4、0cm【分析】由折叠的性质可得：baceacacd，可得aoco5cm，根据勾股定理可求do的长，即可求cd的长【解答】折叠，baceac，四边形abcd是矩形，abcd，bacacd，eacacd，aoco5cm，在直角三角形ado中，利用勾股定理可求得do3cm，cddo+co3+58cm故选：c例2变式如图，矩形纸片abcd中，ab4，bc8，现将a、c重合，使纸片折叠压平，设折痕为ef，则图形中重叠部分aef的面积为_【解析】设aex，由折叠可知，ecx，be8x，在rtabe中，ab +be ae ，即4 +（8x）x ，解得：x5，由折叠可知aefcef，adbc，cefafe，a

5、efafe，即aeaf5，saef1/2×af×ab1/2×5×410故答案为：10方法策略模式：图形折叠后，相当于出现了角平分线，有角平分线，有平行，就会产生等腰三角形，我们去找那个等腰三角形一般就会使得问题得到解决。类型3 直角三角形的翻折，利用三垂直模型解答例3如图，平面直角坐标系中，已知矩形oabc，o为原点，点a、c分别在x轴、y轴上，点b的坐标为（1，2），连接ob，将oab沿直线ob翻折，点a落在点d的位置，则coscod 的值是（）a3/5 b1/2 c3/4 d4/5【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出gd、cg的长，再根据相

6、似三角形的性质，求出df的长，of的长即可解决问题；【解答】作dfy轴于f，dex轴于e，bd交oc于g在bcg与odg中，bcgodf，od=bc, dofgbc，bcgodg，gogb，设gogbx，则cggd2x，于是在rtcgb中，（2x）+1 x ；解得x5/4gd2x25/43/4；bcy轴，dfy轴，bcgdfg，bgcdgf，cbgfdg，df/bc=dg/bg，df3/5；【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型例3变式如图，小红用一张长方形纸片abcd

7、进行折纸，使得顶点d落在边bc上的点f处（折痕为ae）已知该纸片ab为8cm，bc为10cm，则ec的长度为（）a6cm b5cm c4cm d3cn【解析】由四边形abcd是矩形，可得bcad10cm，bcd90°，又由由折叠的性质可得：afad10cm，afed90°，利用勾股定理即可求得bf的长，继而可得fc的长，然后由abffce，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得ec的长度ec3cm，故选：d方法策略模式：如果图形中折叠的是一个直角，我们的处理方法一般是构造三垂直模型，找到一对相似三角形，根据相似的性质来解决问题。类型4 等边三角形的翻折一线三等角例

8、4如图，等边abc中，d是bc边上的一点，把abc折叠，使点a落在bc边上的点d处，折痕与边ab、ac分别交于点m、n，若am2，an3，那么边bc长为_【分析】设bdx，dcy由bmdcdn，可得（bm+md+bd）：（dn+nc+cd）dm：dn2：3，推出（2x+y）：（x+2y）2：3，推出y4x，推出abbcac5x，mb5x2，cn5x3，再根据bm/cd=dm/dn=2/3，构建方程即可解决问题；【解答】解：设bdx，dcy，abc是等边三角形，abbcacx+y，abcacbbac60°，由折叠的性质可知：mn是线段ad的垂直平分线，amdm2，andn3，bm+md

9、+bd2x+y，dn+nc+dcx+2y，mdnbacabc60°，ndc+mdbbmd+mbd120°，ndcbmd，abcacb60°，bmdcdn，（bm+md+bd）：（dn+nc+cd）dm：dn2：3，（2x+y）：（x+2y）2：3，y4x，abbcac5x，mb5x2，cn5x3，bm/cd=dm/dn=2/3，(5x-2)/4x=2/3，x6/7，bc5x30/7，故答案为30/7【点评】本题考查了等边三角形的性质、x相似三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等

10、例4变式如图所示，等边abc中，边长为4，p、q为ab、ac上的点，将abc沿着pq折叠，使得a点与线段bc上的点d重合，且bd：cd1：3，则aq的长度为_【解析】易得bpdcdq，可得bd/cq=dp/dq=bp/cd，由bd：dc1：43，bc4，推出db1，cd3，设aqx，则cq4x，构建方程即可解决问题；aq=13/5.方法策略模式：等边三角形折叠后，会出现三个60度的角，一般情况下我们会找到一对相似三角形，根据相似的性质来解决问题。类型5 过一定点的翻折与隐形圆例5如图，在边长为8的菱形abcd中，a60°，m是边ad的中点，n是ab上一点，将amn沿mn所在

11、的直线翻折得到a'mn，连接a'b，则a'b的取值范围_【分析】连接bm，bd，依据m是边ad的中点，amn沿mn所在的直线翻折得到a'mn，即可得到点a'的轨迹为以ad为直径的半圆m，依据a'b+a'mbm，即可得出a'bbma'm434，当点n与点a或点d重合时，a'b的最大值为8，即可得到a'b的取值范围【解答】如图所示，连接bm，bd，m是边ad的中点，amn沿mn所在的直线翻折得到a'mn，点a'的轨迹为以ad为直径的半圆m，a'mam4，a60°，abad，ab

12、d是等边三角形，bmad，abm30°，bm3am43，a'b+a'mbm，a'bbma'm434，当点n与点a或点d重合时，点a'与点a或点d重合，此时a'b的最大值为8，a'b的取值范围为：434a'b8，故答案为：434a'b8例5变式.如图，在矩形abcd中，ad2，ab3，点e是ad边的中点，点f是射线ab上的一动点，将aef沿ef所在的直线翻折得到aef，连接ac，则ac的最小值为_【解析】根据点f是射线ab上的一动点，将aef沿ef所在的直线翻折得到aef，可得点a'的运动路径为以e为圆心，

13、ae长为半径的半圆，再根据两点之间线段最短，即可得出当点a'、c、e三点共线时，ac的长最小，最后根据勾股定理进行计算即可即ac的最小值为10-1方法策略模式：如果翻折的折痕是过一定点的，就会出现隐形圆，一般我们用点圆最值模型来求最值。类型6 折叠后图形不确定的多解的折叠问题例6如图，正方形abcd的边长是2，点e是cd边的中点，点f是边bc上不与点b，c重合的一个动点，把c沿直线ef折叠，使点c落在点c处当adc为等腰三角形时，fc的长为_ 【分析】首先证明dcda，只要分两种情形讨论即可：如图1中，当adac2时，连接ae构建方程即可；如图2中，当点f在bc中点时，易证a

14、cdc，满足条件；【解答】由题意deecec1，dc1+1dcda，只要分两种情形讨论即可：如图1中，当adac2时，连接aeaeae，adac，dedc，adeace，adeace90°，cfce90°，ace+fce180°，a、c、f共线，设cfx，则bf2x，af2+x，在rtabf中，2+（2x）（2+x），解得x1/2如图2中，当点f在bc中点时，易证acdc，满足条件，此时cf1综上所述，满足条件的cf的长为1/2或1故答案为1/2或1【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类

15、讨论的首先思考问题，属于中考填空题中的压轴题例6变式如图，在rtabc中，c90°，ac6，bc8，点 e，f分别为ab，ac上一个动点，连接ef，以ef为轴将aef折叠得到def，使点d落在bc上，当bde为直角三角形时，be的值为_【解析】分两种情形分别求解：如图1中，当edb90°时，设bex则aeed10x利用平行线的性质，构建方程即可解决问题；如图2中，当deb90°，设bex，则aeed10x根据tandbede/beac/bc，构建方程即可；满足条件的be的值为25/4或40/7方法策略模式：此类题目往往涉及知识点多，综合性强，大部分情况下还需分类讨论。同学们在这类题上得分率较低，反思其原因，无法准确画出所需要的图形是导致错误的重要原因之一，因此要明确分折叠操作后图形是否确定，可能出现情况有那些。总结提升经过以上六个类型问题分析，我们不难得到解决这类问题思维模式。具体如下：1.折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三