高中数学报刊专题研究精选活跃在空间图形中的轨迹问题素材

1、活跃在空间图形中的轨迹问题 在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势。而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这些题目远看象“立几”近看象“解几”，所以学生在解题中，往往是望题兴叹，百思而不得其解。本文试从几个例题来剖析这些问题的基本解法。 1判断轨迹的类型问题 这类问题常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等。在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题。 例1在正方体abcd-a1b1c1d1的侧面ab1内有一点

2、p到直线ab与到直线b1c1的距离相等，则动点p所在曲线的形状为（d）。 a. 线段 b. 一段椭圆弧 c. 双曲线的一部分 d. 抛物线的一部分 简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义。因为b1c1面ab1，所以pb1就是p到直线b1c1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选d。 引申1在正方体abcd-a1b1c1d1的侧面ab1内有一点p到直线ab的距离与到直线b1c1的距离之比为2：1，则动点p所在曲线的形状为（b）。 a. 线段 b. 一段椭圆弧 c. 双曲线的一部分 d. 抛物线的一部分 引申2在正方体abcd-a1b1c1d1的侧面ab1

3、内有一点p到直线ab的距离与到直线b1c1的距离之比为1：2，则动点p所在曲线的形状为（c）。 a. 线段 b. 一段椭圆弧 c. 双曲线的一部分 d. 抛物线的一部分 例2 （2006届天津市十二区县市重点中学第一次高考模拟联合测试）在正方体abcd-a1b1c1d1中，e为aa1的中点，点p在其对角面bb1d1d内运动，若ep总与直线ac成等角，则点p的轨迹有可能是（a）。 a. 圆或圆的一部分 b. 抛物线或其一部分 c. 双曲线或其一部分 d. 椭圆或其一部分 简析由条件易知：ac是平面bb1d1d的法向量，所以ep与直线ac成等角，得到ep与平面bb1d1d所成的角都相等，故点p的轨

4、迹有可能是圆或圆的一部分。 例3（2005年浙江省模拟）已知正方体的棱长为a，定点m在棱ab上（但不在端点a，b上），点p是平面abcd内的动点，且点p到直线的距离与点p到点m的距离的平方差为a2，则点p的轨迹所在曲线为（a）。 a. 抛物线b. 双曲线 c. 直线d. 圆 简析在正方体中，过p作pfad，过f作fea1d1，垂足分别为f、e，连结pe。则pe2=a2+pf2，又pe2-pm2=a2，所以pm2=pf2，从而pmpf，故点p到直线ad与到点m的距离相等，故点p的轨迹是以m为焦点，ad为准线的抛物线。 点评正方体是空间图形中既简单、熟悉、又重要的几何体，具有丰富的内涵，在正方体中

5、设计的轨迹问题，更是别具一格。 例4在正方体中，点p在侧面bcc1b1及其边界上运动，总有apbd1，则动点p的轨迹为_。 简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面。易证bd1面acb1，所以满足bd1ap的所有点p都在一个平面acb1上。而已知条件中的点p是在侧面bcc1b1及其边界上运动，因此，符合条件的点p在平面acb1与平面bcc1b1交线上，故所求的轨迹为线段b1c。本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹。 引申在正四棱锥s-abcd中，e是bc的中点，点p在侧面scd内及其边界上运动，总有

6、peac，则动点p的轨迹为_。 答案线段mn（m、n分别为sc、cd的中点） 练习（2004年天津高考题）若a、b为平面的两个定点，点p在外，pb，动点c（不同于a、b）在内，且pcac，则动点c在平面内的轨迹是_。（除去两点的圆） 例5（2004年重庆市高考题）若三棱锥abcd的侧面abc内一动点p到底面bcd的距离与到棱ab的距离相等，则动点p的轨迹与abc组成的图形可能是：（d） 简析动点p在侧面abc内，若点p到ab的距离等于到棱bc的距离，则点p在的内角平分线上。现在p到平面bcd的距离等于到棱ab的距离，而p到棱bc的距离大于p到底面bcd的距离，于是，p到棱ab的距离小于p到棱b

7、c的距离，故动点p只能在的内角平分线与ab之间的区域内。只能选d。 引申（2005年温州一模）已知p是正四面体s-abc的面sbc上一点，p到面abc的距离与到点s的距离相等，则动点p的轨迹所在的曲线是（b）。 a. 圆b. 椭圆 c. 双曲线d. 抛物线 解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等。 2求轨迹中的长度、面积与体积问题 例6已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点a距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_，它的长度为_。（2004年北京西城区模拟试题） 简析以b为圆心，半径为且圆心角为的圆弧，长度为。 例7已知长方体中，在线段bd、上各有一点p、q，pq上有一点m，且，则m点轨迹图形的面积是 8 。 提示轨迹的图形是一个平行四边形。 例8已知棱长为3的正方体中，长为2的线段mn的一个端点在上运动，另一个端点n在底面abcd上运动，求mn中点p的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积。 简析由于m、n都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点p的几何性质，连结dp，因为mn=2，所以pd=1，因此点p的轨迹是一个以d为球心，1为半径的球面在正