妙用绝对值性质解题

1、妙用绝对值性质解题能取到一些意想不到的效果，常利用此不等式实行放缩，证明相关绝对值不等式及解决相关问题。当然上面的定理实际上包括下面两种情况，特别要注意不等式何时取等号条件，这有时是解题致命的地方：（1） |a|-|b|a+b|a|+|b|,左边取等号条件是a与b至少有一个为0或a与b异号且|a|不比|b|小，右边取等号条件是a与b至少有一个为0或a与b同号;（2） |a|-|b|a-b|a|+|b|左边取等号条件是a与b至少有一个为0或a与b同号且|a|不比|b|小，右边取等号条件是a与b至少有一个为0或a与b异号.下面就如何使用上面定理妙解不等式举例说明。例1 若不等式|x+|x|+|对0

2、<x<1恒成立,求a的范围。解：由定理|a±b|a|+|b|可知上不等式中的等号不能取，而取等号的条件是x与要异号，因为x是正数，则是负数，从而a的范围为(1,+)。二、使用定理取等号条件速解不等式例2 解不等式|2x-|2x+|解：x0且|a-b|a|+|b|不能取等号的条件是ab0，2x(-)0则>0即x>1则原不等式的解集为(1,+)三、利用|a+b|a|+|b|巧解不等式例3 解不等式|x-1|+|x+2|<5解：由|2x+1|=|(x-1)+(x+2)| |x-1|+|x+2|<5得-3<x<2，故原不等式的解集为(-3,2)

3、四、凑常数借助定理巧解题1、 凑常数借助定理巧求参数范围。对于定理，如果a与b使得a±b中有一个为常数，则可求出|a|+|b|与|a|-|b|中最值中的一个，或求出相对应的参数范围。例4 对于任意实数，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，则a的取值范围是-解：由定理得|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3，故|x+1|+|x-2|最小值为3，所以a的取值范围是(-,3)。2、 凑常数借助定理巧证不等式例5 已知a,b,c是实数，函数f(x)=ax+bx+c,当-1x1时，|f(x)|1,求证：|b|1证明：当-1x1时，|f(x)|1,|c|=|f(0)|12b

4、=f(1)- f(-1)|2b|= |f(1)- f(-1)| | f(1)|+|f(-1)| 1+1=2|2b|=2 则|b|1.五、借助定理巧求函数值域例6 求函数y=|x-|-|x+|值域解：|y|=|x-|-|x+| |(x-)-(x+)|1故-1y1,所求函数值域为-1,1。六、借助函数单调性巧用定理证明不等式例7 已知a、b是实数,求证：+解：构造函数f(x)=，当x>-1时显然该函数单调递增。因为0|a+b|a|+|b|，所以+，所以+成立。七、巧用推广的定理妙证不等式|a+ a+a|a+ a+a|取等号的条件为a, a,a中至少有n-1个为0,或全部同号.例8函数 f(x

5、)=ax+bx+c(a0),当-1x1时，总有|f(x)|1且g(x)=cx+bx+a,求证：当-1x1时,|g(x)|2证明：a= f(1)+ f(-1)-2f(0),b= f(1)-f(-1),c= f(0), 当-1x1时，总有|f(x)|1|f(1)|1, |f(-1)|1, |f(0)|1|g(x)|=|cx+bx+a|=| f(0)x+ f(1)-f(-1)x+ f(1)+ f(-1)-2f(0)|=|( x-1) f(0)+ f(1)+ f(-1)|x-1|+|+| (1- x)+ 2- x2这个定理不但为处理不等式提供了有效的思路方法，而且对于提升知识的迁移水平，培养创造性思维也有裨益。这就要求我们在平