104直线与平面垂直

1、10.5 直线与平面垂直【知识网络】 1、直线与平面垂直的性质与判定；2、点到平面的距离，直线到平面的距离； 3、直线与平面的所成角及直线在平面内的射影。【典型例题】例1：（1）平面a过abc的重心，b、c在a的同侧，a在a的另一侧，若a、b、c到平面a的距离分别为a、b、c，则a、b、c间的关系为 ( )（a）2a=b+c；（b）a=b+c；（c）2a=3(b+c)；（d）3a=2(b+c)答案：b解析：b、c中点到平面的距离为， 即（2） 已知正abc的边长为，则到三个顶点的距离都为1的平面有 ( )（a）1个；（b）3个；（c）5个；（d）7个答案：c解析：三点在同一侧的有2个，过两边的

2、中点且垂直第三边上的中线的平面有3个，共5个。（3）设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）a、，若，则 b、，若，则c、，若，则 d、，是在内的射影，若，则答案：c解析：c的逆命题是,若，则显然不成立。 （4）已知垂直平行四边形所在平面，若，平行则四边形一定是 . 答案： 解析：显然，即平行四边形abcd一定是菱形 （5）p是abc所在平面外一点，o是p点在平面a上的射影若p到abc三边的距离相等，则o是abc的 心；若p到abc三个顶点的距离相等，则o是abc的 心；若pa、pb、pc两两互相垂直，则o是abc的 心答案：内心、外心、垂心；解析：由内心、外

3、心、垂心的性质可知。例2：已知中，面，求证：面答案：证明： 又面 面 ， 又， 面 例3如图，已知cd是异面直线ca、db的公垂线，caa于a，dbb于b，ab=ef求证：cdefgbafedcbab1a1 答案：证明：设cd、ca确定平面g，ga=aa1caa于a，caaa1又cacd，ca、cd、aa1都在平面g内，cdaa1设cd、db确定平面，b=bb1同理有cdbb1，bb1cdaa1aa1，bb1，bb1abb1 b，ab=ef，efcdnmgfedcbpaq例4：如图，pa、pb、pc两两垂直，pa=pb=pc，g是pab的重心，e是bc上的一点，且be=bc，f是pb上的一点，

4、且pf=pb求证：（1）gf平面pbc；（2）febc；（3）ge是异面直线pg与bc的公垂线nmgfedcbpaq证明：（1）连结bg和pg，并延长分别交pa、ab于m和d，在pbm中，pf=pb，g是pab的重心，mg=bm，gfpm又papb,papc，pa平面pbc，则gf平面pbc（2）在ec上取一点q使cq=bc，连结fq，又pf=pb，fqpcpb=pc，fb=fqbe=bc，e是bq的中点，febq，即febc（3）连结gegf平面pbc，易得gebc取bf中点n，连结en，则enfqpcpc平面pab，en平面pab又ngdb，ngpd，易egpd，ge是异面直线pg与bc的

5、公垂线【课内练习】1如果平面外一条直线与内的两条直线垂直，那么与的位置关系是（ ）alablacl与a相交且不垂直d不能确定答案：d。 解析：因两条直线的位置不能确定。2.若斜线和平面所成的角为a，此斜线与此平面内任一直线所成的角为b，则（ ）a.ab b. a=b c. ab d. a与b的大小关系不确定答案：a.解析：直线与平面的所成角为斜线与平面任一直线所成角的最小角.3表示不同的点，表示不同的直线，表示不同的平面，下列推理错误的是 （ ）a bc d.a,b,c，a,b,c，且a,b,c不共线与重合答案：c 解析：作图分析即可知。4ac是平面a的斜线，且ao=a，ao与a成60

6、6;角，ocÌa，aaa于a，aoc=45º，则a到直线oc的距离是 ，aoc的余弦值是 . 答案： 、；解析：由三余弦定理可得.5.已知abc中，aÎa，bca，bc=6，Ðbac=90°，ab、ac与平面a分别成30°、45°的角则bc到平面a的距离为 答案：；解析：设bc到平面的距离为h，则 .6. abcd，它们都在平面a内，且相距28efa，且相距15efab，且相距17则ef和cd间的距离为 答案： 25或39；解析：ef在内的射影可以在ab、cd之间或在ab、cd的外面.pabcdnm7已知：如图, pa矩形a

7、bcd所在的平面, m、n分别是ab、pc的中点求证：mnab； 若mn为ab、pc的公垂线，求pd与面abcd的所成角。答案：连ac，取ac中点e，连me、ne，则nepa，ne平面abcd，neab，meab，mnab若mn为ab，pc的公垂线 则pm = mc pa=ad=bc pda= 即pd与面abcd的所成角为8已知正方体，是底对角线的交点.求证：（）面； （2 ）面 答案：证明：（1）连结，设连结， 是正方体 是平行四边形且 又分别是的中点，且是平行四边形,面，面,面 （2）面 又， 同理可证， 又 面 heqpdcba9如图，已知abcd是矩形，ab=a，ad= b，

8、pa平面abcd，pa=2c，q是pa的中点求（1）q到bd的距离；（2）p到平面bqd的距离答案：解：（1）在矩形abcd中，作aebd于e，连结qeheqpdcbaqa平面abcd，qebe，qe的长是q到bd的距离在矩形abcd中，ab=a，ad=b，ae=在rtqae中，qa=pa=c，qe=q到bd的距离为（2）平面bqd经过线段pa的中点，p到平面bqd的距离等于a到平面bqd的距离在aqe中，作ahqe于ebdae，bdqe，bd平面aqebdah，ah平面bqe，即ah为a到平面bqd的距离在rtaqe中，aq=c，ae=，ah=p到平面bqd的距离为。【作业本】a组1. 直线

9、a与平面a斜交，则在平面a内与直线a垂直的直线 （ ）a. 没有 b. 有一条 c. 有无数条 d. a内所有直线答案：c. 解析：一组平行线.2如图，与平面成角，则间的距离为 （ ）a1 b2 c d答案：c. 解析：.3已知平面及外一条直线，下列命题中 （ ）（1）若垂直于内的两条平行线，则；（2）若垂直于内的所有直线，则；（3）若垂直于内的两条相交直线，则；（4）若垂直于内的任意一条直线，则；正确的有a0 个 b1 个 c2个 d3个答案：d 。解析：正确。4边长为a的正六边形abcdef在平面a内，paa，pa=a，则p到cd的距离为 ，p到bc的距离为 .答案： 2a、；解析：过a分

10、别向cd、bc作垂线构成直角三角形即可。5ab垂直于所在的平面，当的面积最大时，点a到直线cd的距离为 。答案： 。解析：设，则 a到cd的距离6已知：点是的垂心，垂足为，求证：_o_d_答案：证明：点是的垂心，又，垂足为，pobcbc面apo bcpa7在棱长为4的正方体abcd-a1b1c1d1中，o是正方形a1b1c1d1的中心，点p在棱cc1上，且cc1=4cp.·b1pacda1c1d1boh·()求直线ap与平面bcc1b1所成的角的正切；()设o点在平面d1ap上的射影是h，求证：d1hap；()求点p到平面abd1的距离.答案：（1）连bp，在rtabp中，

11、ab=4， apb为直线ap与bcc1b1的所成角 （2）d1b1ac，d1b1cp d1b1面acpd1b1ap，又oh面ad1p ohap ，ap面d1oh d1hap（3）用体积法 。 8. 在abc所在平面外有点s，斜线saac，sbbc，且斜线sa、sb与平面abc所成角相等.（i）求证：ac=bc； （ii）又设点s到平面abc的距离为4cm，acbc且ab=6cm，求s与ab的距离.abcos答案：（1）证明：过s作so面abc于o s到ab的距离_d_c_pa_a_bb组1. 如图bc是rtabc的斜边，过a作abc所在平面a垂线ap，连pb、pc，过a作adbc于d，连pd，

12、那么图中直角三角形的个数是 （ ）a4个 b6个 c7个 d8个答案：d 解析：rtpab，rtpac，rtabc， rtabd rtadc，rtpad，rtpdc，rtpdb2 下列说法正确的是 ( )a直线a平行于平面m，则a平行于m内的任意一条直线b直线a与平面m相交，则a不平行于m内的任意一条直线c直线a不垂直于平面m，则a不垂直于m内的任意一条直线d直线a不垂直于平面m，则过a的平面不垂直于m答案：b.解析：根据平行和垂直的性质即可得.3直三棱柱abca1b1c1中，acb=90°，ac=aa1=a，则点a到平面a1bc的距离是 ( )a.a b. a c. a d. a答

13、案：c解析：取a1c的中点o，则ao就是a到面a1bc的距离。4已知pa、pb、pc是从点p发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60°，则直线pc与平面pab所成的角的余弦值为 答案：. 解析：特殊化处理，构成正四面体。5平面外有两点a,b，它们与平面的距离分别为a,b，线段ab上有一点p，且ap:pb=m:n，则点p到平面的距离为_.答案： 解析：分a、b在的同侧和异侧。6在三棱锥p-abc中，三条侧棱pa，pb，pc两两垂直，h是abc的垂心求证：ph底面abc abc是锐角三角形.答案： 证明：papb papc且pbpc=ppa侧面pbc 又bcÌ平面pbd pab

14、ch是abc的垂心 ahbcpaah=a bc截面pah又phÌ平面pah bcph同理可证：abph 又abÇbc=b ph面abc设ah与直线bc的交点为e，连接pe， 由知ph底面abc pebc pbpc即bpc是直角三角形，bc为斜边 e在bc边上 由于aebc，故bc都是锐角 同理可证：a也是锐角 abc为锐角三角omdcba7如图，已知ao是正四面体abcd的高，m是ao的中点，连结bm、cm、dm求证：bm、cm、dm两两垂直 答案：证明：设正四面体的棱长为aao是高,o是正三角形bcd的中心omdcba连结od,则od=在rtaod中,ao=,om=；在rtmod中，dm=同理cm=，cm2+dm2=cd2cmdm同理bmcm，dmbmbm、cm、dm两两垂直8已知正四棱柱abcda1b1