边界层运动微分方程

1、2.9边界层运动微分方程边界层运动微分方程 本节将以本节将以平壁层流平壁层流为例，建立为例，建立边界层运动微分方程边界层运动微分方程，并根据，并根据布拉修斯布拉修斯相似原理相似原理讨论其分析解。讨论其分析解。2.9.1边界方程的推导边界方程的推导 普朗特充分运用了普朗特充分运用了边界层很薄边界层很薄这一特性，通过分析这一特性，通过分析N-SN-S方程方程中各项数量级，并中各项数量级，并忽略高阶小量忽略高阶小量，大大简化了，大大简化了N-SN-S方程，导出了方程，导出了边界层微分方程，成功地解决了边界层的定量计算。边界层微分方程，成功地解决了边界层的定量计算。 下面先让我们以下面先让我们以x x

2、方向方向N-SN-S方程方程为例，回忆一下为例，回忆一下N-SN-S方程都有方程都有哪些项。哪些项。222222zuyuxuxpXDDuxxxx惯性力惯性力体积力体积力压力压力黏性力黏性力量级比较量级比较 方程中的变量方程中的变量y y限制在边界层之内，满足不等式限制在边界层之内，满足不等式0 0yy。也就是说，。也就是说，y与与为为同一量级同一量级，记为：，记为：y。与与x 方向的距离相比要小很多，即方向的距离相比要小很多，即 是是小小量量。符号。符号表示数量级相同。表示数量级相同。 下面估算（下面估算（2-186）中各项的量级。）中各项的量级。 在壁面上，在壁面上，ux=0；在边界层的外缘

3、；在边界层的外缘ux具有具有u0的量级，此处的量级，此处u0是主流速度是主流速度（来流速度）。当（来流速度）。当y由由0变到变到时，时，ux由由0变到变到u0，所以有：，所以有：x2-187a0uyuyuxx20222uyuyuxx2-187b量级比较量级比较l1 1、假定流体沿、假定流体沿x x方向的直线边界流动并形成边界层，其厚度为方向的直线边界流动并形成边界层，其厚度为。l2 2、假定平板无限宽，流速在、假定平板无限宽，流速在z z方向无变化方向无变化。l3 3、在边界层流动中，重力的影响可忽略不计，即、在边界层流动中，重力的影响可忽略不计，即忽略体积力忽略体积力。 则则N-SN-S方程

4、可以简化为如下形式方程可以简化为如下形式： 22221yuxuxpyuuxuuuxxxyxxx22221yuxuypyuuxuuuyyyyyxy2-186a2-186b量级比较量级比较同理，沿同理，沿x x方向有：方向有：由二维连续性方程由二维连续性方程 ，可得：，可得：xuxux02022xuxux2-188a0yyuxuxyuxuxy2-1892-188b量级比较量级比较比较（比较（2-187a2-187a）、（）、（2-188a2-188a）和（）和（2-1892-189）可得：）可得： 即：即：在壁面上在壁面上u uy y=0,=0,并根据边界层内并根据边界层内u uy y的量级，从而

5、得一下（的量级，从而得一下（2-1912-191）式：式：xuxuyuyuxxyyxuyxuuxy02-190302y2xuxu20 xuxuyxuyuy0222-191c2-191b2-191a量级比较量级比较比较式（比较式（2-186a2-186a）中各项的量级，有：）中各项的量级，有：显然，方程中的显然，方程中的 与与 相比可以忽略，故式（相比可以忽略，故式（2-186a2-186a）简）简化为：化为：22221yuxuxpyuuxuuuxxxyxxx2-186axu20 xu2020 xu20u22xux22yux量级比较量级比较在边界层内，在边界层内，黏性力与惯性力应有相同量级黏性力

6、与惯性力应有相同量级，故两者之比应近，故两者之比应近似为似为1 1，即：，即：由此可以得出：由此可以得出：221yuxpyuuxuuuxxyxxx2-192xu20 xu2020u惯性力惯性力黏性力黏性力压力压力1Re220202020 xxxuxuuxu：2-193Re1x2-194量级比较量级比较式（式（2-1942-194）表明，层流边界层厚度的量级大小等于）表明，层流边界层厚度的量级大小等于 或或再分析式（再分析式（2-186b2-186b）, ,其各项的量级如下：其各项的量级如下：至此，（至此，（2-1862-186）格式的量级已经写出，让我们对比来看看：）格式的量级已经写出，让我们

7、对比来看看：Rex0ux22221yuxuypyuuxuuuyyyyyxy2-186b220 xu220 xu30 xuxu0221yuxpyuuxuuuxxyxxx2-192xu20 xu2020u22221yuxuypyuuxuuuyyyyyxy2-186b220 xu220 xu30 xuxu0简化简化后的后的N-S方程方程量级量级比较比较惯性力惯性力压力压力黏性力黏性力量级比较量级比较 惯性项惯性项 和和 为同一量级，但不同于为同一量级，但不同于 及及 的量级，两者相差的量级，两者相差 倍，是一个小量；至于倍，是一个小量；至于 ，一般可以认为具有，一般可以认为具有惯性项的量级，即惯性项

8、的量级，即 。于是，式（。于是，式（2-186b2-186b）左端三项均系小量，）左端三项均系小量，可以忽略。另一方面，可以忽略。另一方面， 与与 相比也可以忽略，故式（相比也可以忽略，故式（2-186b2-186b）就简化为：就简化为：xuuyxyuuyyxuuxxyuuxyxyu220 xuuy22yuy22yux0yp2-195量级比较量级比较 式（式（2-1952-195）表明，）表明，压力与压力与y y无关，只是无关，只是x x的函数的函数。因此在。因此在y y方向上，方向上，边界层内压力不变，等于边界层外缘处的压力边界层内压力不变，等于边界层外缘处的压力。事实。事实上，通过势流理论

9、计算得到的边界层外缘处压力，与实验测得上，通过势流理论计算得到的边界层外缘处压力，与实验测得的物体表面的压力吻合，也可证明（的物体表面的压力吻合，也可证明（2-1952-195）式的正确性。此式）式的正确性。此式颇为重要，据此可直接根据欧拉方程计算边界层外缘处压力，颇为重要，据此可直接根据欧拉方程计算边界层外缘处压力，获得边界层中的压力。获得边界层中的压力。边界层方程边界层方程 经量级比较，式（经量级比较，式（2-1862-186）的两个方程只留下一个，其中有）的两个方程只留下一个，其中有两个未知数两个未知数u ux x和和u uy y，假定压力已经预先确定，再加上二维连续，假定压力已经预先确

10、定，再加上二维连续性方程性方程 对于稳态流动，对于稳态流动， ， 写成写成方程式（方程式（2-1862-186）简化为：）简化为： 式（式（2-1962-196）为）为普朗特边界层运动微分方程，普朗特边界层运动微分方程，适用于平壁稳态不可压缩流体流动。不适用与平壁前缘。适用于平壁稳态不可压缩流体流动。不适用与平壁前缘。0yyuxux0 xuxpdxdp221yudxdpyuuxuuxxyxx2-196边界层条件边界层条件 边界层方程的边界条件是：边界层方程的边界条件是： 根据布拉修斯原理可以求解边界层方程，得出根据布拉修斯原理可以求解边界层方程，得出u ux x(x,y),u(x,y),uy

11、y(x,y)(x,y)和和p(x,y),p(x,y),再按牛顿黏性定律，就可以得出边壁上的剪应力和摩擦阻再按牛顿黏性定律，就可以得出边壁上的剪应力和摩擦阻力。力。0y0yxuuy0uux2-198b2-198a边界边界条件条件2.9.2边界层方程的精确解边界层方程的精确解布拉修斯相似原理布拉修斯相似原理 图2-33为平壁边界层流动示意图，边界层外主体流速为u0，图中示出了相距x的两截面的速度分布曲线，前已诉及，边界层中的压力p与y无关，故p1=p2,p3=p4。因点2和4均处于边界层以外，故p2和p4的关系符合伯努利方程：42422222pupu2-199边界层方程的精确解边界层方程的精确解式

12、中，式中，u u2 2和和u u4 4分别为点分别为点2 2和点和点4 4处的速度，显然有：处的速度，显然有：将式（将式（2-2002-200）带入式（）带入式（2-1992-199）得：）得：由此可得：由此可得：2-200042uuu42pp 2-201a2-201b31pp 边界层方程的精确解边界层方程的精确解式（式（2-2012-201）表明，在边界层内，压力不随）表明，在边界层内，压力不随x x而变，即：而变，即：故故普朗特边界层方程最终可以简化普朗特边界层方程最终可以简化为：为：0dxdp2-20222yuyuuxuuxxyxx2-203边界层方程的精确解边界层方程的精确解 由于由于

13、随随x x而逐渐变大，而逐渐变大，每一个每一个x x处处都存在相应的都存在相应的速度分布速度分布曲线曲线，且具有共同特征：壁面速度为零，边界层外缘速度为，且具有共同特征：壁面速度为零，边界层外缘速度为u u0 0。也就是说也就是说它们是相似的它们是相似的。 布拉修斯首先观察到这一特征，并假设在距平壁前缘不同布拉修斯首先观察到这一特征，并假设在距平壁前缘不同的的x x距离处，距离处，速度分布的形状是相似的速度分布的形状是相似的，即：即：该式即为该式即为布拉修斯相似原理布拉修斯相似原理的数学式。的数学式。0uuxy2-204边界层方程的精确解边界层方程的精确解将式（将式（2-1942-194）代入

14、（）代入（2-2042-204）可得：）可得：式（式（2-2052-205）右侧的量为）右侧的量为x x和和y y的函数，可用的函数，可用(x,y)表示，即：表示，即：由上诉两式可知，由上诉两式可知， 和和(x,y)相似，即存在某种函数关系：相似，即存在某种函数关系：0uuxxuy02-205xuyyx0),(2-2060uux边界层方程的精确解边界层方程的精确解故可得：故可得： 或或 由此可见，通过引进量纲为一的变量由此可见，通过引进量纲为一的变量，已使两个独立自，已使两个独立自变变量量x,y合二为一。考虑到流函数合二为一。考虑到流函数与两个因变量与两个因变量ux与与uy有关，但有关，但是有

15、量纲的，故还需寻找一个量纲为一的流函数将是有量纲的，故还需寻找一个量纲为一的流函数将ux和和uy统统一起来。一起来。 前已知，前已知，流函数的定义式流函数的定义式为：为：)(0uux)(0uux2-207rur1ru2-109a2-109b边界层方程的精确解边界层方程的精确解将流函数定义式代入式（将流函数定义式代入式（2-2072-207）可得：）可得：积分式（积分式（2-2082-208）得：）得：将式（将式（2-2062-206）对）对y y求导，得：求导，得：2-208)(0uydyu)(02-209duxdy02-210边界层方程的精确解边界层方程的精确解将式（将式（2-2102-21

16、0）代入式（）代入式（2-2092-209），经整理得：），经整理得： 虽然无法获知式中积分项的具体函数形式，但可以推知它虽然无法获知式中积分项的具体函数形式，但可以推知它必为必为的函数，故可令：的函数，故可令： 即即将式（将式（2-211）代入式（）代入式（2-212）得：）得： 量纲为一的流函数量纲为一的流函数2-211dxudyu)()(002-212df)()()()( f0)(xuf2-213边界层方程的精确解边界层方程的精确解由此可得速度分量由此可得速度分量ux和和uy分别是：分别是：2-214a)(0fuyyux2-214b）（ffxufxuxfxuxuy00021)(21)(边

17、界层方程的精确解边界层方程的精确解ux和和uy的一阶导数和二阶导数分别为：的一阶导数和二阶导数分别为：2-215afxuxux 021fxuuyux 00fxuyux 20222-215b2-215c2-215边界层方程的精确解边界层方程的精确解将上式各式代入将上式各式代入(2-203) (2-203) 得：得：经简化后，得关于经简化后，得关于f(f() )的微分方程为：的微分方程为：2-21622yuyuuxuuxxyxxfxufffxuf fxu 202020)(2202 ff f2-217边界层方程的精确解边界层方程的精确解相应的边界条件变为：相应的边界条件变为： 由此可知，经过上述相似

18、变换，普朗特边界层方程已由二由此可知，经过上述相似变换，普朗特边界层方程已由二阶非线性偏微分方程转换成三阶非线性常微分方程。结合式阶非线性偏微分方程转换成三阶非线性常微分方程。结合式（2-2182-218）所示的三个边界条件，可获得）所示的三个边界条件，可获得f(f() )的精确解。的精确解。2-218b00 ff1 f边界边界条件条件2-218a边界层方程的精确解边界层方程的精确解 因方程（因方程（2-2172-217）是非线性的，难以直接获得精确解。布拉修斯）是非线性的，难以直接获得精确解。布拉修斯用幂级数将其解表达为：用幂级数将其解表达为：式中，式中，a a0 0,a,a1 1,a,a2

19、 2.为待定系数，根据边界条件加以确定。为待定系数，根据边界条件加以确定。将式（将式（2-2192-219）依次对）依次对求一阶导数、二阶导数和三阶导数，得：求一阶导数、二阶导数和三阶导数，得：2-219.! 4! 3! 2)(44332210aaaaaf.! 3! 2)(342321aaaaf.! 3! 2)(352432 aaaaf.! 3! 2)(362543aaaaf2-220a2-220b2-220c边界层方程的精确解边界层方程的精确解 将边界条件将边界条件f(0)=0f(0)=0代入式（代入式（2-2192-219），得），得a a0 0=0=0。将边界条件。将边界条件f(0)=0

20、f(0)=0代代入式（入式（2-220a2-220a），得），得a a1 1=0=0。在此基础上，将式（。在此基础上，将式（2-2192-219）、（）、（2-220b2-220b）、）、（2-220c2-220c）代入（）代入（2-2172-217），合并同类项，得：），合并同类项，得： 式（式（2-2212-221）是一恒等式，因其右侧为零，故左侧多项式中各项的系）是一恒等式，因其右侧为零，故左侧多项式中各项的系数均为零，得：数均为零，得：由此可得：由此可得：2-2210.2! 222522243）（aaaa.02020252243，aaaa2-222.20022543，aaaa2-223

21、边界层方程的精确解边界层方程的精确解 式（式（2-2232-223）表明，除了为零得系数以外，所有非零项系数均可表达）表明，除了为零得系数以外，所有非零项系数均可表达为为a a2 2的函数。将各系数代入式（的函数。将各系数代入式（2-2192-219），得：），得：式中系数式中系数a a2 2可根据边界条件可根据边界条件f(f()=1,)=1,采用数值计算法确定，结果为采用数值计算法确定，结果为将将a a2 2值代入式值代入式(2-224),(2-224),可得可得f(f() )的表达式为：的表达式为：该式即为该式即为普朗特边界层方程精确解普朗特边界层方程精确解，又称，又称布拉修斯精确解布拉修

22、斯精确解。2-224.!118375! 8411! 521! 2)(114283252222aaaaf33206. 02a2-225.0000024972. 000045943. 016603. 0)(852f2-226边界层方程的精确解边界层方程的精确解 至此，我们已求出边界层方程精确解，它适用于平板壁面上不可至此，我们已求出边界层方程精确解，它适用于平板壁面上不可压缩流体的层流流动。再加上推导时的简化过程，我们可以得出此方压缩流体的层流流动。再加上推导时的简化过程，我们可以得出此方程的几个适用条件：程的几个适用条件： 1 1、平板壁面、平板壁面 2 2、不可压缩流体、不可压缩流体 3 3、

23、稳态流动、稳态流动 4 4、层流流动、层流流动 由于式（由于式（2-2262-226）为无穷级数之代数和，为方便起见，研究者们）为无穷级数之代数和，为方便起见，研究者们已将式（已将式（2-2262-226）列成表格，参加附录）列成表格，参加附录2 2。边界层方程精确解边界层方程精确解适用条件适用条件边界层内速度分布函数边界层内速度分布函数 在壁面附近（在壁面附近（1 1），由式（），由式（2-2142-214） 可得壁面附近速度的近似表达式：可得壁面附近速度的近似表达式：2-214)(0fuux）（ffxuuy021yuux0320yuuy速度近似表达式速度近似表达式2-227a2-227b边

24、界层厚度边界层厚度 在在y=y=时，时，u ux x=0.99u0=0.99u0。由。由u ux x=u=u0 0f(f() )，可知，可知f(f()=0.99,)=0.99,查表可得所对查表可得所对应的应的=5.0，于是有：，于是有：式（式（2-228）又可变形为：）又可变形为：根据牛顿黏性定律可得壁面上的剪应力为：其中，根据牛顿黏性定律可得壁面上的剪应力为：其中，f(0)=0.332。2-22800 . 5ux21Re0 . 5xx2-22921 -Re332. 0)0(20000 xyxwxufxuuyu 2-230摩擦阻力、摩擦因数或曳力因素摩擦阻力、摩擦因数或曳力因素对于长为对于长为

25、L L，宽为，宽为b b的平板，其一侧的摩擦阻力为：的平板，其一侧的摩擦阻力为：根据平壁摩擦因素或曳力因素定义，有：根据平壁摩擦因素或曳力因素定义，有： 上述分析和计算，对平板前缘附近，即上述分析和计算，对平板前缘附近，即L L很小时是不适用的。这是很小时是不适用的。这是由于此时不能满足建立边界层方程所作的假定由于此时不能满足建立边界层方程所作的假定 。2-231LLwdsLubuxdxuabudxbF000000664. 021Re328. 1328. 1222020LLubLuFCdsD2-23222yux22xux2.9.3位移厚度与动量厚度位移厚度与动量厚度 图图2-342-34(a)

26、(a)是边界层中的速度分布，边界层以外是势流，速度均一，是边界层中的速度分布，边界层以外是势流，速度均一，直至边界。比较图直至边界。比较图2-34(a),(b)2-34(a),(b)两种情况可见，由于边界层内速度减慢，两种情况可见，由于边界层内速度减慢，与不存在边界层的情况相比，通过同样区域的质量流量减少。这种减少与不存在边界层的情况相比，通过同样区域的质量流量减少。这种减少（或称（或称“亏损亏损”），相当于将势流流线向外推移了一段距离（图），相当于将势流流线向外推移了一段距离（图2-34c2-34c）称为称为位移厚度位移厚度* *，又称，又称排挤厚度排挤厚度。使流过。使流过* *的流量与因边

27、界层所造成的流量与因边界层所造成的的流量亏损量相等，由此可决定流量亏损量相等，由此可决定* *，即令图中，即令图中阴影面积相等阴影面积相等。2.9.3位移厚度与动量厚度位移厚度与动量厚度 或或将式（将式（2-226）代入式（）代入式（2-233）可得）可得平板壁面边界层位移厚度平板壁面边界层位移厚度：2-233dyuuux00*0)(dyuux00*)1 (00000*73. 1)1 ()1 (uxdfuxdyuux2-2352.9.3位移厚度与动量厚度位移厚度与动量厚度 类似的可以得到动量厚度类似的可以得到动量厚度?的定义。由于边界层内速度减慢，相应的定义。由于边界层内速度减慢，相应地使动量

28、减少。设想厚度为地使动量减少。设想厚度为?，运动速度为，运动速度为u0的流体，其动量等于边界的流体，其动量等于边界层中损失的动量。边界层中的动量损失是层中损失的动量。边界层中的动量损失是 ，于是有：，于是有： 或：或：dyuuuuxx0020)(dyuuuuxx000)1 (2-234dyuuuxx00)(2.9.3位移厚度与动量厚度位移厚度与动量厚度将式（将式（2-226）代入式（）代入式（2-234）可得）可得平板壁面边界层动量厚度平板壁面边界层动量厚度： 由此可见，对于平板上的层流边界层，位移厚度约为边界层厚度的由此可见，对于平板上的层流边界层，位移厚度约为边界层厚度的三分之一，动量厚度

29、约为边界层厚度的三分之一，动量厚度约为边界层厚度的13%13%。2-236000000664. 0) 1 ( )1 (uxdffuxdyuuuuxx2.9.4圆管进口段的流动圆管进口段的流动 圆管进口段内发展着的流动和绕流时壁面附近的流动具有相似之处，圆管进口段内发展着的流动和绕流时壁面附近的流动具有相似之处，因而分析进口段流动的特点和计算进口段的长度可以借助边界层理论。因而分析进口段流动的特点和计算进口段的长度可以借助边界层理论。 进口段流动的发展：进口段流动的发展： 进口处边界层厚度为零，沿管长厚进口处边界层厚度为零，沿管长厚度逐渐增加，离开圆管进口不同距离处度逐渐增加，离开圆管进口不同距

30、离处的速度分布如图所示。的速度分布如图所示。沿流动方向压力沿流动方向压力降低，推动中心部分加速，存在着轴向降低，推动中心部分加速，存在着轴向速度梯度速度梯度 。zuz2.9.3位移厚度与动量厚度位移厚度与动量厚度 至压降与剪应力平衡，速度分布不再变化，边界层充满了整个流动至压降与剪应力平衡，速度分布不再变化，边界层充满了整个流动截面，建立所谓充分发展了的流动。截面，建立所谓充分发展了的流动。从管道进口到充分发展这一段距离从管道进口到充分发展这一段距离称为称为进口段长度进口段长度L Le e，此后的速度分布呈，此后的速度分布呈抛物线形抛物线形充分发展形充分发展形，有：有：2-2060),(zzru1 2)(2ibrruruu进口段的流动状态进口段的流动状态 当当流率较小流率较小，充分发展后的流动是，充分发展后的流动是层流层流时，管道进口的形状，对于时，管道进口的形状，对于以后流动的以后流动的影响不大影响不大。这时，不论进口处的流动是层流还是湍流，边界。这时，不论进口处的流动是层流还是湍流，边界层中的流动通常是层流。层中的流动通常是层流。 当管道内充分发展后的流动是当管道内充分发展后的流动是湍流湍流时，进口形状对下游的流动将产时，进口形状对下游的流动将产生生重要影响重要影响。进口段长度进口段长度 分析进口段流动时，有两