三线合一性质的逆定理之欧阳学创编

1、一. 等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理时间：2021.03. 03创作：欧阳学“三罐合一” 性质：等腰三甬形的顶甬平分线、底边 上的中线、底边上的高互相遠合。逆定理：如果三角开3中任一甬的甬平分线和它所对 边的中线童合，那 么这个三甬形是等腰 三角形。 如果三甬形中任一甬的甬平分线和它所对边的高重合，那么 这个三甬形是等腰三甬形。 如果三甬形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三甬 形是等腰三甬 形。简言之：三甬形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三甬形。证明：已知：/abc中,ad是zbac的甬平分线，ad是bc边上的中线, 求证：/abc是等腰三甬形。分析：要证等腰三甬形就是

2、要证 ab=ac,直接通过证明这两条线所在 的三甬形全等不行，那就换种思路， 在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“延长加倍”，即延长 ad 到 e 点，使ad=ed,由此问题就解决了。证明：延长ad到e点，使ad=ed,连接ce 在/abd和/ecd中ap=dezadbzedcbd=cd/abd也/ecd ab二ce, zbad=zcedvad是zb ac的甬平分线azbad=zcadazced=zcadac=ceab二ac/ abc是等腰三甬形。三个逆定理中以逆定理在几何证明的应用中尤为突出。证明：已知：/abc中，ad是zbac的甬平分线，ad是bc边上的高，求证：/abc是等腰

3、三甬形。分析：通过(asa)的方法来证明/abd和/acd的全等，由此推出 ab=ac 得出/abc 是等腰 三芹形证明：已知：/abc中，ad 是 bc 边上的中线，又是 bc边上的高，求证：/abc是等腰三玮形。分析：ad就是bc边上的垂直平分线，用(sas)的方法 来证明/abd和/acd的全等，由此推出ab=ac得出/abc是等腰三甬形。(即垂直平分线的定理)二、“三线合一” 的逆定理在辅助线教学中的应用(1) 逆定理的简单应用例题1已知：如图，在/abc中，ad平分zbac, cd丄ad,d为垂足,ab>aco求证：z2=z1+zb分析：由“ad平分zbac, cd丄ad”推出

4、ad所在的 三甬形是等腰三甬形，所以延长cd交 ab于点e, 由逆定理得出/aec是等腰三甬形由此就可傅出 z2=zaec,又zaec=z1+zb,所以结论得证。(2) 逆定理与中位线综合应用例题14已知：如图，在/abc中，ad平分zbac,交bc于点d,过点c作ad的 e /jp垂线，交 ad的延长线于点e, f为bc 上8的中点，连结ef。求证：ef/ab,ef=(ac-ab)分析：由已知可知，线段 ae既是zbac的甬平分线又是 ec 边上的高，就想到把 ae 所在的等腰三甬形构 造出来，因而就可添辅助线“分别延长 ce、ab 交于点 g” o简单证明：由逆定理得出/agc是等腰三甬形

5、，.点e是gc的中点ef是/bgc的中位线.得4正。例题2如图，已知：在/abc中，bd、ce分别平分zabc,/ acb,ag 丄 bd 于 g , af 丄 ce 于 f ,ab= 14cm, ac=9cm,bc= 18cm.求：fg的长。分析：通过已知条件可以知道线段 cf和bg 满足逆定理的条件，因此就想到了分别延长ag、af来构造等腰三甬形。简单证明：分别延长 ag、af交bc于点 k、h由逆定理点g是ak的中点同理可得点f是ah的中点- fg是/ahk的中位线由此就可解出fg的长。得出/abk是等腰三甬形(3) 逆定理与直甬三甬形的综合应用例题1已知，如图，ad为rt/abc斜边b

6、c上的高,求证：/qad是等腰三甬形。分析：由直甬三甬形的性质可知道zaqm=90° ,由此线段 bq 满足了逆定理2的条件，所以 想到延长 aq交bc于点n。简单证明：由添辅助线侮出/abn是等腰三甬形q点是an的中点在rtjand中，q是中点aqa=dq,.得证。例题2长be和ac,交于点fo简单证明：由所添辅助线可知/abf是等腰三甬形.e点是bf的中点/.bf=2be=10再由jadc和jbfc的全等彳号出ad=bf结论求出。对已知条件的合理剖析，找出关键语句，满足定理条件， 添加适当的辅助线来构造等腰三甬开勺 以达到解决问题的 目的。（4）逆定理的简单应用（即垂直平分线的应

7、用）例题1（2006年宝山区中考模拟题）如图，已知二次函数 y=ax2+bx的图像开口向下，与 x轴 的一个交点为b, 顶点 a 在直线y=x上，o为坐标原点。 证明：/aob是等腰直玮三甬形分析：由抛物线的对称性可添辅助线过点 a 作 ad丄x 轴，垂足为 d 及直线 y=x的性质，可以知道/aob 是等 腰直甬三甬形。欧圧例题2如图，以/ abc的边 ab, ac为边分别向形外 作正方形 abde和acfg,求证:若 df / bc,则 ab=ac分析：从已知条件出发想到了正方形的性质： 边，甬以及对甬线：边的相等，甬的相等并都等于90度，现要证明等腰三甬形，能与其最密切的想到是否也能构造

8、直甬呢？于是就想到了添辅线 ah简单证明：分别过点 a、d、f作 ah丄bc, di丄bc,fj丄bc,分别交bc于点 h, cb的延长线于i, bc的延长线于由 df ii bc, di=fj又/ahc也/cjf (aas) , /abh也/bdi(aas)/.hc=fj,bh=diabh=hc,.得证。抓住已知条件和结论的联系， (例题 1中抛物线的对称性和 等腰三甬 形的垂直平 分线之间的内在联系，例题 2中正方形中直甬的信息获得 与等腰三角形的垂线间的间接联系，)通过获取的信息以 及对等腰三甬形“三线合一”性质的逆定理的熟练把握， 再进行对题目的童新整合，就矣邑快速做出解题的策略，添

9、加相应的辅助线，对于解题有很大的帮助。(5) 逆定理在作图中的应用已知：线段m, za及zp,求作/abc,使zabc=z a, zacb=zp,且 ab+bc+ca=m分析：对于作图题，一般先在草稿纸上画出要求作图形的草图，再把相应的已知条件在图上标出，通过对草图的解剖与分析再把图用尺规规范的做出°通过草图的分析，直接得到所求三甬形不行，由已知三边的和为m以及夕卜角的性质我们可以找到一顶点 a, 再由垂直平分线与边的交点找到另两个顶点b和co作法：1、画射线op,在op上截取线段oq=m,2、画射线 om,使zmop=l/2za3、画射线qn,使znqo=l/2zp,交射线om 于点a4、分别作 ao、aq 的垂直平分线，交 oq 于 b, c 两/abc就是所求三甬形。等腰三甬形“三蛾合一”性质的逆命题在辅助线教学 中的应用不但可以强化学生