2-2第3章3.2复数的运算学案

1、精品资源3.2复数的运算3. 2.1复数的加法与减法f1学习目标导航I1 .掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算.(重点)2 .理解复数加减法运算的几何意义，能解决相关的问题.(难点、易混点)阶段1认知简习质疑基础初探教材整理1复数代数形式的加减法阅读教材P91例1以上部分.1 .运算法则设 1=a+ bi, 2=c+di(a, b, c, dCR),则 1+ 2=(a+ c)+(b+d)i,1- 2=(a c)+(b d)i.2 .加法运算律设 1,2,3CC,有 1+2= _2+ 1 ,(1 + 2) + 3= +(2+ 3). 判断(正确的打“，”，错误的打"X

2、”)(1)复数与向量一一对应.()复数与复数相加减后结果只能是实数.()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.()【答案】(1)X (2)x (3)X教材整理2复数加减法的几何意义阅读教材P92练习A以上部分，完成下列问题.若复数1, 2对应的向量分别为OZ1, OZ2.复数加法的几何意义复数减法的几何意义复数1+ 2是以OZ1, OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数复数1 2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的 复数已知向量OZ1对应的复数为23i,向量OZ2对应的复数为3 4i,则向量Z1Z2对应的复数为【解析】Z1Z2 = O Z

3、2 O Z 1 = (3 4i) (2 3i) = 1 i.【答案】1-i质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1 ：解惑： 疑问2:解惑： 疑问3:合作探究通关分组时轮疑难细究解惑： 欢迎下载小组合作型复数的加减法运算卜例g+2i)+(2-”13-3 1(2)已知复数 满足 +13i = 5 2i,求.(3)已知复数 满足|+ =1 + 3i,求.1 , 1.小.、4 31 “ 4 1 - 3 .【自王斛答】I3 + 2iJ+ - D 2i25 + 2 31+ Q 1 + 2)= 1 + i.【答案】1 + i(2)法一：设 =x+ yi(x, yC R),因为

4、 +13i = 5 2i,所以 x+ yi + (13i) = 52i,即 x+ 1=5 且 y3= - 2,解得 x = 4, y=1,所以 =4+i.法二：因为 +13i = 5 2i,所以 =(5 2i) (13i)=4+i.(3)设 =x+ yi(x, y R),则 | |二/2+丫2,又| |+ =1+3i,所以tx2+y2 + xZx2 + y2 + x= 1,x= 4,+ yi = 1 + 3i,由复数相等得V解得 所以=4+3i.2=3,丫=3,1 .复数加减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项.

5、2 .当一个等式中同时含有|与 时，一般要用待定系数法，设 =a+ bi(a, b e R).再练一题1 .复数(1 i) (2+i) + 3i 等于()【导学号：05410068】A. 1 + iB. 1-iC. iD. -i【解析】(1 i) (2 + i) + 3i = (12)+(ii+3i) = 1+i.故选 A.【答案】 A|*|复数加减法的几何意义例0(1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A, B, C对应的复数分别是1 + 3i, -i,2+i,则点D对应的复数为.(2)已知 1 ,2 C C , | 1|= | 2|= 1 , | 1+ 2| =

6、 V3,求 |1一 2|.【精彩点拨】(1)先写出点A, B, C的坐标，利用向量AB=DC列方程求解.(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决.【自主解答】(1)设D(x, y),类比向量的运算知 aB=dC,所以有复数-i-(1 + 3i) = 2+i-(x+ yi),得 x= 3, y= 5,所以 D 对应的复数为 3+5i.【答案】3+ 5i(2)设复数1 , 2, l+ 2在复平面上对应的点分别为1 , 2 ,，由| 1|=| 2|z1|2 +|Z2|2 一 |Z1+Z2|cos/ O 1=1知，以O 1, O 2为邻边的平行四边形是菱形，在 O 1中，由余弦定理，得2|

7、Z1|Z2|所以/。1 =120°,所以/ 1O 2=60因此AO 1 2是正三角形,所以 | 1 一 2|= | 2 1|= 1.利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论1 .技巧形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具 运用于几何之中.2 .常见结论在复平面内，1, 2对应的点分别为A, B, 1+ 2对应的点为C, O为坐标 原点，则四边形OACB:(1)为平行四边形；(2)若|i+ 2|=|i 2|,则四边形OACB为矩形；(3)若|i|=|2|,则四边形OACB为菱形；(4)若|

8、i|=|2|且|i+ 2|=|i 2|,则四边形OACB为正方形.再练一题2.若把上例(2)中的条件“ |1+ 2|=也”改为“|1 2|=1"，则|1+ 2|等于多少?【解】 设复数1, 2在复平面上对应的点分别为1, 2,由| l|= | 2|= 1 , | 12|=1知，以O 1, O 2为邻边的平行四边形是菱形 O 1 2, O为对角线， O 12为正三角形，由余弦定理，彳4| 1 + 2|2= | 1|2+ | 2|2-2| 1| |2|C0S/ O 1 ,因为/ 1O 2 = 60°,所以/ O 1 =120°,所以 | 1 + 2|= /3.探究共研

9、型HE|»*j(复数加减法的几何意义的应用探究1在实数范围内a-b>0? a>b恒成立，在复数范围内是否有 1 2>0? 1> 2包成立呢？【提小】右1 , 2c R,则1 2>0? 1> 2成乂.否则1 2>0?1> 2.如果1 = 1 + i, 2=i,虽然1 2=1>0,但不能说1 + i大于i.探究2复数|1 2的几何意义是什么？卜例【提示】 复数|12|表示复数1, 2对应两点1与2间的距离.复平面内点 A, B, C对应的复数分别为i,1,4 + 2i,由A-B-C-D按逆时针顺序作？ABCD,求|BD|.【精彩点拨】

10、首先由A, C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标.【自主解答】如图，设D(x, y), F为?ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为(2, 2),所以X+ 1=4y+ 0 = 3所以点D对应的复数为 =3+3i,所以BD = OD OB = 3+3i 1=2+3i,所以|BD尸13.1 .解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或 平行四边形法则借助复数相等即可求解.2 .复数的几何意义包括三个方面：复数的表示 (点和向量)、复数的模的几 何意义及复数运算的几何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的 数学思想方法，即通过几何图形来研究

11、代数问题.再练一题3 .已知e C,且| +3 4i| = 1,求|的最大值与最小值.【解】 由于| +3 4i| = | ( 3+4i)| = 1,所以在复平面上，复数 对应的 点 与复数一3+ 4i对应的点C之间的距离等于1,故复数 对应的点 的轨迹是以C( 3,4)为圆心，半径等于1的圆.而|表示复数 对应的点 到原点。的距离,又|OC| = 5,所以点 到原点O的最大距离为5+1=6,最小距离为51 = 4.即| |最大值=6, | |最小值=4.构建体系纭数的加减法及其儿何意义厂复数加减法的运算法则 一复数加法的忌算在一复数加减法的儿而意义阶段3体验落实评价1.设 1 = 2+i,

12、2=1 5i,则|1+ 2|为（）A.&+亚B. 5C. 25D.V37【解析】 |i+ 2|=|(2+i) + (1 5i)|=|3- 4i|=132+L42 = 5.【答案】 B2.设复数 =a+ bi对应的点在虚轴右侧，则()A. a>0,b>0B. a>0,b<0C. b>0,a RD. a>0,be R复数对应的点在虚轴右侧,则该复数的实部大于零，虚部可为任3.已知 |=3,且+3i是纯虚数，则.【导学号：05410069】【解析】 设=x+ yi(x, yCR), /.x2+y2=3，且 +3i = x+ yi + 3i=x+ (y+3)

13、i是纯虚数,x= 0, 'y+30,由可得y=3.=3i.【答案】3i4.若| 2|=| +2|,则| 一 1|的最小值是【解析】由| 2|=| +2|,知 对应点的轨迹是到(2,0)与到点(一2,0)距离相等的点即虚轴，| 1|表示 对应的点到点(1,0)的距离， | 一 1|最小值=1.【答案】15.集合 M = -1|<1, CC,N = 1 i|=| 一2|, CC,集合 P= MAN.(1)指出集合P在复平面内所表示的图形；(2)求集合P中复数模的最大值和最小值.【解】(1)由| 1|01可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点 E(1,0) 为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由| 1 i|=| 2|可知，集合N在复 平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l,因此，集 合P在复平面内所表示的图形是圆面截直线l所得的一条线段AB,