一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)

1、一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）1.A .选择题（共（2014?宜宾）2.X +3x - 2=022小题）若关于X的一元二次方程的两个根为B . X2- 3x+2=0x1=1, x2=2 ,则这个方程是（）C . X2- 2x+3=0D . x2+3x+2=02.A .（2014?昆明）-4已知X1,X2是一元二次方程 X2- 4x+仁0的两个实数根，则 X1?X2等于（B . - 1C . 13.（2014 ?玉林）X1,X2是关于X的一元二次方程 X2- mx+m - 2=0的两个实数根,是否存在实数 m使xI=O成立？则正确的结论是（A . m=0时成立m=2时成立C. m=

2、0或2时成立D .不存在4. A .（2014?南昌）10,是方程B .X2 - 2x - 3=0的两个实数根，则 2+ 的值为（9C . 75.A .（2014 ?贵港）-10若关于X的一元二次方程 x2+bx+c=0的两个实数根分别为X仁-2,B . 10C. -6x2=4 ,则b+c的值是（D . - 16. A .（2014?烟台）-1或5关于 X的方程X2- ax+2a=0的两根的平方和是 5 ,贝U a的值是（B . 1C . 57.A .2（2014?攀枝花）若方程 X +X -仁0的两实根为+ = - 1B . = 1a>,那么下列说法不正确的是（C . 2+ =3）D

3、. _a8.A .（2014 ?威海）方程-2或3X2 -（ m+6） X+m2=0有两个相等的实数根，且满足1+2=12,贝U m的值是（B . 3C . - 2D . - 3 或 29. （2014?长沙模拟）若关于 X的一元二次方程X2+ （ k+3） x+2=0的一个根是-2 ,则另一个根是（）A . 2B . 1C. - 1D . 02 210 . （2014?黄冈样卷）设 a, b是方程X +x - 2015=0的两个实数根，则 a +2a+b的值为（）A. 2012B. 2013C. 2014D . 201511. （2014?江西模拟）一元二次方程X2- 2x- 3=0与3x2

4、 - 11x+6=0的所有根的乘积等于（）A .-6B .6C .3D .-312 .（2014?峨眉山市二模）已知X1、X2是方程X2 -（k - 2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的取大值疋（）A .19B .18C .15D . 1313 . （2014?陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程 x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3, x1x2=1 ,贝U a、b的值分别 是（）A . a= 3, b=1B. a=3, b=1C. a，b=- 16D a= = , b=114. (2013?湖北)已知A . - 1,是一兀二次方程B . 92 - 5x - 2=0的两个实

5、数根，则C. 232+ + 的值为(D . 2715. （2013?桂林）已知关于X的一元二次方程 2+2x+a -仁0有两根为1和x2,且x12 -X12=0,则a的值是（）A . a=1B . a=1 或 a= - 2C. a=2D . a=1 或 a=216. （2013?天河区二模）已知一元二次方程2- 4x+3=0两根为X1、2,则1+2=（）A . 4B . 3C . - 4D . - 317 . （2013?青神县一模）已知 m和n是方程22- 5- 3=0的两根，则一 一一的值等于（） nA . JSB . 5C . _3D . _主53318 . （2012?莱芜）已知 m、

6、n是方程2+2 . ：x+仁0的两根，则代数式 m2÷n3m 的值为（）A . 9B .均C . 3D . 519 . （2012?天门）如果关于 X的一元二次方程 2+4x+a=0的两个不相等实数根 x1, x2满足X1X2 - 2x1 - 2x2- 5=0,那么a的值为（）A .3B .-3C .13D .-1320 .（2011?锦江区模拟）若方程2- 3x -2=0的两实根为X1、X2,则(X1+2) (X2+2)的值为（)A .-4B .6C .8D .1221 .（2011?鄂州模拟）已知2P -P- 1=0,1 -q-q2=0,且Pq,则竺乜的值为（Q)A .1B .2

7、C .1D .2 - 12222 .（2010?滨湖区一模）若 ABC的一边a为4,另两边b、C分别满足b2- 5b+6=0,C2-5c+6=0,则厶ABC的周长为（）A .9B .10C .9或10D .8或9或10二.填空题（共4小题）23 . （2014?莱芜）若关于X的方程X2+ （k- 2） x+k2=0的两根互为倒数，则 k=.2 224 . （2014?呼和浩特）已知 m , n是方程X +2x - 5=0的两个实数根，则 m - mn+3m+n= 25 . （2014?广州）若关于 X的方程X +2mx+m +3m - 2=0有两个实数根 x1、2,则1 （2+1） +2的最小

8、值为 26 . （2014?桂林）已知关于 X的一元二次方程 X + （2k+1 ） x+k - 2=0的两根为X1和2,且（x1 - 2） （x1 - x2）=0, 则k的值是.三.解答题（共4小题）2 227. (2014?泸州)已知i, x2是关于X的一元二次方程 X - 2 ( m+1) x+m +5=0的两实数根.(1) 若(Xi - 1) (X2 - 1) =28 ,求 m 的值；(2) 已知等腰 ABC的一边长为7,若X1, 2恰好是 ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.3x128. (2014?日照二模)已知 X1, X2是关于X的一元二次方程 X2+ (3a - 1)

9、x+2a2-仁0的两个实数根，其满足( -X2) (X1 - 3x2) = - 80.求实数a的所有可能值.2 一 229. (2013?孝感)已知关于 X的一元二次方程 X -( 2k+1) x+k +2k=0有两个实数根1, 2.(1) 求实数k的取值范围；(2) 是否存在实数k使得X1?X2- X12-X22成立？若存在，请求出 k的值；若不存在，请说明理由.30. (2001 ?苏州)已知关于X的一元二次方程 / - 2kx+-k2 - 2=02(1) 求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2) 设X1、x2是方程的两个根，且 x12- 2kx1+2x1x2=5,求k的值.

10、一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一 选择题（共22小题）1. （2014?宜宾）若关于X的一元二次方程的两个根为i=1, 2=2,则这个方程是（）2229A . x2+3x - 2=0B . Xr - 3x+2=0C. x2 - 2x+3=0D . x2+3x+2=0考点：根与系数的关系.分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3 ,两实数根的积是1 >2=2 .解题时检验两根之和是否a为3及两根之积一是否为2即可.a解答：解：两个根为 X1=1 , X2=2则两根的和是 3,积是2 .A、 两根之和等于-3,两根之积等于-2,所以此选项不正确；

11、B、两根之和等于 3 ,两根之积等于 2 ,所以此选项正确；C、两根之和等于 2 ,两根之积等于 3 ,所以此选项不正确；D、两根之和等于-3,两根之积等于 2 ,所以此选项不正确， 故选：B .点评：验算时要注意方程中各项系数的正负.2. （2014?昆明）已知Xi, X2是一元二次方程 2- 4x+仁0的两个实数根，则 Xi?x2等于（）2- m+m - 2=0的两个实数根，是否存在实数m 丄 =0成xl x2C . m=0或2时成立D .不存在A . - 4B . - 1C . 1D . 4考点：根与系数的关系.专题：计算题.分析：直接根据根与系数的关系求解.解答：解：根据韦达定理得 X

12、1?x2=1 . 故选：C .点评：本题考查了 兀二次方程a2+bx+c=0（ a0）的根与系数的关系：右方程两个为X1,x2,则x1+x2=,x1?x2-.333. （2014?玉林）1, 2是关于X的一元二次方程立？则正确的结论是（）考点： 分析：A . m=0时成立B . m=2时成立根与系数的关系.先由一兀二次方程根与系数的关系得出，x1+2=m, 12=m - 2 .假设存在实数 m使.+ =0成立，则巧七m=0,再用判别式进行检验即可.解答:解：T X1, X2是关于X的一元二次方程 2- m+m - 2=0的两个实数根,. 1+2=m , 12=m - 2 .假设存在实数 m使亠

13、+亠=O成立，则 _2=0,引七itl T £/ =0,D - 2. m=0.当 m=0 时，方程 X2 - mx+m - 2=0 即为 x2- 2=0,此时 =8 > 0, m=0符合题意.故选：A.点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x, x2是方程2+px+q=0的两根时，那么i+2=- P,i2=q .4. （ 2014?南昌）若, 是方程X2 - 2x - 3=0的两个实数根，则 2+ p2的值为（）A . 10B . 9C. 7D . 5考点：根与系数的关系.分析：根据根与系数的关系求得+=2 , =- 3,则将所求的代数式变形为（+ 2- 2 将其

14、整体代入即可求值.解答：解：I , 是方程x2- 2x - 3=0的两个实数根， + =2 , = - 3, 2+ 2= （ + ） 2 - 2 =22- 2× （- 3） =10.故选：A.点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.25. （2014?贵港）若关于X的一元二次方程 X +bx+c=0的两个实数根分别为 X仁-2, 2=4,则b+c的值是（）A . - 10B . 10C. - 6D . - 1考点：根与系数的关系.分析：根据根与系数的关系得到-2+4= - b,- 2×4=c,然后可分别计算出 b、

15、C的值，进一步求得答案即可.解答：解：关于X的 兀二次方程 X +bx+c=0的两个头数根分别为 X仁-2, 2=4, 根据根与系数的关系，可得-2+4= - b, - 2 >4=c,解得 b= - 2, C= - 8 b+c= - 10.故选：A.点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：X1+X2= l', X1X2.S326. （2014?烟台）关于X的方程2- ax+2a=0的两根的平方和是 5,贝U a的值是（）A .-1 或 5B . 1C . 5D . - 1考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题.分析：设方程的两根为 X

16、1 , X2 ,根据根与系数的关系得到X1+2=a, X1?X2=2a ,由于X12+X22=5 ,变形得到（X1+X2）2 - 2X1?X2=5 ,则a2- 4a- 5=0 ,然后解方程，满足的a的值为所求.解答：解：设方程的两根为 X1, 2,则1+2=a, x1?x2=2a,22L X1 +X2 =5 ,2 (X1+X2)- 2X1?x2=5, a2- 4a- 5=0, a1=5 , a2= - 1,/ =a 8a0, a= 1. 故选：D.点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为xi,x2,则xi+x2=,aX1?X2=二.也考查了一元二

17、次方程的根的判别式.327. （ 2014?攀枝花）若方程 X +x -仁0的两实根为 那么下列说法不正确的是（）A . + = - 1B . = - 1C . Oa + =3D . 1 卜 I =考点： 专题： 分析：根与系数的关系.莎乍=-1计算题.先根据根与系数的关系得到Oa- = - 1, a = - 1,再利用完全平方公式变形a2+ 2得到（ ） 2 - 2 a 禾U用通分变形_+_得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判CL I CL 断.解答:a = - 1 .=(-1) 2-2×(- 1) =3 ;OLI LI-I -1=卩II Cl

18、&-1= ( O- B) 2- 2a解：根据题意得 a = - 1, 所以a2+点评:故选：D.本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 （ a0）的根与系数的关系：若方程两个为1,2,则1+2=- ,x1?x2 .& （2014?威海）方程x2-（ m+6） x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2,贝U m的值是（）A . - 2 或 3B . 3C . - 2D . - 3 或 2考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：判别式法.分析： 根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6, x1x2=m2,再根据X1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一

19、步由方程x2-（ m+6） +m2=0有两个相等的实数根得出b2- 4ac=0,求得m的值，由相同的解解决问题.2解答： 解： T X1+x2=m+6 , X1x2=m , X1+x2=x1x2,2 m+6=m ,解得m=3或m= - 2,方程X2-（ m+6） x+m2=0有两个相等的实数根，2 2 2 2 =b - 4ac= （ m+6）- 4m =- 3m +12m+36=0解得m=6或m= - 2 m= - 2.故选：C.点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0, a, b, C为常数）根的判别式 =b2- 4ac.当厶> 0,方程有两个不相等的实数根；当 =0,

20、方程有两个相等的实数根；当< 0,方程没有实数根.同时考查了一元二次、2b亡方程ax +bx+c=0 （a）的根与系数的关系：若方程的两根为x1, x2,则x1+x2=-, x1?x2.aa （2014?长沙模拟）若关于 X的一元二次方程X2+ （ k+3） x+2=0的一个根是-2 ,则另一个根是（）A . 2B . 1C. - 1D . 0考点：根与系数的关系.分析：根据一元二次方程的根与系数的关系X 1?X2*来求方程的另一个根.a解答：解：设X1、x2是关于X的一兀二次方程 X + ( k+3) x+2=0的两个根， 由韦达疋理，得 X1 ?x2=2 ,即-2x2=2,解得，X2

21、=- 1 .即方程的另一个根是-1 .故选C .点评：此题主要考查了根与系数的关系.在利用根与系数的关系X1+X2=-上、x1?x2*时，要注意等式中的a、b、IaC所表示的含义.10. (2014?黄冈样卷)设2a, b是方程X +x - 2015=0的两个实数根，则A . 2012B. 2013C. 20142a +2a+b的值为（）D. 2015考点：根与系数的关系；一元二次方程的解. 专题：计算题.2 2 2分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到a +a- 2015=0 ,即a +a=2015,则a +2a+b变形为a+b+2015 ,再根据根与系数的关系得到 a+b= - 1,然后

22、利用整体代入的方法计算.解答： 解：T a是方程x2+ - 2015=0的根，2 2 a +a - 2015=0 ,即 a +a=2015,2 a +2a+b=a+b+2015 , a, b是方程x2+x - 2015=0的两个实数根 a+b= - 1, a2+2a+b=a+b+2015= - 1+2015=2014. 故选C.评：2小、' 本题考查了根与系数的关系：若X1, 2是一元二次方程 ax +bx+c=0 (a0)的两根时，x1+x2= -一 , x12 .也a a 考查了一元二次方程的解.11. (2014 ?江西模拟)一元二次方程A . - 6B . 6x2- 2x- 3

23、=0与3x2 - 11x+6=0的所有根的乘积等于（）C. 3D . - 3考点：根与系数的关系.分析：由一兀二次方程 X2- 2x - 3=0和3x2- 11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系XilyrI二二，即可直接得出答案.1 E a解答：2解：由一元二次方程 x2- 2x - 3=0 , =4+16=20 > 0, X1X2= - 3 ,由一元二次方程 3x2- 11x+6=0 , =121 - 4×30-49>0, X1x2=2 3 ×2= 6故选A .点评：本题考查了一兀二次方程根与系数的关系.解此类题目要把代数式变形为两根之

24、积的形式.12. (2014?峨眉山市二模)已知 x1、x2是方程x2-( k - 2) x+k2+3k+5=0的两个实数根，则 衍 +七？的最大值是( )A . 19B . 18C . 15D . 13考点：根与系数的关系；二次函数的最值.分析： 根据XI、x2是方程x2-( k - 2) x+ (k2+3k+5) =O的两个实根，由为即可求出k的取值范围，然后根据 根与系数的关系求解即可.解答：解：由方程有实根，得 %,即(k- 2) 2- 4 ( k2+3k+5 ) 2所以 3k +I6k+16 O, 所以(3k+4) ( k+4) 0解得-4k-3又由 x+x2=k- 2, xi?x2

25、=k2+3k+5 ,得2 2 2 2 2 2 2xi +x2 = (xi+x2)- 2xix2= (k- 2)- 2 ( k +3k+5) = - k - IOk - 6=19 -( k+5),当k= - 4时，Xi2+22取最大值18.故选：B.点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进行求解.i3. (20i4?陵县模拟)已知：xi、x2是一元二次方程 x2+2ax+b=0的两根，且xi+x2=3, xix2=i，贝U a、b的值分别 是()A. a= 3, b=iB. a=3, b=iC.D3(a=-±, b=- i a=-&

26、#177;, b=ii4. （20i3?湖北）已知 A . - i6 2考点：根与系数的关系.专题：计算题.分析：根据根与系数的关系得到得xi+x2= - 2a, xix2=b,即-2a=3, b=i ,然后解一次方程即可.解答：解：根据题意得 xi+x2= - 2a, xix2=b ,所以-2a=3, b=i ,解得a=-三b=i.故选D.点评：本题考查了根与系数的关系：右xi, x2是一兀二次方程 ax +bx+c=0 (a)的两根时，xi +x2= , xix2.aa2+ + 的值为（D . 27, 是一元二次方程 x2- 5x - 2=0的两个实数根，则B . 9C. 23考点：分析：

27、解答:点评：根与系数的关系.根据根与系数的关系+=-上， =二，求出+和 的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案.a a解：i , 是方程x2- 5x - 2=0的两个实数根，. + =5 , = - 2,又 T /+ + = ( + ) 2 - 2 2 2 + + =5 +2=27 ;故选D.此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若、bC方程两个为 xi, X2,则 xi+x2= , Xix2Laa2 2i5. （20i3?桂林）已知关于X的一元二次方程 X +2x+a - i=0有两根为xi和2,且xi -xi2=0,则a的值是（）A

28、 . a=iB . a=i 或 a= - 2C. a=2D . a=i 或 a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解.专题：压轴题.分析： 根据x2- X1X2=0可以求得X仁O或者X1=X2,所以 把Xi=O代入原方程可以求得 a=1; 利用根的判别式 等于0来求a的值.解答：解：解Xl2 - X12=0 ,得X仁0 ,或 Xi=X2, 把Xi=O代入已知方程，得a- 1=0,解得：a=1; 当 1=2 时， =4 - 4 (a- 1) =0, 即卩 8 - 4a=0,解得：a=2.综上所述，a=1或a=2.故选：D.点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义解答该题的技巧性

29、在于巧妙地利用了根的判别式 等于0来求a的另一值.216. (2013?天河区二模)已知一元二次方程X - 4x+3=0两根为X1、2,则1+2=()A . 4B . 3C . - 4D . - 3考点：根与系数的关系.分析：根据一元二次方程 X2- 4+3=0两根为X1、X2,直接利用X1+X2=-丄求出即可.3解答： 解：T 一元二次方程X2 - 4+3=0两根为X1、2,. X1+X2= - =4 .a故选A .点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键.17 . (2013?青神县一模)已知 m和n是方程22- 5- 3=0的两根，则二二的

30、值等于()m nA . JB . l.-53考点：根与系数的关系.专题：计算题.分析:根据根与系数的关系得到m+n=解答:解：根据题意得 m+n= 一,mn=-5一,mn=-237，再变形Ir得到+nmn,然后利用整体思想计算.1丄血n_52IrIrlnInz所以故选D .本题考查了一元二次方程a2+bx+c=0( a0)的根与系数的关系：若方程两个为1 ,2,则1+2=, x1?x2 .aa18. (2012?莱芜)已知m、n是方程2+2 Ix+1=0的两根，则代数式I ' I I的值为()+4 .考点： 专题： 分析：根与系数的关系；二次根式的化简求值. 整体思想._I2根据一兀二

31、次方程 ax +bX+c=0 ( a0)的根与系数的关系得到m+n= - 2 二，mn=1 ,再变形J ：得,然后把m+n= - 2 :, mn=1整体代入计算即可.解答:J tr+n ) 2÷n解： m、n是方程2+23d+1=0的两根, m+n= 2 J ：-, mn=1 , . I： : I Ll "： .1 .=.,上- l=3 .点评:故选C.本题考查了一兀二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的根与系数的关系:若方程两根分别为 X1 , X2,则X1+X2=,aX1?X2=二.也考查了二次根式的化简求值.219. (2012?天门)如果关于 X的一元二次方程 X

32、 +4x+a=0的两个不相等实数根 1, 2满足12 - 2x1 - 2x2- 5=0, 那么a的值为()A . 3C. 13D . - 13考点：分析：解答:点评:根与系数的关系；根的判别式.利用根与系数的关系求得X12=a, X1+2= - 4 ,然后将其代入 X12 - 2x1 - 2x2- 5=12 - 2 (1+2)- 5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a的值.2解：/ 1, 2是关于X的一元二次方程 X +4x+a=0的两个不相等实数根， X1X2=a, X1 +X2= - 4, 12- 2x1 - 2x2- 5=12- 2 (1+2)- 5=a- 2 × (-

33、4)- 5=0 , 即卩 a+3=0 ,解得，a=- 3;故选B.本题考查了根与系数的关系.将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.20 . (2011?锦江区模拟)若方程A .X - 3x - 2=0的两实根为X1、2,则(x1+2) (x2+2)的值为(6C. 8D . 12考点： 分析：解答:根与系数的关系.根据(X1+2) ( X2+2 ) =X1 X2+2x 1+2x2+4=X 1X2+2 ( X1+X2) 和与积，代入数值计算即可.解： X1、X2是方程X2- 3x - 2=0的两个实数根.X1+X2=3 , X1?x2= - 2.又 T (X1+2) (X

34、2+2) =x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2 (X1+X2)将 X1+X2=3、X1?X2= - 2 代入，得(X1+2) ( X2+2) =X 1x2+21+22+4=X1x2+2 (X1+X2) +4= 故选C+4,根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的(-2) +2 ×3+4=8 .点评:将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.e+1Q2 2的值为（）21. (2011?鄂州模拟)已知 P - P- 1=0 , 1 - q- q =0,且 Pq ,则A . 1B . 2C.D . .:-22考点： 专题： 分析：根与系数的关系.计算题.首先把

35、1 - q-q2=0变形为 Jq-1-0 ,然后结合P2- P- 1=0,根据一元二次方程根与系数解答:的关系可以得到 P与丄是方程x2 - X -仁0的两个不相等的实数根,Q那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值.2 2解：由 P - P -仁0 和 1 - q- q =0,可知 p), q), 又 pq,由方程1 - q - q2=0的两边都除以q2得：q P与丄是方程X2- X -仁0的两个不相等的实数根, Q则由韦达定理，得IiP+_=1 ,1J=p+-=1.q L-I+丄Q故选A.点评:本题考查了根与系数的关系（丄）-I=O是解题的关键，然后利用Q根与系数的关系就可以求出所求代

36、数式的值.22. （2010?滨湖区一模）若 ABC的一边a为4,另两边b、C分别满足b 1 2首先把1 - q-q2=0变形为q - 5b+6=0, c2 - 5c+6=0 ,则 ABC的周长为（）A . 9B . 10C. 9 或 10D . 8 或 9 或 10考点：根与系数的关系；三角形三边关系.专题：压轴题.分析：由于两边b、C分别满足b2 -5b+6=0,c2-5c+6=0 ,那么b、C可以看作方程x2 -5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到 b+c=5 , bc=6,而厶ABC的一边a为4,由此即可求出 ABC的一边a为4周长.解答： 解：.两边 b、C 分别满足 b2

37、- 5b+6=0 , c2- 5c+6=0, b、C可以看作方程x2- 5x+6=0的两根， b+c=5, bc=6,而厶ABC的一边a为4, 若b=c,则b=c=3或b=c=2 ,但2+2=4 ,所以三角形不成立，故 b=c=3 . ABC 的周长为 4+3+3=10 或 4+2+2 若b J, ABC的周长为4+5=9 .故选C.利用根与系数的关系来三角形的周长.此点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来,题要注意分类讨论.二填空题（共4小题）23. （2014?莱芜）若关于X的方程X2+ （k-2） x+k2=0的两根互为倒数，则 k= 1考点：根与系数的关系.专题

38、：判别式法.分析：根据已知和根与系数的关系 X12*得出k2=1 ,求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的3k的值.解答：解：I' X1X2=k2,两根互为倒数， k2=1,解得k=1或-1;T方程有两个实数根，> 0,当k=1时，< 0,舍去, 故k的值为-1.故答案为：-1 .点评：本题考查了根与系数的关系，根据X1, X2是关于X的一兀二次方程ax +bx+c=0 （a）, a, b, C为常数）的两个实数根，则 X1+X2= , X1X2=上进行求解.aa2 224. （2014?呼和浩特）已知 m , n是方程x2+2x - 5=0的两个实数根，则

39、m2 - mn+3m+n= 8考点：根与系数的关系；一兀二一次方程的解.专题：常规题型.分析：根据m+n=-2,am?n= - 5 ,直接求出 m、n即可解题.解答：解: m、n是方程X2+2x 5=0的两个实数根，. mn= 5, m+n= 2,/ m2+2m 5=0 2 , m =5 2m2m mn+3m+n= (5 2m) ( 5) +3m+n=10+m+n =10 2=8故答案为：8.X1、x2,贝U x1 (x2+x 1) +x22 的最小值为点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键.25. （2014?广州）若关于X的方程2+2mx+m

40、 2+3m 2=0有两个实数根考点：根与系数的关系；二次函数的最值.专题：判别式法.分析：由题意可得 =b2 4ac%,然后根据不等式的最小值计算即可得到结论.解答：解：由题意知，方程 x2+2mx+m 2+3m 2=0有两个实数根， 贝廿 =b2 4ac=4m2 4 ( m2+3m 2) =8 12m 0, mZ X 2T 1 (2+1) +22=(X2+X1) X1X22 2=(2m)-( m +3m - 2)2=3m 3m+22=3 (m2- m+)+2当m=时，有最小值4'故答案为：上.4点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题. 总结一元二次方

41、程根的情况与判别式的关系：(1) > 0?方程有两个不相等的实数根；(2) =0?方程有两个相等的实数根；3) < 0?方程没有实数根.26. (2014?桂林)已知关于 X的一元二次方程 X + (2k+1 ) +k 2=0的两根为Xi和2,且(i 2) (Xi 2) =0, 则k的值是 -2或-二.4考点：根与系数的关系；根的判别式.分析：先由(Xi 2) (Xi X2) =0,得出Xi 2=0或Xi X2=0 ,再分两种情况进行讨论： 如果Xi 2=0 ,将=2 代入 X2+(2k+i ) X+k2 2=0,得 4+2 (2k+i) +k2 2=0 ,解方程求出 k= 2;

42、如果 Xi 2=0,那么将 i+2= (2k+i ), XiX2=k2 2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验.解答：解：T ( Xi 2) ( Xi X2) =0, Xi 2=0 或 Xi X2=0 . 如果Xi 2=0,那么X仁2,将 =2 代入 X2+ (2k+i) X+k2 2=0,得 4+2 (2k+i) +k2 2=0 ,整理，得 k2+4k+4=0 ,解得k= 2; 如果Xi X2=0 ,2 2 2 2那么(Xi X2) = (Xi+X2) 4i2= ( 2k+i ) 4 (k 2) =4k+9=0 , 解得k=-丄4又 T = (2k+i) 2-4 ( k2- 2) 0.解得

43、：k-.4所以k的值为-2或-=.4故答案为：-2或-_!.4点评：本题考查了一兀二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进 行检验.三解答题(共4小题)27. (2014?泸州)已知xi, x2是关于X的一元二次方程 2- 2 ( m+1) x+m2+5=0的两实数根.(1) 若(Xi - 1) (x2- 1) =28 ,求 m 的值；(2) 已知等腰 ABC的一边长为7,若X1, X2恰好是 ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质.专题：代数几何综合题.分析：2(1) 利用(X1 - 1) (x2

44、- 1) =x1?x2-( x1+x2) +仁m +5 - 2 ( m+1) +仁28 ,求得 m 的值即可；(2) 分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长.解答：解：(1) T X1, X2是关于X的一兀二次方程 X2 2 ( m+1) x+m2+5=O的两实数根，2/. x1+x2=2 ( m+1), x1?x2=m +5,2/ (x1 - 1) (x2- 1) =x1?x2-( x1+x2) +1=m +5 - 2 ( m+1) +1=28 ,解得：m= - 4或m=6 ；当m= 4时原方程无解，/ m=6 ；(2)当7为底边时，此时方程 x2- 2 ( m+1) x

45、+m2+5=O有两个相等的实数根，2 2 =4 ( m+1)- 4 ( m +5) =0 ,解得：m=2,方程变为x2- 6x+9=0 ,解得：X1=x2=3 , 3+3 V 乙不能构成三角形；当7为腰时，设x 1=7, 代入方程得：49- 14 (m+1) +m2+5=O ,解得：m=10或4, 当m=10时方程变为 x2- 22x+105=0 ,解得：x=7或15 7+7 V 15,不能组成三角形； 当m=4时方程变为 x2- 10x+21=0 ,解得：x=3或7,此时三角形的周长为 7+7+3=17 .点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分

46、别与系数的关 系.28. (2014?日照二模)已知 x1, X2是关于X的一元二次方程 X2+ (3a- 1) x+2a2-仁O的两个实数根，其满足(3x1 -X2) (X1 - 3x2) = - 80.求实数a的所有可能值.考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题.分析：根据的意义由一兀二次方程 X2+ (3a- 1) x+2a2 - 1=0的两个实数根得到 为，即(3a- 1) 2-4 (2a2- 1)=a2 - 6a+5),根据根与系数的关系得到 x1+x2= -( 3a - 1), x1?x2=2a2 - 1,由(3x1 - x2) (x1 - 3x2) = - 80 变形得到 3(X1+X2) 2- 16X1X2= - 80,于是有 3(3a- 1) 2- 16 (2a2- 1) =- 80,解方程得到 a=3 或 a=-5然后代入验算即可得到实数 a的值.解答：解：T x, x2是关于X的一元二次方程X2+ (3a- 1) x+2a2-仁O的两个实数根， /. ,即(3a- 1) 2 - 4 ( 2a2 - 1) =a2 - 6a+50所以a5或a .(3分). x