平面问题基本理论-211

1、2-4 2-4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移几何方程几何方程表示任一点的微分线段 上形变与位移之间的关系。PA=dx，PB=dyxyouvdxxuudxxvvdyyuudyyvvab讨论PA，PB的线应变和切应变应用的基本假定：连续性、均匀性、小变形。x：PA的线应变y：PB的线应变xudxudxxuuxyvdyvdyyvvyxvdxvdxxvvaxy或yx ：PA与PB夹角的改变量：a+byudyudyyuu）（bxvyuxy平面问题中的几何方程： (5)形变与位移的关系：位移确定时，应变完全确定；应变确定时，位移却不能完全确定。 xuxyvyxvyuxy 适用于区域内任何点; 应用小

2、变形假定，略去了高阶小量,故为线性的几何方程； 适用条件：连续性、均匀性、小变形。 几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。设应变分量已知：x=yxy=0 0yvy0 xuxu=f1（y） v=f2（x） 0 xvyuxy0)()(21dxxdfdyydf12( )( )df ydfxdydxu=f1（y）=u0- y v=f2（x）=v0+ x 变形为0时的位移刚体位移刚体位移Pxyxyr rj jo r rayx合位移的方向垂直于OP，即沿切线方向，所以表示弹性体绕z轴的刚体转动。2-5 2-5 物理方程（应力、应变之间的关系）物理方程（应力、应变之间的关系）物理方程的两种形式：物

3、理方程的两种形式：,1 ),(1,1 ),(1,1 ),(1xyxyyxzzzxzxxzyyyzyzzyxxGEGEGE物理方程的说明：物理方程的说明： 适用条件理想弹性体； 是总结实验规律得出的； 是线性的代数方程； 线应变只与正应力有关；切应变只与切 应力有关。平面应力问题的物理方程 xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1 )(1平面应力问题的物理方程的另一种形式： )(12yxxE)(12xyyExyxyG1平面应变问题的物理方程 xyxyxyyyxxEEE)1(2)-1(-1 )-1(-122平面应力问题：平面应力问题：平面应变问题：平面应变问题：,000,0 xyxyzyzzxxy

4、xyz,000,0 xyxyzyzzxxyxyz平面应变问题：平面应变问题：xyxyxyyyxxEEE)1(2)-1(-1 )-1(-122xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(1平面应力问题：平面应力问题：1 ,12EE1 ,)1()21(2EE平面应力物理方程平面应变物理方程 平面应力问题与平面应变问题两者的物理方平面应力问题与平面应变问题两者的物理方程虽然不同，但平衡微分方程和几何方程是相同程虽然不同，但平衡微分方程和几何方程是相同的。的。求解平面问题的基本方程： 平衡微分方程（2个） 几何方程 （3个） 物理方程 （3个） 再考虑边界条件，即可求出所有未知量。2-6 2-6 边界

5、条件边界条件求解弹性力学问题平衡微分方程 + + 几何协调方程 + + 物理方程 + + 边界条件边界条件边界条件 表示在边界上位移与约束、 或应力与面力之间的关系。一、位移边界条件一、位移边界条件弹性体在边界上的位移是已知的：),()( ),()(svvsuuss（在 上)us位移边界条件的说明：位移边界条件的说明： 它是函数方程，要求在 上每一点 ， 位移与对应的约束位移相等。us如：四边固定的板或两端简支的板ybaxabyx 它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。二、应力边界条件二、应力边界条件ABPyyxxyxspypx应力边界条件的说明： 它是边界上微分体的静力平

6、衡条件； 式（a）在弹性体中每一点均成立，而式（b）只能在边界s上成立； 它是函数方程，要求在边界上每一点s上均满足，这是精确的条件；yxba特殊边界的应力边界条件特殊边界的应力边界条件xyq 当边界的外法线沿坐标轴的正向时，两者的正负号相同；当边界的外法线沿坐标轴的负向时，两者的正负号相反。三、混合边界条件三、混合边界条件 1 部分边界具有已知的位移，另部分边界具有已知的面力； 2 同一部分边界既有位移边界条件，又有应力边界条件。lh/2h/2qyxoyyxxyyyxx1qyxoqqqqbbaaxyyyxxyxoa写出图示结构AB、BC 、DE的应力边界条件:（水的重度为r）ExyABCDn

7、aa2-7 2-7 圣维南原理及应用圣维南原理及应用 弹力问题是微分方程的边值问题。应力分量、形变分量、位移分量满足基本方程及其边界条件。主要的在于难于满足边界条件。 另外，在工程计算中经常碰到这样的情况：在物体的部分边界上，只知道物体所受面力的合力，面力的分布方式并不明确。 在上述情况下，可利用圣维南原理(Saint-Saint-VenantsVenants Principle)Principle)来写出近似的边界条件： 圣维南原理：圣维南原理：如果把物体一小部分边界上的面力变换成分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著的变化，但远处所受的影响可以忽略。圣维南原理的说明圣维南原理的

8、说明1. 圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次 要边界或局部边界）；2. 静力等效 指两者主矢量相同，对同一点主矩也 相同；3. 近处 指面力变换范围的一、二倍的局部区域；4. 远处 指“近处”之外。例：PPPP/2P/2P/2P/AP/APabcde注意：（1）用圣维南原理必须满足静力等效条件，若不满足，则计算结果不能用于不同的情况。（2）在静力等效的前提下，若位移条件不满足，也可以用圣维南原理。圣维南原理圣维南原理的推广：的推广： 如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处的产生显著的应力，而远处的应力可不计。如：应力集中问题。hFF/2 F/2F/2F/2FF/bhb局部边界上圣维南原理的应用：局部边界上圣维南原理的应用：P22,23P22,23 （1）列出精确的应力边界条件（2）圣维南原理的应用-积分的应力边界条件P23，公式（b）中（2）应力主矢量、主矩的正方应力主矢量、主矩的正方向向的正负号的确定： 应力的主矢量的正方向，即应力的正方向， 应力的主矩的正方向，即（正应力） （正的矩臂）的方向。比较：比较： 精确的应力边界条件精确的应力边界条件 积分的应力边界条件积分的应力边