2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

1、平面简量的数t积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其 含义_Z - IMl6 A »B已知两个非零向量a和b,作OB=b,贝!JZAOB=0 (0° <0 <180° ) 叫做向量a与b的夹角。当e=o°时，a与方同向;当0 = 180°时，a与方反向；才 当0=90°时，称。与方垂直， 记为a丄方.我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s （如图）力F所做的功W可用下式计算W=|F| |S|cose其中8是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。已知两个酢零向量a与b,它们的 夹角为e

2、,酸们把数量lal IblcosO叫做 （或内积），记作ab=lal Ibl cose|a| cos0 （|b| cos0）叫 做向量a在b方向上（向 量b在a方向上）的投影。05L_规定:零向量与任一向量的数量积为0。向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负?当0° <0 < 90°时ab为正； 当90。<0<180°时ab为负。当0=90°时ab为零。竇晏睦磁發万、方是非零向量,0是与丘方向相同的 单位向量，雄万与6的夹角，贝!I(1) 6 5 = H ? =151 cos 0(2) H丄方o万方二0(3) 当

3、万与5同向时,a-b=ab I; 当万与，反向时，a-b =-ab I;|特别地万万=1万F或I万1= -Ja*a = cos。=a-bab(5)丨万方IV 011力例1已知|a|=5, |b|=4, a与b的夹角 0=120° ,求a bo解：a-b = |a| |b|cos0= 5X4Xcosl20°=5X4X (-1/2) = -10例2 已知 a=(14)?b=(2,0)，求 a*bo解：|a| =2, |b|=2, 0=45 °a-b=|a| |b|cos0=2乂2Xcos45 °=2Q。血购恥肖令如 万方等于a的长度I a与丘在万方向上的投影

4、b IcosO的乘积。练习:贝!I对任一向量方,有a 6=0.3.冷0,则对任一非零向量方，有a 勝0X HO, a b =09 贝!|6=0 X4. 若a 6=0,贝！Ja 方中至少有一个为0. X5. 若aHO, a b= b c9 贝！Ja=c x6. 若a b = a c ,贝肠He,当且仅当a=0时成立.x7. 对任意向量a有a2 =a 2 p二、平面向量的数量积的运算律:数量积的运算律：(1) a-b -b -a(2) (肋)方=2方)=万(2方)(3) (0 +方)乙=a-c +b -c其中，万、5、乙是任意三个向量，2cR 注:(a-b)-ca-(b-c)证明运算律(3) 向量

5、a、b、a + b在c上的投影的数量 分别是OM、MN、ON,O M N例3：求证：(1) (a+b)2=a2+2a*b+b2；(2) (a +b(a b) =a2b2.证明：(1) (a +b)2=(a +b)* (a +b) =(a+bya+(a+byb =aa+ba+ab+bb =a2+2a9b+b2.例3：求证：(1) (a +b)2=a2+2a*b +b2 ；(2) (a +6)*(a b) =a2b2.证明:(2) (a+b)9(a=(a+b)*a(a +b)*b=aa+ba_ab 例3：求证：bb=a2b2.例4、已知丨吕|= 6, |方卜4, ab的夹角为'0 = 60°, 求（芳 + 2b）（5 - 3方）。解:zsHgr 12<ga feI)叵只心汕w口训廿卫q _ dHg 一一叵1、a=b= 1,5丄b且2万+ 3b与肋一4方也 互相垂直，求k的值。2、设万是非零向量，且5工乙,求证>ab =03o 万丄（b -c）3、用向量方法证明：直径所对的圆冋角为直角。如图所示”已知A腔为直径"C为上任意一点。求证NACB=9QaW： MffiZACB=90：，只须证向量花丄CB ,即庇CB = 0。C解:设 AO = a,OC = b贝!j AC = a + b, CB = a b ,由此可得：花.厉= （