2.3.1离散型随机变量的数学期望(一)

1、第二章2.3随机变量的数字特征第1课时离散型随机变量的数学期望课前自主预习2 课堂典例探究3 课时作业课前自主预习新课情境引入某书店订购一新版图书，根据以往经验预测，这种新书的 销售量为40,100,120本的概率分别为0.2,0.7,0.1,这种书每本的 进价为6元.销售价为8元，如果售不出去，以后处理剩余书每 本为5元.为盈得最大利润，书店应订购多少本新书？知识链接回顾1. 求离散型随机变量的分布列的步骤：找出随机变量§的所有可能的取值可，对 求出取每一个值的概率Pg=X)=Pj(3)歹Q出表格.2. 离散型随机变量分布列的性质：(1) 。三 0,=1,2,3, ，“；。I +/

2、?2 HPn =!教材自主预习一、离散型随机变量的数学期望一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是可， 勺，£，这些值对应的概率是戸，P2，,几，则称E（X） = X1j71+x2/?2+. +©/?“叫做这个离散型随机变量X的均值或数学 期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量的平均取值水平.在理解离散型随机变量的数学期望的概念时注意以下三 占八、（1）数学期望（均值）的含义：数学期望（均值）是离散型随机 变量的一个特征数，反映了离散型随机变量取值的平均水平.（2）数学期望（均值）的来源：数学期望（均值）不是通过一次 或几次试验就可以得到的，而是在大量的重复试验中表

3、现出来 的相对稳定的值.（3）数学期望（均值）与平均数的区别：数学期望（均值）是概 率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数.已知随机变量X的分布列为:X-101p111236则E(X)等于()A. 0B. 1 C. | D.舟答案C解析由题意可知 E(X) = (l)x|+ox|+l x|= 二离散型随机变量数学期望的性质若Y=aX+b,其中a, b是常数，X是随机变量，则Y也是 随机变量，且有E(aX-b)=aE(X)-b.当b = 0时，E(aX) = aE(X),此式表明常量与随机变量乘积 的数学期望，等于这个常量与随机变量的期望的乘积；当°=1时，E(X+b) = E(

4、X) + b,此式表明随机变量与常量 和的期望，等于随机变量的期望与这个常量的和；当a=0时，E(b)=b,此式表明常量的期望等于这个常量.上述公式证明如下：如果Y=aX+b,其中a, b为常数，那么Y也是随机变量.因此 P(Y=axib)=P(X=xi)f /= 1,2,3,，n,所以丫的 分布列为Yax-bax2b axn-bpPPi Pn有 E(Y) = (axi + b)pj + (ax2 + b)p2 + +(Q/ + b)pzl = Q(Xipi+%2卩2+兀pJ + b(/?i+p2+pJ = aEQ0 + b, 即 E(aXb) =aE(X)+b.若X是一个随机变量，则E(xE

5、(X)的值为()A.无法求B. 0C. E(X)D. 2E(X)答案B解析只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值 的性质求解.E(aX+b)=aE(X)+b,而 E(X)为常数， E(XE(Xy)=E(X) - E(X) = 0.三、二点分布、二项分布及超几何分布的期望(1)若随机变量X服从参数为P的二点分布，X10PP1 一P则 E(X) = lXp + OX(lp)=p这表明，在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的数学期望取值为P(2)设离散型随机变量X服从于参数为和p的二项分 布，由 X 的分布列 P(X= k)=Cnpkqnk=0,1,2,，n),可知X的数学期望为E(X)

6、= 0XC%°q"+lXChq"TH kX Cpkqnk H nX C；pS° = np(p + q)nx=np,所以在, p)时，E(X)=np若离散型随机变量X服从参数为N, M, 的超几 何分布，则E(X)=.朋学即练某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了 1 000粒，对 于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X, 则X的数学期望为（）A. 100B. 200C. 300D. 400答案B本题以实际问题为背景,考查服从二项分布的事件的数学期望等.记“不发芽的种子数为厂，则dB(lOOOOl),所以E©1 000X0.1

7、 = 100,而 X =26 故 E(X)=E(2) = 2E() = 200,故选B0微体验01 若随机变量X服从二项分布B4,斤，则E(X)的值为1 4【解析】E(X)=np=j=j2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.己知他命中的概率为0.8,则罚球一次得分X的期望是.【解析】因为P(X=l)=08, P(X=0)=02,所以E(X)=lX0.8+0X02=0.8.四、求离散型随机变量数学期望的方法(1) 求离散型随机变量数学期望的关键在于写出它的分布 列，再代入公式E(X) =xipl +x2p2 +. +兀打.从离散型随机变量数学期望的概念可以看出，要求期 望，必须

8、求出相应取值及概率，列出分布列，再代入公式计 算.这就要求全面分析各个随机变量所包含的各种事件，并准 确判断各事件的相互关系，再由此求出各离散型随机变量相应 的概率.(2) 利用定义求离散型随机变量X的数学期望的步骤：理解随机变量X的意义，写出X可能取的全部值；求X 取每个值的概率；写出X的分布列；由数学期望的定义求 出 E(X).如果随机变量服从二点分布、二项分布或超几何分布， 可直接代入公式求数学期望.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同 学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等 其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同 学，到希望小学进行

9、支教活动(每位同学被选到的可能性相 同).求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的 分布列和数学期望.解析设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件4，则PQ4) =4960-49 所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为洛.(2)随机变量X的所有可能值为0丄2,3P(X=k) =ck 厂3kS Jc!o伙=0、1、2、3).所以，随机变量X的分布列是X0123P11316210301131随机变量X的数学期望E(X)=0Xg+lX，+2X+3X£65-课堂典例探究思路方法技巧命题方向卿1 幄换湄例题1在10件产品中，

10、有3件一等品、4件二等品、3件 三等品.从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品 件数X的分布列和数学期望.分析明确随机变量X的取值，计算每个取值的概率，然 后列其分布列，最后计算E(X).解析从10件产品中任取3彳牛共有C%种结果从10件产品中任取3件,具中恰有k件一等品的结果数为C$C号M中 氐二0，1，2,3cQ k. .P(X = k) =戶,k 0,1,2,3.Jo所以随机变量X的分布列为:X0123p72171244040120AEW = 0X24+1 X40 + 2X40 + 3X120=10-方法总结求离散型随机变量X的数学期望步骤：1. 理解X的实际意义，并写出X的

11、全部取值；2. 求出X的每个值的概率；3. 写出X的分布列；4. 利用定义公式E(X)=XP1+XR2灭曲,求出数学期其中第1、2步是解答此类题目的关键.跟踪练砂若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题24的概率为刍 乙解出该题的概率为寻 设解出该题的人数为X,求E(X)解析记“甲解出该题”为事件4乙解出该题”为事件叭X可能取值为0,1,2.P(X = 0) = P(A)P(B) = 1 和 D 二吉P(X二 1)二P(A B) + P(A B) = P(A)P(B) + P(A )P(B)2；4、；23r+? 3j4 2所以，X的分布列为5_5 zP(X = 2) = P(A)P(

12、B) = |.| = .X012p12815515E(X)=0X 吉+lx|+2X=誇例题2在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0 分，如果某篮球运动员罚球的命中率为0.7,那么他罚球1次得 分X的期望是多少？分析首先写出X的分布列，罚球一次可能命中，也可能 不中，故服从两点分布.解析X的分布列为：P(X= 1) = 0.7, P(X = 0) = 0.3, AE(X)= 1X0.7 + 0X03 = 0.7.方法总结明确了是两点分布后只要找出成功概率即可.跟踪I练凰设一随机试验的结果只有4和才，P(A)=p,令随机变量X1,人出现0, 4不出现,则X的期望为(B 1 pD0A. pc.

13、p(l_p)答案A命题方向例题3设某射手每次射击击中目标的概率是0.8,现在 他连续射击6次，求击中目标次数的期望.分析这是一个独立重复试验问题，其击中目标的次数d 的概率分布属于二项分布，可直接由二项分布的期望得出.解析设击中目标的次数为依题意B(6, 0.8),所 以 E©=6X0.8=4.8.即击中目标次数的期望是4.8次.方法总结确定分布列的类型非常重要，其中二项分布 对应独立重复试验，这一点是我们判断一个分布列是否为二项 分布的标准. 跟踪练！ _某班有扌的学生成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学 生，那么其中成绩优秀的学生数XB(5, 5,则E(X)的值为答案c1 5解析

14、E(X) = 5X=.故选C探索延拓创新命题方向卿凰潮母aww御顺例题4 设随机变量X的分布列为P(X=Q=*Q1、2、3、4、5、6),求 E(2X+3)；(2)设随机变量X的分布列为P(X=Q伙=1、2、对, 求 E(X).分析利用离散型随机变量的均值概念与性质解题.解析E(X)=1X 和+2X 舟6X*=3.5,AE(2X+3) = 2E(X) + 3 = 2X 3.5 + 3 = 10.11 n(n+1) n+1(2)E(X)=匚(1+2n)=- 2方法总结求期望的关键是求岀分布列，只要随机变量 的分布列求出，就可以套用期望的公式求解.对于oX+b型随 机变量的期望，可以利用期望的性质求解，当然也可以先求出 aX+b的分布列，再用定义求解.跟踪练刃设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：2X+1的分布列;IX-II的分布列.解析由分布列的性质知:0. 2+0.1+0.1+0.3+加=1.Am=0.3.首先列表为：X012342X+113579IX-1110123从而由上表得两个分布列为:(1)2X+1的分布列：2X+113579P0.20.10.10.30.3IX-II的分布