北京市东城区2015届高三二模数学理试题

1、 北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）高三数学（理科） 学校_班级_姓名_考号_本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）（A）（B）（C） （D）（2）设，则，的大小关系是（A） （B） （C） （D） （3）已知为各项都是正数的等比数列，若，则（A） （B）（C） （D）7 83 5 5 7 2 3 8 94 5 5 61 2 978乙甲（4）甲、乙两名同

2、学次数学测验成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的平均数，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的标准差，则有（A）， （B），（C）， （D），（5）已知，是简单命题，那么“是真命题”是“是真命题”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（6）若实数满足不等式组则的取值范围是（A） （B） （C） （D）（7）定义在上的函数满足.当时，,当时，则（A） （B） （C） （D）（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为，其中（），传输信息为，运算规则为：，例如原信息为

3、，则传输信息为传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（A） （B） （C） （D）第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是，则 ，展开式中的常数项为 （用数字作答）（10）已知正数满足，那么的最小值为 （11）若直线为参数与曲线为参数，有且只有一个公共点，则 （12）若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，则 （13）已知非零向量满足，与的夹角为，则的取值范围是 （14）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”给

4、出下列四个命题： 若，则“距离坐标”为的点有且仅有个 若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有个 若，则“距离坐标”为的点有且仅有个 若，则点的轨迹是一条过点的直线其中所有正确命题的序号为 三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题共13分）已知函数（）求的定义域及其最大值；（）求在上的单调递增区间（16）（本小题共13分）某校高一年级开设，五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选课程，不选课程，另从其余课程中随机任选两门课程乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程（）求甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率；（）用表示甲、乙、丙选

5、中课程的人数之和，求的分布列和数学期望（17）（本小题共14分） 如图，三棱柱的侧面是边长为的正方形，侧面侧面，是的中点（）求证：平面；（）求证：平面；（）在线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求的长；若不存在，说明理由（18）（本小题共13分）已知函数 （）当时，求在区间上的最小值； （）求证：存在实数，有.（19）（本小题共13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为（）求椭圆的方程； （）设为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点与平行的直线与椭圆交于点证明： （20）（本小题共14分）已知数列的前项和为，且满足，设，()求

6、证：数列是等比数列；()若，求实数的最小值；（）当时，给出一个新数列，其中设这个新数列的前 项和为，若可以写成 (且)的形式，则称为“指数型和”问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）B （4）B（5）D （6）D （7）A （8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10）（11） （12） （13） （14）（1）（2）（3）注：两个空的填空题第一个空填对得3

7、分，第二个空填对得2分三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）由，得所以的定义域为 2分因为， 6分所以的最大值为 7分（）函数的单调递增区间为（）由，且， 所以在上的单调递增区间为 13分 （16）（共13分）解：（）设事件为“甲同学选中课程”，事件为“乙同学选中课程” 则， 因为事件与相互独立，所以甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率为 4分（）设事件为“丙同学选中课程” 则的可能取值为： 为分布列为：13分（17）（共14分）（）证明：连接与相交于，则为的中点，连接因为为的中点， 所以因为平面，平面，所以平面 4分（）证明：，在中，因为，所以 因为侧面侧面，侧

8、面侧面，平面，所以平面 8分（）解：两两互相垂直，建立空间直角坐标系假设在线段上存在一点，使二面角为平面的法向量，设所以，设平面的法向量为，则所以令，得，所以的法向量为因为，所以，解得，故因此在线段上存在一点，使二面角为，且. 14分 （18）（共13分）解：（）当时，. 因为， 由，. 则， 关系如下： 极小值 所以当时，有最小值为. 5分（）“存在实数，有”等价于的最大值大于. 因为， 所以当时，在上单调递增， 所以的最大值为. 所以当时命题成立. 极小值 当时，由得. 则时， 关系如下：（1）当时 ， ，在上单调递减，所以的最大值. 所以当时命题成立.（2）当时， ，所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最大值为或. 且与必有一成立， 所以当时命题成立.（3） 当时 ，所以在上单调递增， 所以的最大值为. 所以当时命题成立. 综上：对任意实数都存在使成立. 13分（19）（共13分）解：（）设椭圆的标准方程为，由题意知解得，所以椭圆的标准方程为5分（）设直线的方程为：，则 由 得（*）设，则，是方程（*）的两个根，所以所以 设直线的方程为：由 得设，则，所以，所以 13分（20）（共14分）解：() 因为，且，所以是首项为，公比为等比数列所以 4分() 由()可得，因为，所以，且所以的最小值为