二次函数的最值及相关实际应用精讲(2015年全国真题)

1、二次函数的最值及相关实际应用精讲（2015年真题）例1 （2015营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80设这种产品每天的销售利润为w元（1）求w与x之间的函数关系式（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？思路分析：（1）根据销售额=销

2、售量×销售价单x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值解：（1）由题意得出：w=（x-20）y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600，故w与x的函数关系式为：w=-2x2+120x-1600；（2）w=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，-20，当x=30时，w有最大值w最大值为200答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元（3）当w=150时，可得方程-2（x-30）2+

3、200=150解得 x=25，x2=35     3528，x2=35不符合题意，应舍去   答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元点评：本题考查了二次函数的运用关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题对应训练3（2015武汉）科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度x/-4-20244.5植物每天高度增长量y/mm414949412519.75由这些数据，科

4、学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果3解：（1）选择二次函数，设y=ax2+bx+c（a0），x=-2时，y=49，x=0时，y=49，x=2时，y=41， 解得，所以，y关于x的函数关系式为y=-x2-2x+49；不选另外两个函数的理由：点（0，49）不可能在反比例函

5、数图象上，y不是x的反比例函数，点（-4，41）（-2，49）（2，41）不在同一直线上，y不是x的一次函数；（2）由（1）得，y=-x2-2x+49=-（x+1）2+50，a=-10，当x=-1时，y有最大值为50，即当温度为-1时，这种作物每天高度增长量最大；（3）10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，平均每天该植物高度增长量超过25mm，当y=25时，-x2-2x+49=25，整理得，x2+2x-24=0，解得x1=-6，x2=4，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，实验室的温度应保持在-6x4考点四：二次函数综合性题目例2 （2015自贡）如图，已知抛物线y

6、=ax2+bx-2（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tanDBA= （1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由思路分析：（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函

7、数的性质求出其最大值；（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了RtAGF的各个边长；然后证明RtAGFRtQEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标解：（1）如答图1所示，过点D作DEx轴于点E，则DE=3，OE=2tanDBA=，BE=6，OB=BE-OE=4，B（-4，0）点B（-4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx-2（a0）上， 解得，抛物线的解析式为：y=x2+x-2（2）抛物线的解析式为：y=x2+x-2，令x=0，得y=-2，C（0，-2），令y=0，得x=-4或1，A（1，0）设点

8、M坐标为（m，n）（m0，n0），如答图1所示，过点M作MFx轴于点F，则MF=-n，OF=-m，BF=4+mS四边形BMCA=SBMF+S梯形MFOC+SAOC=BFMF+（MF+OC）OF+OAOC=（4+m）×（-n）+（-n+2）×（-m）+×1×2=-2n-m+1 点M（m，n）在抛物线y=x2+x-2上，n=m2+m-2，代入上式得： S四边形BMCA=-m2-4m+5=-（m+2）2+9，当m=-2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9（3）假设存在这样的Q如答图2所示，设直线x=-2与x轴交于点G，与直线AC交于点F设直线AC的解析式

9、为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，-2）代入得：，解得：k=2，b=-2，直线AC解析式为：y=2x-2，令x=-2，得y=-6，F（-2，-6），GF=6在RtAGF中，由勾股定理得：AF=设Q（-2，n），则在RtAGF中，由勾股定理得：OQ=设Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=在RtAGF与RtQEF中，AGF=QEF=90°，AFG=QFE，RtAGFRtQEF，即=，化简得：n2-3n-4=0，解得n=4或n=-1存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（-2，4）或（-2，-1）点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一

10、次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标对应训练4（2015张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段Q

11、E上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由4解：（1）C（0，1），OD=OC，D点坐标为（1，0）设直线CD的解析式为y=kx+b（k0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=-1，直线CD的解析式为：y=-x+1（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（-2）2+3，解得a=-y=-（x-2）2+3=-x2+2x+1 （3）证明：由题意可知，ECD=45°，OC=OD，且OCOD，OCD为等腰直角三角形，ODC=45&#

12、176;，ECD=ODC，CEx轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，点E的坐标为（4，1）如答图所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1），ME=CM=QM=2，QME与QMC均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45°又OCD为等腰直角三角形，ODC=OCD=45°，QEC=QCE=ODC=OCD=45°，CEQCDO（4）存在如答图所示，作点C关于直线QE的对称点C，作点C关于x轴的对称点C，连接CC，交OD于点F，交QE于点P，则PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段CC的长度（证明如下：不妨在线

13、段OD上取异于点F的任一点F，在线段QE上取异于点P的任一点P，连接FC，FP，PC由轴对称的性质可知，PCF的周长=FC+FP+PC；而FC+FP+PC是点C，C之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCCC，即PCF的周长大于PCE的周长） 如答图所示，连接CE，C，C关于直线QE对称，QCE为等腰直角三角形，QCE为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形，点C的坐标为（4，5）；C，C关于x轴对称，点C的坐标为（-1，0）过点C作CNy轴于点N，则NC=4，NC=4+1+1=6，在RtCNC中，由勾股定理得：CC=综上所述，在P点和F点移动过程中，PCF的周长存在最小值，最小

14、值为2【聚焦中考】1（2015年中考真题）如图，RtOAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将RtOAB绕点O顺时针旋转90°，得到OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A（，）B（2，2）C（，2）D（2，）2（2015年中考真题）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）2解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为180÷2-x=（90-x）cm由题意得：y=x（90-x）×20=-20（

15、x2-90x）=-20（x-45）2+40500当x=45时，y有最大值，最大值为40500答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm33（2015年中考真题）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：x3O00320035004000y100969080（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元用含x（x3000）的代数式填表：

16、租出的车辆数  未租出的车辆数  租出每辆车的月收益  所有未租出的车辆每月的维护费  （3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元3解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为y=kx+b由题：，解之得：，y与x间的函数关系是y=-x+160（2）如下表： 租出的车辆数-x+160未租出的车辆数x-60租出的车每辆的月收益x-150所有未租出的车辆每月的维护费x-3000（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：W=（-x+160）（x-150）-（x-3000）

17、=（-x2+163x-24000）-（x-3000）=-x2+162x-21000=-（x-4050）2+30705当x=4050时，Wmax=307050，即：当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元故答案为：-x+160，x-604（2015年中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？

18、若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积4解：（1）将B、C两点的坐标代入得，解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2-2x-3。（2）存在点P，使四边形POPC为菱形；如图，设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP交CO于E若四边形POPC是菱形，则有PC=PO；连接PP，则PECO于E，OE=EC=， y=-； x2-2x-3=-解得x1=，x2=（不合题意，舍去）P点的坐标为（，-）。（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），易得，直线

19、BC的解析式为y=x-3则Q点的坐标为（x，x-3）；S四边形ABPC=SABC+SBPQ+SCPQ=ABOC+QPBF+QPOF=×4×3+ (-x2+3x)×3=- (x-)2+。当x=时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为(，-)，四边形ABPC的面积的最大值为5（2015年中考真题）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在RtABC内修建矩形水池DEFG，使定点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺

20、设瓷砖，其中AB=24米，BAC=60°，设EF=x米，DE=y米（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的 ？5解：（1）在RtABC中，ACB=90°，AB=24米，BAC=60°，AC=AB=12米，BC=AC=36米，ABC=30°，AD=x，BE=x，AD+DE+BE=AB，x+y+x=24，y=24-x-x=24-x，即y与x之间的函数解析式为y=24-x（0x18）；（2）y=24-x，矩形DEF

21、G的面积=xy=x（24-x）=-x2+24x=-（x-9）2+108，当x=9米时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是108平方米；（3）记AC、BC、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，AC2+BC2=AB2，S1+S2=S3，S1+S2-S=S3-SABC，S=SABC，两弯新月的面积S=ACBC=×12×36=216（平方米）如果矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的，那么-（x-9）2+108=×216，化简整理，得（x-9）2=27，解得x=9±3，符合题意所以当x为（9&

22、#177;3）米时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的6（2015年中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（-，0），以0C为直径作半圆，圆心为D（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MNBE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明

23、理由6解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（-，0），则，解得，该二次函数的解析式为：y=-x2+x+2；（2）如图1，过点D作DGBE于点G由题意，得ED=+1=，EC=2+=，BC=2，BE=BEC=DEG，EGD=ECB=90°，EGDECB，DG=1D的半径是1，且DGBE，BE是D的切线；（3）如图2，由题意，得E（-，0），B（2，2）设直线BE为y=kx+h（k0）则， 解得，直线BE为：y=x+直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，点P的纵坐标y=，即P（1，）MNBE，MNC=BECC=C=90°，MNCBEC，则CN

24、=t，DN=t-1，SPND=DNPD=（t-1）=t-SMNC=CNCM=×tt=t2S梯形PDCM=（PD+CM）CD=（+t）1=+tS=SPND+S梯形PDCM-SMNC=-t2+t（0t2）抛物线S=-t2+t（0t2）的开口方向向下，S存在最大值当t=1时，S最大=7（2015年中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PEAC，交BC于E，连接CP，求PCE面积的最大值（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且OMD为等腰三角形，求

25、M点的坐标7解：（1）把点C（0，-4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，得， 解得。该抛物线的解析式为y=x2+x-4（2）令y=0，即x2+x-4=0，解得x1=-4，x2=2，A（-4，0），SABC=ABOC=12设P点坐标为（x，0），则PB=2-xPEAC，BPE=BAC，BEP=BCA，PBEABC，即，化简得：SPBE=（2-x）2SPCE=SPCB-SPBE=PBOC-SPBE=×（2-x）×4-（2-x）2=-x2-x+=-（x+1）2+3当x=-1时，SPCE的最大值为3（3）OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图所

26、示DO=DM=DA=2，OAC=AMD=45°，ADM=90°，M点的坐标为（-2，-2）；（II）当MD=MO时，如答图所示过点M作MNOD于点N，则点N为OD的中点，DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又AMN为等腰直角三角形，MN=AN=3，M点的坐标为（-1，-3）；（III）当OD=OM时，OAC为等腰直角三角形，点O到AC的距离为×4=2，即AC上的点与点O之间的最小距离为222，OD=OM的情况不存在综上所述，点M的坐标为（-2，-2）或（-1，-3）8（2015年中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+ 与直线y=x交于点A，点B在直线

27、y= x+ 上，BOA=90°抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FEx轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M试判断OD与CF是否平行，并说明理由8解：（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，得， 解得，点A的坐标是（3，3）BOA=90°，OBOA，直线OB的解析式为y=-x又点B在直线y=x+上， 解得，点B的坐标是（-1，1）综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）（2）由（1）知

28、，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B， 解得，该抛物线的解析式为y=x2-x，或y=（x-）2-顶点E的坐标是（，-）；（3）OD与CF平行理由如下：由（2）知，抛物线的对称轴是x=直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，C（，）设直线BC的表达式为y=kx+b（k0），把B（-1，1），C（，）代入，得， 解得，直线BC的解析式为y=-x+直线BC与抛物线交于点B、D，-x+=x2-x，解得，x1=，x2=-1把x1=代入y=-x+，得y1=，点D的坐标是（，）如图，作DNx轴于点N则tanDON=FEx轴，点E的坐标为（，-）点F的纵坐标是-把y=-代入y=x+，得x=-，点F的坐标是（-，-），EF=+=CE=+=，tanCFE=，CFE=DON又FEx轴，CMN=CFE，CMN=DON，ODCF，即OD与CF平行9（2015年中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2， ）在抛物线上，直线l是