偏微分方程理论学习总结

1、偏微分方程理论学习总结任荣珍 院系：理学院 班级：19 班 学号：2014081034偏微分方程理论学习总结偏微分方程这一门学科在我脑海中的印象不是很深，本科时学的是常微分方程，在课堂上听到老师提起过偏微分方程，因此，在研究生阶段选课时就选了这门课，以前不了解偏微分，再选了这门课之后对偏微分也算有一定的了解，接下来我想就我这学期学习了这门课做一个简单的总结。下面就来介绍有关偏微分方程的发展简介：谈到偏微分方程，我们就会想到本科时学的常微分方程，而偏微分方程的发展没有常微分方程的发展早，所以要谈偏微分方程就先来谈一下常微分方程。十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分

2、方程解决几何与理学中的新问题，结果是在天体理学中不仅能得到并解释早已知晓的那些事实，而且得到了新的发现(例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的)。而偏微分方程的研究要晚的多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支数学物理方程的建立。j.达朗贝尔(dalembert)(1717-1783)、l.欧拉(euler)(1707-1783)、d.伯努利(bernoulli)(1700-1782)、j.拉格朗日(lagrange)(1736-1813)、p.拉普拉斯(laplace)(1749-1827)、s.泊松(poisson)(1781-1840)、j

3、.傅里叶(fourier)(1768-1830)等人的工作为这一学科分支奠定了基础，它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的热的解析理论是数学史上的经典文献之一。而十九世纪偏微分方程的另一个重要发现是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林(g.green)是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家，位势方程也称为拉普拉斯方程：偏微分方程是储存自然信息的载体，自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来，而本学期学习的偏微分方

4、程理论的第一篇就介绍了线性椭圆形方程，椭圆形方程它的方法是先验估计加泛函分析手段，在线性椭圆形这一块以6章来详细介绍线性椭圆形方程，在这一篇中讲到了很多内容和知识点，下面我就来介绍一些关于线性椭圆形方程的一些定理及应用在第一章预备知识这一块主要学习了若干技巧和一些重要的不等式，若干技巧分单位分解定理、齐次化边界条件、振动方法等单位分解定理：(设是开集组，是紧集，满足，则存在函数，使得，且在的领域内)、；接下来介绍一些重要的不等式：一、 基本不等式(1) 不等式对任意的，有(2) 带的不等式对任意的和，有(3) 不等式设是下凸的，则对有限区间及可积函数均成立(4) 不等式对任意,，有(5) 带的

5、不等式对任意和，有(6) 不等式 ， ，(7)一般的不等式， (7) 不等式设，则，使(8) 几何与算术平均不等式对任意，有(9) 空间的内插不等式， ，二、内插不等式(1) (恒等式)记号为在点的外法向导数。(2) (内插不等式)设，是光滑函数，在上，则其中是仅依赖于的常数，且三、不等式设，则对，有其中仅依赖于及这些重要的不等式在以后的文章写作中也会用到，而且这是偏微分方程中最基本的知识。偏微分方程理论与其他数学分支如泛函分析、函数论、拓扑学、代数、复分析的紧密联系，偏微分方程理论广泛应用数学这些领域中的基本概念、基础思想和基本方法，并且它本身也给这些学科分支的研究问题的范围与方向以影响，极

6、值原理及其应用就是这种相互影响的经典范例，下面就来介绍一下弱极值原理及解的上下界估计、强极值原理、弱解的极值原理、极值原理等等弱极值原理: 假设是函数，满足微分不等式 其中满足椭圆性假设条件，及有界，且 ，则特别地，若，则有解的上下界模的估计：假设是方程的解，其中满足椭圆形假设条件，及有界，且在内，则存在仅依赖于及系数，的常数，使得弱极值原理断言，在一定条件下函数一定在的边界取得它的最大值或最小值，但并不排除在内也能取得最大(小)值，下面所讲的强极值原理说明，在一定条件下，若不恒为常数，则一定不能再内部达到最大值，下面就介绍强极值原理。强极值原理：若函数在内满足，且在一个内点处达到非负的最大值

7、，则为常数。接下来介绍弱解的极值原理，并由此获得问题弱解的存在性，这里我们采用迭代法。为了更精确地叙述弱极值原理，我们需要引进上、下解的概念定义1：称为方程的弱下解(弱上解、弱解)，如果对任意，有其中事实上式对于任意，也成立弱解的极值原理：设的系数满足式与式，且在内几乎处处成立，如果是方程的弱下解，则对于任意，我们有其中仅依赖于，以及，但与的下界无关。上面介绍的是一些关于线性椭圆形的不等式极值原理及应用，下面我们来介绍有关线性椭圆形中有关解的估计、存在性及连续性梯度的边界估计：定理1.1假设满足其中系数，有界，也有界，且满足椭圆性假设条件，满足外球条件，则存在仅依赖于，及的常数，使得解的梯度在

8、上的估计：定理1.2假设是问题的解，其中满足椭圆假设条件，与有有界的导数，且，则存在仅依赖于 (出现在椭圆假设条件中)及，的模的常数，使得解的梯度在上的估计有时是无用的，因为难以估计，在这种情况下，我们考虑函数其中是一光滑的截割函数，在附近它恒为0，我们可以选择，使它在某严格内域上恒等于1，并且利用前述估计，得到借助，及表示的的界。一旦有了的界，利用同样的方法可得到高阶导数的界。例如，我们可以利用极值原理于， 待定以得到的二阶导数的界，利用以得到局部的二阶导数估计。估计：记定理2.1：设是问题的光滑解，满足椭圆性假设条件，且，有界，若，则存在仅依赖于及系数的常数与，使得若充分大，则存在，使得注

9、意，这个估计不要求或的任何光滑性。估计：现在对系数及增加一些光滑性的假设来推导的二阶导数的估计。关于的假设：(1)对每点,存在一个在切于的平面,使得在的某个小领域-内, 在局部坐标系下可表示为我们假设轴指向在点的外法向量矢量。(2) 是函数,且, .(3)存在不依赖于的,使得对任意,有方程的估计：因为下面的证明稍微复杂点，我们首先论述一个特殊情况定理2.2：设是问题的光滑解，其中满足上述条件(1)(3),则存在仅依赖于的常数，使得我们接下来将用同样的方法去推导解的估计引理2.1：设及是两个实对称的矩阵，假定正定，且其最小特征值不小于，则定理2.3：设是式的光滑解，满足(1)(3), 满足椭圆性

10、假设条件，且在上有有界的梯度，及有界，则存在仅依赖于系数及的常数，使得如果充分大，则存在，使得散度形式方程解的估计：引理2.2 设是一致连续的(即存在，使得对任意，有)，且，假定，则(1) (2)若仅有有限多个间断点，则在内几乎处处有， 定理3.1(全局估计)设是问题的解(弱解或光滑解)，若满足椭圆性假设条件，且对某，则存在仅依赖于，与的常数，使得下解的局部估计：定义2 称为方程 的下解，若 引理3.1 若是方程 的解，是凸的，则是方程 的下解。定理3.2 设是方程 的非负下解(或弱下解)，系数满足椭圆性假设条件，任选及，使得，则存在仅依赖于，及的，使得即在较小球内的模由它在较大球内的模来估计

11、引理3.2 设是方程 的非负下解，则对任一，有其中不依赖于与。引理3.3 设是方程 的非负下解，则有推 论 设是方程 的解，则解的估计(1)算子的估计定义3 (1)称 为方程的基本解. 其中是内单位球的面积(2)设是有界可积的，则称为的位势定理4.1 设，则对任意，存在常数，使得对任意，有常数仅依赖于及。换句话说，若是 的解，则(2)整体估计本节我们将研究的解，对系数作如下的假设：(1) ，在内有界(不妨设)；(2) 满足椭圆性假设条件；(3)函数在上连续。引理 4.1假设系数，及满足假设(1)(3)(以中心在原点的某个球代替)，选，则存在仅依赖于系数的界，的连续模，及的常数，,使得若，且是方

12、程在内的解，在附近，则引理4.2 在引理4.1的假设下，存在常数，使得如果，是在内的解，在附近，在上，则引理4.3 设，对每个，存在 (仅依赖于，)，使得对任意，有定理4.2 设是在具光滑边界的有界域内的光滑解，系数满足条件(1),(2),(3)，令,则存在仅依赖于系数的界，的连续模，,，及的常数,，使得若,充分大，我们可取(3)局部估计引理4.4 存在仅依赖于及的常数使得对所有及成立，其中不依赖于及.引理4.5 设是定义在上的非负有界函数，若对任意,有则定理4.3 设是方程的光滑解(或强解)，的系数满足上面的条件(1),(2),(3),则对每个域, 存在仅依赖于系数的界, 的连续模，与的常数

13、，使得估计：(1) 位势的估计命题1:(1) 若是内有界可积函数，则，且 ； (2) 若在内有界且是局部连续的(指数为，),则，且 ，其中是任一包含的光滑区域，在内作零延拓，是上的单位外法向量。 (3) 在(2)的条件下，满足，引理5.1 设，是两个同心球，假设对某，且是在内的位势，则，且引理5.2 对某，设，假设对某，且是在内的位势，则且(2)整体估计引理5.3 设，且是 的解，若是任一包含的支集的球，则，且现在考虑一般的椭圆型方程问题对系数作如下假设：(1) ，对某；(2) 满足椭圆性假设条件(3)定理5.1(整体估计) 设是边值问题的解，其中系数满足(1)与(2)，是光滑的(例如属于)，则存在仅依赖于系数的模，及的常数，使得如果在内，则我们可取。(3)内部的估计设，记 对，定义(1) (2) (3) 定理5.2 (内部估计) 设是方程在内的解，且椭圆型算子的系数满足(1)，(2)，则存在仅依赖于系数的模，及的常数，使得以上是第一篇所讲到的内容。第二篇也讲到了一些极值原理及应用，但是讲的是有关