高考文科数学空间证明专题突破训练精编有答案

1、2018年高考文科数学 空间证明 冲刺1.如图，直三棱柱中，且，是棱中点，是的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离. 2.在如图所示的几何体中，四边形abcd是正方形，pa平面abcd，ef分别是线段ad，pb的中点，pa=ab=1.求证： ef平面dcp；求f到平面pdc的距离.3.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，分别为的中点，侧面底面，且（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积4.如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pd=dc=2，点e，f分别为ad，pc的中点（）证明：df平面pbe（）求点f到平面pbe的距离5.如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，

2、pa平面abcd，e为pd的中点（）证明：pb平面aec；（）设ap=1，ad=，三棱锥pabd的体积v=，求a到平面pbc的距离6.如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1=ad=a，ab=2a，e、f分别为c1d1、a1d1的中点（）求证：de平面bce；（）求证：af平面bde7.如图所示，在三棱锥中，平面，分别为线段上的点，且.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.8.如图，已知三棱锥abpc中，appc，acbc，m为ab的中点，d为pb的中点，且pmb为正三角形（i）求证：bc平面apc；（）若bc=3，ab=10，求点b到平面dcm的距离9.如图所示，在四棱锥pabc

3、d中，底面abcd为平行四边形，dba=30°，ab=2bd，pd=ad，pd底面abcd，e为pc上一点，且pe=ec（1）证明：pabd；（2）若ad=，求三棱锥ecbd的体积10.如图，在三棱锥vabc中，平面vab平面abc，vab为等边三角形，acbc且ac=bc，o，m分别为ab，va的中点（1）求证：vb平面moc；（2）求证：平面moc平面vab11.在三棱柱abca1b1c1中，侧面aa1c1c底面abc，aa1=a1c=ac=ab=bc=2，且点o为ac中点（）证明：a1o平面abc；（）求三棱锥c1abc的体积试卷答案1.（1）取中点，连结，则且.因为当为中点时

4、，且，所以且.所以四边形为平行四边形，又因为，所以平面；（2）因为中，是中点，所以.又因为直三棱柱中，所以，到的距离为.因为平面，所以到的距离等于到的距离等于.设点到平面的距离为.，易求，解得.点到平面的距离为.2.方法一：取中点，连接，分别是中点, ，为中点，为正方形，,四边形为平行四边形，平面，平面，平面.方法二： 取中点，连接，.是中点，是中点，又是中点，是中点，又，平面，平面，平面，平面，平面平面.又平面，平面.方法三：取中点，连接，在正方形中，是中点，是中点又是中点，是中点，又，平面/平面.平面平面.方法一：平面，到平面的距离等于到平面的距离， 平面，在中，平面，又 ，,，平面，又平

5、面，,故. ，为直角三角形，设到平面的距离为，则， 到平面的距离.方法二：平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，又 平面,是中点，点到平面的距离等于点到平面距离的2倍. 取中点,连接,由得,由, 平面，平面，平面，又 平面，平面平面.又平面平面，平面，平面，长即为点到平面的距离，由，.点到平面的距离为，即点到平面的距离为.3.（1）连结，则是的中点，为的中点，故在中，且平面，平面，平面；（2）取的中点，连结，又平面平面，平面平面，平面，.4.【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定【分析】（）取pb的中点g，连接eg、fg，由已知结合三角形中位线定理可得defg且de=fg，得四

6、边形degf为平行四边形，从而可得dfeg，再由线面平行的判定可得df平面pbe；（）利用等积法可得：vdpbe=vpbde，代入棱锥体积公式可得点f到平面pbe的距离【解答】（）证明：取pb的中点g，连接eg、fg，则fgbc，且fg=debc且de=bc，defg且de=fg，四边形degf为平行四边形，dfeg，又eg平面pbe，df平面pbe，df平面pbe；（）解：由（）知，df平面pbe，点d到平面pbe的距离与f到平面pbe的距离相等，故转化为求d到平面pbe的距离，设为d，利用等体积法：vdpbe=vpbde，即，d=5.【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；

7、直线与平面平行的判定【分析】（）设bd与ac 的交点为o，连结eo，通过直线与平面平行的判定定理证明pb平面aec；（）通过ap=1，ad=，三棱锥pabd的体积v=，求出ab，作ahpb角pb于h，说明ah就是a到平面pbc的距离通过解三角形求解即可【解答】解：（）证明：设bd与ac 的交点为o，连结eo，abcd是矩形，o为bd的中点e为pd的中点，eopbeo平面aec，pb平面aecpb平面aec；（）ap=1，ad=，三棱锥pabd的体积v=，v=，ab=，pb=作ahpb交pb于h，由题意可知bc平面pab，bcah，故ah平面pbc又在三角形pab中，由射影定理可得：a到平面pb

8、c的距离6.【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直：debc，deec从而得到线面垂直（）要证线面平行，需要构造线面平行的判定定理的条件：在平面bde内找一条与af平行的直线，通过平行关系的相互转化可的线线平行继而得到线面平行【解答】解：（）证明：bc侧面cdd1c1，de侧面cdd1c1，debc，在cde中，cd=2a， a，则有cd2=ce2+de2，dec=90°，deec，又bcec=cde平面bce（）证明：连ef、a1c1，连ac交bd于o，ef，ao，四边形aoef是平行四边形，afoe又oe

9、平面bde，af平面bde，af平面bde7.（1）证明：由平面，平面，故由，得为等腰直角三角形，故，又，故平面.（2）由（1）知，为等腰直角三角形，过作垂直于，易知，又平面，所以，设点到平面的距离为，即为三棱锥的高，由得，即，所以，所以到平面的距离为.8.【考点】lw：直线与平面垂直的判定；mk：点、线、面间的距离计算【分析】（i）根据正三角形三线合一，可得mdpb，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得appb，由线面垂直的判定定理可得ap平面pbc，即apbc，再由acbc结合线面垂直的判定定理可得bc平面apc；（）记点b到平面mdc的距离为h，则有vmbcd=vbmdc分别求出

10、md长，及bcd和mdc面积，利用等积法可得答案【解答】证明：（）如图，pmb为正三角形，且d为pb的中点，mdpb又m为ab的中点，d为pb的中点，mdap，appb又已知appc，pbpc=p，pb，pc平面pbcap平面pbc，apbc，又acbc，acap=a，bc平面apc，解：（）记点b到平面mdc的距离为h，则有vmbcd=vbmdcab=10，mb=pb=5，又bc=3，bcpc，pc=4，又，在pbc中，又mddc，即点b到平面dcm的距离为 9.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质【分析】（1）在abd中，不妨设ab=2，bd=，由余弦定理可得ad，则ad2

11、+bd2=ba2，从而得到bdad，结合pd底面abcd，得bdpd，再由线面垂直的判定可得bd平面pad，则pabd；（2）过e作efcd于f，则三棱锥ecbd的高为ef，由已知可得ef再由（1）知bd，代入三棱锥ecbd的体积公式求解【解答】（1）证明：在abd中，由余弦定理可得：ad2=ba2+bd22babdcosdba，不妨设ab=2，则由已知ab=2bd，得bd=，则ad2+bd2=ba2，adb=90°，即bdad，又pd底面abcd，bdpd，而adpd=d，bd平面pad，则pabd；（2）解：过e作efcd于f，则三棱锥ecbd的高为ef，由已知可得ef=由（1）

12、知bd=ad，三棱锥ecbd的体积v=10.【考点】ly：平面与平面垂直的判定；ls：直线与平面平行的判定【分析】（1）由o，m分别为ab，va的中点，得omvb，即可得vb平面moc（2）由ac=bc，o为ab的中点，得ocab又平面vab平面abc，得oc平面vab平面moc平面vab【解答】解：（1）证明因为o，m分别为ab，va的中点，所以omvb，又因为vb平面moc，om平面moc，所以vb平面moc（2）证明因为ac=bc，o为ab的中点，所以ocab又因为平面vab平面abc，且oc平面abc，所以oc平面vab又oc平面moc，所以平面moc平面vab【点评】本题考查了空间线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题11.【考点】lf：棱柱、棱锥、棱台的体积；lw：直线与平面垂直的判定【分析】（）推导出a1oac，由此能证明a1o平面abc（）推导出c1到平面abc的距离等于a1到平面abc的距离，从而，由此能求出