条件概率绝对经典经典实用

1、条件概率绝对经典条件概率条件概率绝对经典探究：探究：3张奖券中只有张奖券中只有1张能中奖，现分别由张能中奖，现分别由3名同学名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？否比其他同学小？,ynynn nyn nny 若若抽抽到到中中奖奖奖奖券券用用表表示示，没没有有抽抽到到用用表表示示，那那么么所所有有可可能能的的抽抽取取情情况况为为bbnny 用用 表表示示最最后后一一名名同同学学抽抽到到中中奖奖奖奖券券的的 则则事事件件，( )1( )()3n bp bn 由由古古典典概概型型可可知知，最最后后一一名名同同学学抽抽到到

2、中中奖奖奖奖券券的的概概率率为为：分析：分析：一般地，我们用一般地，我们用 来来表示所有基本事件的表示所有基本事件的集合，叫做集合，叫做基本事件基本事件空间空间（或样本空间或样本空间）一般地，一般地，n(a)表示表示事件事件a包含的基本包含的基本事件的个数事件的个数条件概率绝对经典思考：思考：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名抽到中奖奖券的概率又是多少？那么最后一名抽到中奖奖券的概率又是多少？分析：分析：不妨设不妨设“第一名同学没有抽到中奖奖券第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件为事件a，,anyn nny 则则()1(|)()2n bp

3、 b an a 最最后后一一名名同同学学抽抽到到奖奖券券的的概概率率为为yn若若抽抽到到中中奖奖奖奖券券用用表表示示，没没有有抽抽到到用用表表示示，bbnny 用用 表表示示最最后后一一名名同同学学抽抽到到中中奖奖奖奖券券的的事事件件， 则则 注：注：p(b|a)表示在事件表示在事件a发生的条件下发生的条件下b发生的概率发生的概率你知道第一名同学你知道第一名同学的抽奖结果为什么的抽奖结果为什么会影响最后一名同会影响最后一名同学的抽奖结果吗？学的抽奖结果吗？条件概率绝对经典分析：分析：若不知道第一名同学的抽奖结果，则样本空间为、若不知道第一名同学的抽奖结果，则样本空间为、若知道了第一名同学的抽奖

4、结果，则样本空间变成若知道了第一名同学的抽奖结果，则样本空间变成但因为最后一名中奖的情况只有一种但因为最后一名中奖的情况只有一种nny故概率会发生变化故概率会发生变化,ynn nyn nny ,anyn nny 思考：思考：你知道第一名同学的抽奖结果为什么会影响你知道第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学的抽奖结果吗？最后一名同学的抽奖结果吗？条件概率绝对经典p(b)以试验下为条件以试验下为条件,样本空间是样本空间是二、内涵理解二、内涵理解:abp(b|a)以以a发生为条件发生为条件,样本空间缩小为样本空间缩小为ap(b |a)相当于把看作相当于把看作新的样本空间求新的样本空间求发生的概

5、率发生的概率样本空间不一样样本空间不一样为什么上述例中为什么上述例中p(b|a) p(b)？条件概率绝对经典分析：求分析：求p(b|a)的一般思想的一般思想 因为已经知道事件因为已经知道事件a必然发生，所以只需在必然发生，所以只需在a发生发生的范围内考虑问题，的范围内考虑问题，即现在的样本空间为即现在的样本空间为a。 因为在事件因为在事件a发生的情况下事件发生的情况下事件b发生，等价于事发生，等价于事件件a和事件和事件b同时发生，同时发生，即即ab发生发生。 故其条件概率为故其条件概率为()(|)( )n abp b an a 为了把条件概率推广到一般情形，不妨记原来的为了把条件概率推广到一般

6、情形，不妨记原来的样本空间为样本空间为 ，则有，则有()/ ()()(|)( )/ ()( )n abnp abp b an anp a 条件概率绝对经典一般地，设一般地，设a，b为两个事件，且为两个事件，且p(a)0，则，则()()( )p abp b ap a 称为在事件称为在事件a发生的条件下，事件发生的条件下，事件b发生的发生的条件概率条件概率。一般把一般把p(b|a)读作读作a发生的条件下发生的条件下b的概率。的概率。注意：注意：（1）条件概率的取值在）条件概率的取值在0和和1之间，即之间，即0p(b|a) 1（2）如果）如果b和和c是是互斥事件互斥事件，则，则 p(bc |a)=

7、p(b|a)+ p(c|a)（3）要注意）要注意p(b|a)与与p(ab)的区别，这是分清条件概率的区别，这是分清条件概率 与一般概率问题的关键。与一般概率问题的关键。条件概率的定义：条件概率的定义：在原样本空间在原样本空间的概率的概率条件概率绝对经典概率概率 p(b|a)与与p(ab)的区别与联系的区别与联系联系联系：事件事件a，b都发生了都发生了 区别：区别： 样本空间不同：样本空间不同：在在p(b|a)中，事件中，事件a成为样本空间；成为样本空间；在在p(ab)中，样本空间仍为中，样本空间仍为 。条件概率绝对经典例例1、在、在5道题中有道题中有3道理科题和道理科题和2道文科题，如果不放回

8、道文科题，如果不放回地依次抽取地依次抽取2道题，求：道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；解：设第解：设第1次抽到理科题为事件次抽到理科题为事件a，第第2次抽到理科题次抽到理科题为事件为事件b，则第，则第1次和第次和第2次都抽到理科题为事件次都抽到理科题为事件ab.（1）从）从5道题中不放回地依次抽取道题中不放回地依次抽取2道的事件数为道的事件数为25()20na 1134()12n aaa 根根据据分分步步乘乘法法计计数数原原理理，( )123( )()205n ap an 条件概

9、率绝对经典例例1、在、在5道题中有道题中有3道理科题和道理科题和2道文科题，如果不放回道文科题，如果不放回地依次抽取地依次抽取2道题，求：道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；232()6n aba （ ）()63()()2010n abp abn 解：设第解：设第1次抽到理科题为事件次抽到理科题为事件a，第第2次抽到理科题次抽到理科题为事件为事件b，则第，则第1次和第次和第2次都抽到理科题为事件次都抽到理科题为事件ab.条件概率绝对经典例例1、在、在5道题中有道题中有3道理科题和道

10、理科题和2道文科题，如果不放回道文科题，如果不放回地依次抽取地依次抽取2道题，求：道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；（3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题 的概率。的概率。（3）解法一：由（）解法一：由（1）（）（2）可得，在第一次抽到理科题）可得，在第一次抽到理科题 的条件下，第二次抽到理科题的概率为的条件下，第二次抽到理科题的概率为2153103)()()(apabpabp条件概率绝对经典例例1、在、在5道题中有道题中

11、有3道理科题和道理科题和2道文科题，如果不放回道文科题，如果不放回地依次抽取地依次抽取2道题，求：道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；（3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题 的概率。的概率。解法二：因为解法二：因为n(ab)=6，n(a)=12，所以，所以21126)()()(anabnabp解法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、解法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、 两道文科题两道文科题 故第二次抽到理科题的概

12、率为故第二次抽到理科题的概率为1/2条件概率绝对经典练习：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象练习：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20和和18，两地同时下雨的比例为，两地同时下雨的比例为12，问：，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设解：设a=甲地为雨天甲地为雨天， b=乙地为雨天乙地为雨天， 则则p(a)=20%，p(b)=18%，p(ab)=12

13、%，1()12%2 ()( )18%3p abp a bp b （ ）乙乙地地为为雨雨天天时时甲甲地地也也为为雨雨天天的的概概率率是是2()12%3 ()()20%5p abp b ap a （ ）甲甲地地为为雨雨天天时时乙乙地地也也为为雨雨天天的的概概率率是是条件概率绝对经典练习：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象练习：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20和和18，两地同时下雨的比例为，两地同时下雨的比例为12，问：，问：（3）甲乙两市至少一市下雨的概率是多少？）甲乙两市至少一市下雨的概

14、率是多少？ 甲乙两市至少一市下雨甲乙两市至少一市下雨=ab而而p(ab)=p(a)+p(b)-p(ab) =20%+18%-12% =26%甲乙两市至少一市下雨的概率为甲乙两市至少一市下雨的概率为26%解：设解：设a=甲地为雨天甲地为雨天， b=乙地为雨天乙地为雨天， 则则p(a)=20%，p(b)=18%，p(ab)=12%，条件概率绝对经典例例3、一张储蓄卡的密码共有、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可位数字，每位数字都可从从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求忘记了密码的最后一位数字，求（1）任意按最

15、后一位数字，不超过）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次次 就按对的概率。就按对的概率。112(1 2) ()2iia iaaa a 解解：设设第第 次次按按对对密密码码为为事事件件，则则表表示示不不超超过过 次次就就按按对对密密码码。12iaa a（1 1）因因为为事事件件 与与事事件件互互斥斥，由由概概率率的的加加法法公公式式得得112( )()()p ap ap a a 19 111010 95 条件概率绝对经典例例3、一张储蓄卡的密码共有、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数

16、字都可位数字，每位数字都可从从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求忘记了密码的最后一位数字，求（1）任意按最后一位数字，不超过）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次次 就按对的概率。就按对的概率。b（2 2）用用 表表示示最最后后一一位位按按偶偶数数的的事事件件，则则112()()()p a bp a bp a a b 14 1255 45 112(1 2) ()2iia iaaa a 解解：设设第第 次次按按对对密密码码为为事事件件，则则表表示示不不超超过过 次次就就按按对对密密码码。条件概率绝对经典练习练习1：厂别厂别甲厂甲厂乙厂乙厂合计合计数量数量等级等级合格品合格品次次 品品合合 计计47564411912556815007002001 一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品 结构如下表：结构如下表：（1）从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是）从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是 次品的概率是次品的概率是_；（2）在已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好）在已知取出的产品是甲厂生产的