广义积分的判别法PPT课件

1、二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法第一讲第一讲反常积分反常积分无穷限的反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法反常积分的审敛法 函数 第1页/共27页定义定义1. 设设若若存在存在 , 则称此极限为则称此极限为 f (x) 的无穷限的无穷限广义积分广义积分, 记作记作这时称广义积分这时称广义积分收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称广义积分就称广义积分发散发散 .一、无穷限广义积分一、无穷限广义积分注：注：f(x)非负，上述积分几何意义是开口曲边梯形的面积非负，上述积分几何意义是开口曲

2、边梯形的面积第2页/共27页引入记号引入记号则有类似则有类似N L公式的计算表达式公式的计算表达式 :2. 无穷限广义积分的计算无穷限广义积分的计算第3页/共27页一、无穷限反常积分的审敛一、无穷限反常积分的审敛法法定理定理1.若函数若函数证证:根据极限收敛准则知根据极限收敛准则知 存在存在 ,第4页/共27页定理定理2 . (比较审敛原理比较审敛原理)且对充且对充, 则则证证: 不失一般性不失一般性 ,因此因此 单调递增有上界函数单调递增有上界函数 , 第5页/共27页说明说明: 已知已知得得下列比较审敛法下列比较审敛法.极限存在极限存在 ,第6页/共27页定理定理3. (比较审敛法比较审敛

3、法 1)第7页/共27页例例1. 判别反常积分判别反常积分解解:的的敛散性敛散性 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由由比较审敛法比较审敛法 1 可知原积分收敛可知原积分收敛 .思考题思考题: 讨论反常积分讨论反常积分的的敛散性敛散性 .提示提示: 当当 x1 时时, 利用利用 可知原积分发散可知原积分发散 .第8页/共27页定理定理4. (极限审敛法极限审敛法1)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则有有: 1) 当当2) 当当证证:根据极限定义根据极限定义 , 对取定的对取定的当当 x 充充分大分大时时, 必有必有, 即即满足满足第9页

4、/共27页当当机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 可取可取必有必有即即注意注意: 此此极限的大小刻画了极限的大小刻画了第10页/共27页例例2. 判别反常积判别反常积分分的的敛散性敛散性 . 解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 根据极限审敛法根据极限审敛法 1 , 该积分收敛该积分收敛 . 例例3. 判别反常积分判别反常积分的的敛散性敛散性 . 解解:根据极限审敛法根据极限审敛法 1 , 该积分发散该积分发散 . 第11页/共27页定理定理5.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证：证：则则而而第12页/共27页定义

5、定义. 设反常积设反常积分分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则称则称绝对收敛绝对收敛 ; 则称则称条件收敛条件收敛 . 例例4. 判断反常积分判断反常积分的的敛散性敛散性 .解解:根据比根据比较审敛原理知较审敛原理知故由故由定理定理5知所知所给积分收敛给积分收敛 (绝对收敛绝对收敛) .第13页/共27页(2013)第14页/共27页无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由定义由定义 例如例如因此无穷限反

6、常积分的审敛法完全可平移到无界函数因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的的反常积分中来反常积分中来 .第15页/共27页定理定理6. (比较审敛法比较审敛法 2)定理定理3 3 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 瑕点瑕点 ,有有有有利用利用有有类似定理类似定理 3 与定理与定理 4 的如下审敛法的如下审敛法. 使对使对一切充分接近一切充分接近 a 的的 x ( x a) .第16页/共27页定理定理7. (极限审敛法极限审敛法2)定理定理4 4 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则有有: 1) 当当2) 当当例例5. 判别反常积分判别反常积分解解:利

7、用洛必达法则得利用洛必达法则得根据极限审敛法根据极限审敛法2 , 所给积分发散所给积分发散 .第17页/共27页例例6. 判定椭圆积判定椭圆积分分定理定理4 4 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 散性散性 . 解解:由于由于 的敛的敛根据极限审敛法根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛椭圆积分收敛 . 第18页/共27页类似定理类似定理5, 有下列结有下列结论论:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 称为绝对收敛称为绝对收敛 . 则则反常积分反常积分 第19页/共27页三、三、 函函数数1. 定义定义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 下面证明这个特殊函数在下面证明这个特殊函数在内收敛内收敛 . 令令第20页/共27页机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 综上所述综上所述 , 第21页/共27页2. 性质性质(1) 递推公式递推公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证证: (分部积分分部积分)注意到注意到:第22页/共27页(2)得得应用中常见的积分应用中常见的积分这这表明左端的积分可用表明左端的积分可用 函数来计算函数来计算.例如例如,第23页