模式识别孙即祥第4章习题解

1、第四章 习题解 4.2 设一维两类模式满足正态分布，它们的均值和方差分别为，m1=0，s1=2，m2=2，s2=2，p(x) n(m,s)，窗函数p(1)= p(2)，取0-1损失函数，试算出判决边界点，并绘出它们的概率密度函数曲线；试确定样本-3，-2，1，3，5各属哪一类。解：1x已知 ，                          &#

2、160; 由bayes最小损失判决准则：如果 ，则判 ，否则判 。如果 ，则判 ，否则判 。-3，-2属于1；1，3，5属于2。 4.7 在图像识别中，假定有灌木丛和坦克两种类型，分别用1和2表示，它们的先验概率分别为0.7和0.3，损失函数如表3.1所示。现在做了四次试验，获得四个样本的类概率密度如下：          ：0.1，0.15，0.3， 0.6x1    x2    x3    x

3、4     x：0.8，0.7，0.55， 0.3（1）   试用贝叶斯最小误判概率准则判决四个样本各属于哪个类型；（2）   假定只考虑前两种判决，试用贝叶斯最小风险准则判决四个样本各属于哪个类型；（3）   将拒绝判决考虑在内，重新考核四次试验的结果。表3.1类型损失判决12a1 (判为1)0.52.0a2 (判为2)4.01.0a3 (拒绝判决)1.51.5解：（1）两类问题的bayes最小误判概率准则为如果 ，则判 ，否则判 。由已知数据，q12=0.3/0.7=3/7，样本x1： l1

4、2（x1）=0.1/0.8<q12=3/7 x1Î2样本x2： l12（x2）=0.15/0.7<q12=3/7 x2Î2样本x3： l12（x3）=0.3/0.55>q12=3/7 x3Î1样本x4： l12（x4）=0.6/0.3>q12=3/7 x4Î1 （2）不含拒绝判决的两类问题的bayes最小风险判决准则为如果 ，则判 ，否则判 。由已知数据，q12=0.3´（2 - 1）/0.7´（4 - 0.5）=3/24.5，样本x1： l12（x1）=1/8>q12=6/49 x1Î

5、;1样本x2： l12（x2）=3/14>q12=6/49 x2Î1样本x3： l12（x3）=6/11>q12=6/49 x3Î1样本x4： l12（x4）=6/3>q12=6/49 x4Î1  （3）含拒绝判决的两类问题的bayes最小风险判决准则为其中条件风险： 后验概率： 记     (4.7-1)则，含拒绝判决的两类问题的bayes最小风险判决准则为对四个样本逐一列写下表，用(4.7-1)式计算r(aj|x)。样本x1：l(aj|i)    类型损失判决1p(x|1)

6、p(1)=0.1´0.7=0.072p(x|2)p(2)=0.8´0.3=0.24 r(aj|x) a1 (判为1)0.52.00.5*0.07+2*0.24=0.515a2 (判为2)4.01.04*0.07+1*0.24=0.52a3 (拒绝判决)1.51.51.5*0.07+1.5*0.24=0.465因为r(a3|x1)=0.465最小，所以拒绝判决；样本x2：l(aj|i)    类型损失判决1p(x|1)p(1)=0.15´0.7=0.1052p(x|2)p(2)=0.7´0.3=0.21&#

7、160;r(aj|x) a1 (判为1)0.52.00.5*0.105+2*0.21=0.4725a2 (判为2)4.01.04*0.105+1*0.21=0.63a3 (拒绝判决)1.51.51.5*0.105+1.5*0.21=0.4725因为r(a1|x2)=0.4725最小，所以判x2Î1，即灌木丛，或拒绝判决；样本x3：l(aj|i)    类型损失判决1p(x|1)p(1)=0.3´0.7=0.212p(x|2)p(2)=0.55´0.3=0.165 r(aj|x) a1 (判为1)0.52.

8、00.5*0.21+2*0.165=0.435a2 (判为2)4.01.04*0.21+1*0.165=1.005a3 (拒绝判决)1.51.51.5*0.21+1.5*0.165=0.5625因为r(a1|x3)=0.435最小，所以判x3Î1，即灌木丛；样本x4：l(aj|i)    类型损失判决1p(x|1)p(1)=0.6´0.7=0.422p(x|2)p(2)=0.3´0.3=0.09 r(aj|x) a1 (判为1)0.52.00.5*0.42+2*0.09=0.39a2 (判为2)4.01.04*0.

9、42+1*0.09=1.77a3 (拒绝判决)1.51.51.5*0.42+1.5*0.09=0.765因为r(a1|x4)=0.39最小，所以判x4Î1，即灌木丛。 4.9 假设两类二维正态分布参数为m1=(-1，0)，m2=(1，0)，先验概率相等。（1）令s1=s2=i，试给出负对数似然比判决规则；（2）令  试给出负对数似然比判决规则。解：bayes最小误判概率似然比判决规则为如果 ，则判 ，否则判 。相应的负对数似然比判决规则为如果 ，则判 ，否则判 。对于正态分布 （1）由已知， 故，如果 则判 ，否则判 。（2） ，  ，   即

10、，       补充题1：假设两类一维模式的概率密度函数为     先验概率相等。（1）求bayes判决函数（用0-1损失函数）；（2）求总的误判概率。 解：（1）当用0-1损失函数且先验概率相等时，bayes最小损失判决规则为：如果 ，则判 ，否则判 。即， ，则判 ，否则判 。代入本题类概率密度函数得：如果x<1.5，则判xÎ1，否则判xÎ2。故，bayes判决函数为d(x)=1.5-x 。 （2）误判概率0 1 1.5 2 3 x1p(x|1)p(x|2

11、)         补充题2：在目标识别中，假定类型w1为敌方目标，类型w2为诱饵（假目标），已知先验概率p(w1)=0.2和p(w2)=0.8，类概率密度函数如下：    （1）求贝叶斯最小误判概率准则下的判决域，并判断样本x=1.5属于哪一类；（2）求总错误概率p(e)；（3）假设正确判断的损失l11=l22=0，误判损失分别为l12和l21，若采用最小损失判决准则，l12和l21满足怎样的关系时，会使上述对x=1.5的判断相反？解：（1）应用贝叶斯最小误判概率准则如果  则判   得 l12(1.5)=1 < =4，故 x=1.5属于w2 。  （2）p(e)=             &#