5-5充分统计量[沐风教育]

1、第五节第五节 充分统计量充分统计量1、充分性的概念、充分性的概念2、因子分解定理、因子分解定理一、充分性的概念一、充分性的概念 不损失信息的统计量就是充分统计量不损失信息的统计量就是充分统计量.它概括它概括了样本中所含未知参数的全部信息了样本中所含未知参数的全部信息.例例1 为研究某运动员的打靶命中率为研究某运动员的打靶命中率, 对其进行测试。对其进行测试。观测观测10次，发现除第三、六次未命中外，其余八次都次，发现除第三、六次未命中外，其余八次都命中。此观测结果包括两种信息：命中。此观测结果包括两种信息：（1）打靶）打靶10次命中次命中8次；次；（2）两次未命中出现在第三、六次打靶上。）两次

2、未命中出现在第三、六次打靶上。例例2 设总体设总体X分布为分布为b(1,), X1 , X2, Xn是取自总体的是取自总体的样本，令样本，令T=X1 +.+Xn , 则在给定则在给定T 的取值的取值 t 后后, 对任意对任意一组一组 , 有有121(,.,),()nniixxxxt11(,|)nnP XxXxTt1111111(,)()nnnniiniiP XxXxXtxPXt 1111()()(1)nniiniiittn tnP XxP XtxC 11111111(1)(1)(1)nniiiiiintxtxxxittntnC (1)1(1)tn tttn ttnnCC该条件分布与该条件分布与

3、无关，因而无关，因而T是充分统计量。是充分统计量。注注1：用条件分布与未知参数无关来表示统计量不损失用条件分布与未知参数无关来表示统计量不损失样本中有价值的信息的方法是可行的样本中有价值的信息的方法是可行的. 2：充分统计量不唯一充分统计量不唯一. 实际上实际上, 样本本身就是参数的一样本本身就是参数的一个充分统计量个充分统计量. 由此由此, 充分统计量总存在充分统计量总存在. 3：若样本容量为若样本容量为n, （在上例中）（在上例中）则则T1=x1+x2不是充分统不是充分统计量计量. 显然显然,它浪费了它浪费了n-2个样品的信息个样品的信息.定义定义:1211,( ; )( ,.nnnx x

4、xF xTT xxTxx(也称为该分布的充分统计量)设是总体分布函数为的样本，统计量)称为 的充分统计量,如果在(任意)给定 值后,样本的条件分布与 无关注：注：条件分布可用条件分布列或条件密度函数来表示条件分布可用条件分布列或条件密度函数来表示.定理定理1：设设T=T(x1,xn)是参数是参数的一个充分统计量，的一个充分统计量，z=(t)具有单值反函数，则具有单值反函数，则Z=(T)也是也是的一个充分统的一个充分统计量计量.（即充分统计量经一一对应变换后仍是充分统计量）（即充分统计量经一一对应变换后仍是充分统计量）T T和和可以是向量可以是向量, ,维数不一定相同维数不一定相同1212( )

5、( ; ),0,1,!,3. .xXPp xexxx xTxx设总体，即为样本，证明 =2不是 的充分统计量例定理定理2：以下统称分布列和密度函数为概率函数以下统称分布列和密度函数为概率函数.111( ,.,; ) ( ,), ( ,)nnnp xxg T xxh xx1111(,),( ;,( ,( , ),nnnnh xxp xxxTT xxg txx充要设总体的概率函数为),是样本，则统计量)为充分统计量的是:存在两个函数和使得对任意的和任一组观测值条件有二、因子分解定理二、因子分解定理其中其中g( t,)是通过统计量是通过统计量T 的取值而依赖于样本的，的取值而依赖于样本的，而而h(x

6、1,xn)不依赖于不依赖于.例例4 设设x1 , x2, xn是取自总体是取自总体N(,1) 的样本，的样本，令令 , 则则T 为为 的充分的充分 统计量统计量.Tx1(,)npxx22211()()()nniiiixxxn x而2211(2 )exp() 2nniix222111(2 )exp() exp() 22nniixxn x21, ( , )exp() 2Txg tn t取并令22111(,)(2 )exp() 2nnniih xxxx由因子分解定理可知由因子分解定理可知, , 是是的的充分统计量。充分统计量。Tx证：例例5 设总体设总体X分布为分布为U(0,), x1 , x2,

7、xn是取自总体是取自总体的样本，则的样本，则T=x(n) 是是 的充分统计量的充分统计量.1/,0( ;)0,xp xelse10min max (1/ )( ; )(; )0niinxxp xp xelse，(1)( )10,( , )(1/ ),( ,)nntnxTxg tIh xxI取并令由因子分解定理可知由因子分解定理可知, ,T=x (n)是是的的充分统计量。充分统计量。证：证：()(1)0(1 /)nnxxII2221211(,;)(2)exp() 2nnniip xxx例例6 设总体设总体X分布为分布为N(,2), x1 , x2, xn是取自总体是取自总体的样本，的样本，=(

8、,2) 是未知的是未知的, 则则 是是的的充分统计量充分统计量. 进一步进一步, 它的一一对应变换它的一一对应变换 仍仍是充分统计量是充分统计量.21211( ,)(,)nniiiiTttxx证：证：222222111(2)expexp(2)22nnniiiinxx21211, , nniiiitxtx取并令22212212211( ,; )(2)expexp(2)22(,)1 .nnng t ttth xx即可2( ,)x s注：注：若若是参数向量，是参数向量，T是随机向量，且满足因子分是随机向量，且满足因子分解定理的条件，则解定理的条件，则T是是的充分统计量的充分统计量. 但不能由但不能由

9、T关于关于是充分的是充分的, 推出推出T 的第的第i 个分量关于个分量关于的第的第i 个个分量也是充分的分量也是充分的.例例7. 设设x1 , x2, xn是取自均匀分布是取自均匀分布U(,2)的样的样本，其中参数本，其中参数0，试给出充分统计量，试给出充分统计量.例例8 设设x1 , x2, xn是取自总体是取自总体X的样本，其中的样本，其中X的密的密度为度为1( ;), 01,0p xxx111(,.; )()nnniip xxx111,( , ), (,)1nniniTxg tth xx取并令试给出一个充分统计量试给出一个充分统计量. (P283)由因子分解定理可知由因子分解定理可知, , 是是的的充分统计量。充分统计量。1niiTx注：注：因为充分统计量的一一对应变换仍是充分统计量因为充分统计量的一一对应变换仍是充分统计量. 故例故例8中中 几何平均几何平均 及其对数及其对数 都是都是的充分统的充分统计量计量.1,nnxx11lnniixn解解:常见分布的充分统计量常见分布的充分统计量分布分布参数参数充分统计量充分统计量两点分布两点分布b(1, p)pPoisson分布分布P()几何分布几何分布Ge()均匀分布均匀分布U(0, )均