多元微积分：7-8空间直线及其方程（2）

1、xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程 注：表示同一直线的一般方程不唯一。注：表示同一直线的一般方程不唯一。第八节第八节 空间直线及其方程空间直线及其方程确定空间直线的条件确定空间直线的条件 由两个平面确定一条直线；由两个平面确定一条直线； 由空间的两点确定一条直线；由空间的两点确定一条直线； 由空间的一点和一个方向来确定一条直线。由空间的一点和一个方向来确定一条直线

2、。xyzo方向向量的定义：方向向量的定义：sL,),(0000LzyxM 设设定定点点0M M ,),(LzyxM sMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空间直线的参数方程与对称式方程二、空间直线的参数方程与对称式方程 如果一非零向量如果一非零向量 平行于平行于一条已知直线一条已知直线L L，向量，向量 称为称为直线直线L L的的方向向量方向向量ss,000pnmtzzyyxx 则则直线的对称式方程直线的对称式方程pzznyymxx000 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方

3、程直线的参数方程消去参数消去参数t，有，有注：注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；表示同一直线的对称方程不唯一； 2. 对称式方程可转化为一般方程对称式方程可转化为一般方程 ; 4. 任一条直线均可表示为对称式方程任一条直线均可表示为对称式方程.),(),(222111zyxNzyxM直直线线过过直直线线的的两两点点式式方方程程：设设 121212,zzyyxxs 则则121121121zzzzyyyyxxxx 直线方程为：直线方程为：pzznyyxx0000. 3 .,000pzznyyxx理解为理解为:例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.04320

4、1 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy点坐标点坐标),2, 0 , 1( 因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx例例 2 2 一一直直线线过过点点)4 , 3, 2( A，且且和和y轴轴垂垂直直相相交交，求求其其方方程程.解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直线方程

5、所求直线方程.440322 zyx的的公公垂垂线线方方程程。：与与直直线线求求直直线线例例zyxLzyxL 02110123:321L1L2L 1,2, 11,0 , 10, 1 ,2 sL的的方方向向向向量量解解： 5,2, 10, 1 ,21,2, 1111 nLL，确确定定一一平平面面与与 2,2,21,0 , 11,2, 1222 nLL，确确定定一一平平面面与与0)2()1(:0)1(52)3(:21 zyxzyx 010852zyxzyx公垂线：公垂线：定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 2222222121212

6、1212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即例例 4 4 一一直直线线 L 过过点点(-3,2,5)，且且和和直直线线 15234zyxzx平平行行，求求其其方方程程. 解解 所求直线方程所求

7、直线方程.153243 zyx1 , 3 , 451240121 kjinns方法方法2:设设,pnms 13405204,21pnmpnmpmnsns 1 , 3 , 4 s取取例例5 5 一直线过点一直线过点M0(2,1,3)， 且与直线， 且与直线L: 12131 zyx垂垂直相交，求其方程直相交，求其方程. 取取4 , 1, 210 MkMs所求直线方程所求直线方程.431122 zyx解解设所求直线为设所求直线为l , 先求两直线的交点。先求两直线的交点。LlM1M0过点过点M0做平面垂直于直线做平面垂直于直线L：3x+2y-z=5代入平面方程代入平面方程的参数方程：的参数方程： t

8、ztytxL2131所以交点为所以交点为 M1(2/7, 13/7, -3/7)定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 例例 6 6 设直线设直线:L

9、21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直线与平面的夹角，求直线与平面的夹角. 解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角称称为为平平面面束束。全全部部平平面面组组成成的的平平面面族族定定义义：通通过过一一条条直直线线的的 0022221111DzCyBxADzCyBxAL：0)()(2222211111 DzCyBxADzCyBxAL 束束为为的的全全部部平平面面组组成成的的平平面面则则过过直直线线不同时为零。不同时为零。，21 0)()(22221111

10、 DzCyBxADzCyBxAL 的的面面束束为为则则过过直直线线五、平面束五、平面束例例7 7解解.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程组成组成且与平面且与平面求过直线求过直线 zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即.1 , 5 ,1 n其其法法向向量量.8, 4, 1 n又又已已知知平平面面的的法法向向量量由题设知由题设知114cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程为代回平面束方程为

11、. 012720 zyx例例8 8解解.1243:,12:)1 , 1 , 1(210LxzxyLxzxyLM都相交的直线都相交的直线且与两直线且与两直线求过点求过点 将两已知直线方程化为参数方程为将两已知直线方程化为参数方程为 1243:,12:21tztytxLtztytxL的的交交点点分分别别为为与与设设所所求求直直线线21, LLL).12 , 43 ,()1,2 ,(222111 tttBtttA和和,)1 , 1 , 1(0三三点点共共线线与与BAM).(00为为实实数数故故 BMAM 即有即有,00对对应应坐坐标标成成比比例例于于是是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt, 0, 021