向量代数和空间解析几何

1、考研资料- 16 -第八章 向量代数和空间解析几何第八章 内容概要与重点难点提示本章由三个部分组成：（1）向量代数 包括向量的二要素（模和方向） 抽象向量和具体向量的线性运算法则 数量积、向量积和混合积的运算；（2）空间曲面（球面，旋转面，锥面，柱面和二次曲面）的图形与方程之间的对应，空间曲线与方程组之间的对应；（3）平面和直线的方程。重点 向量运算（线性运算、点乘、叉乘） 画出空间曲面曲线的图形 求平面和直线的方程本章 无特别难的难点考试内容要点讲解一、 向量1、定义 既有大小又有方向的量称为向量（或者矢量），记为或者，比如位移、速度、加速度等，向量的二要素：（1）大小 也叫长度,、模或者范

2、数，记为或者；方向 向量箭头的指向或用方向角来刻画。常用的向量有零向量（模为零，方向任意）、单位向量（模为1）、向径(其中为空间直角坐标系的一点)、自由向量（与起讫点无关）。一般无特别说明我们都学的向量都是自由向量。向量是不能比较大小的。 抽象的向量用带箭头的线段来表示，具体向量表示为，叫做的横坐标或者在轴上的投影，叫做在轴上的分量。；，与同方向的单位向量为。2、向量的运算 对于抽象向量 （1）加减法（平行四边形法则） 做，以为邻边做平行四边形，则对角线构成的向量。（2）数乘 规定（为数量）是向量：模；方向是当时与同向，当时与反向，当时。（3）数量积（点积，内积） （结果为数量），式中为向量与

3、的夹角（）。（4）向量积（叉积，外积） 的结果是向量：模，为向量与的夹角（）；方向与与都垂直，且、符合右手系。（5）混合积 三个向量、的运算（结果为数量，在几何上该数的绝对值等于以、为棱的平行六面体体积）。 对于具体向量 设，则（1）加减法 ； （2）数乘 ；（3）数量积 ；（4）向量积 ；（5）混合积 ，（这里设）。3、常用的结论 （1）投影定理 ； 。（2）非零向量。非零向量(或与共线)唯一的使得 。非零向量、共面不全为零的数使得。（3）非零向量、构成三角形，则；反之不一定成立。 （4）以为邻边的平行四边形面积。4、运算性质（1）加减与数乘 ；。（2）数量积 ； ；。（3）向量积 ； ；

4、；。注 对点积和叉积都没有消去律，如由，且不能推出。（4）混合积 ，； ； 。例题1 求同时垂直于向量与轴的单位向量。解：法1 设所求向量为，则，。所以。法2 取 ，故 。例题2 设，与共面，且，求。解：法1 令，由与共面，得，解得 （1）又 ，由（1）（2）（3）得到，所以 。法2 因为与共面，且，知在的角平分线上，所以也在的角平分线上，设，由，即，得到，所以 。例题3 （1）设，则。（2）设（）（），（）（），则。解：（1）因为 ，所以原式。（2）由已知，。两式相减，得 ，代入方程组第一式，有 ，把它代入，即，求出，所以。二、 空间曲面、曲线的方程定义 设有曲面和三元方程，它们满足：，则满

5、足方程；，则不满足方程，那么称曲面为三元方程所表示的曲面，或说三元方程为曲面所对应的方程。1、常见的曲面及其对应的方程（1）球面 方程表示球心为、半径为的球面。它的一般式方程为（其中）。（2）平面 一般式方程为三元一次方程（不全为零）。（3）旋转曲面 将上平面曲线绕轴旋转一周所得到的曲面的方程为；绕轴旋转一周所得到的曲面的方程为（其它情形以此类推）。 （4）圆锥面 方程（）表示顶点为原点、中心轴为轴、半顶角的圆锥面。（5）柱面 方程表示母线平行于轴（因为缺变量）、准线为上平面曲线的柱面。（5）二次曲面（即三元二次方程所表示的曲面）椭球面方程 。旋转抛物面；椭圆抛物面；双曲抛物面。（）。单叶双曲

6、； 面双叶双曲面。椭圆柱面；抛物柱面（）；双曲柱面。2、空间曲线及所对应的方程（组）（1）一般式 方程组在空间表示的图形为曲线（被动的看成两个曲面的交线），叫做曲线的一般式方程。（2）参数式 方程组，在空间表示的图形为曲线（把曲线看成动点的轨迹）,叫做曲线的参数式方程。3、空间曲线在坐标面上的投影 （1）若，从方程组中消去，得到（它表示母线平行于轴、准线为曲线的投影柱面）。联立得c:就是曲线在面上的投影。（2），则就是曲线在面上的投影。 注 （1）一般地，在空间坐标系一个三元方程所表示的图形为曲面，两个三元方程（组）所表示的图形为曲线；（2）将方程（或方程组）与它所表示的图形(曲面或者曲线)对

7、应起来并能画出来在多元函数的积分学中尤为重要。例题4 下列方程（组）各表示什么图形？（1）； （2）；（3）； （4）。答：（1）它表示球心在、半径为1的下半球面。（2）它表示顶点为、开口向后的旋转抛物面。（3）它表示母线平行于轴、准线为上半圆 的半柱面。（4）它表示两个平面和的交线（其实也是所交的直线，可见曲线的一般式方程并不是唯一的）。三、平面、直线及其方程（一）、平面的方程1、平面方程的基本形式 （1）点法式 经过点且法向量为的平面方程为。(2)一般式 在只知道曲面是平面的情况下，其方程为 （不全为零）。（3）三点式 经过不共面的三点的平面的方程为 或者为 。(4)截距式 在三个轴上截距

8、依次为（都不为零）的平面方程为。（此时平面与三个坐标面所围的四面体体积为）。（5）参数式 经过点且与两个不共线的向量都平行的平面方程为 。、 平面之间的关系设，为两个已知的平面，则它们的夹角（指非钝角）满足。讨论：（1）；（2）（重合）；（3）。注:至于三个平面的位置关系比较复杂，这需要用到线性代数中的矩阵的秩的概念，也是常考的知识点，希望大家注意。 （二）、直线的方程1、直线方程的基本形式 （1）一般式（交面式） （把直线看成两个平面的交线）。（2）对称式（点向式）经过点且方向向量为的直线方程为 。（3）参数式 经过点且方向向量为的直线的参数方程为。（4）两点式 经过两点的直线方程为。、 直

9、线之间的关系设两直线方程为，则它们的夹角（指非钝角）满足。讨论：（1）。（2）。（3）且。（4）异面。3、直线与平面的关系设，则它们的夹角（指非钝角）满足 。讨论：（1）；（2）；（3）且且 或者（）。(三)直线、平面中的常见问题1、点到平面、点到直线的距离例题5 求点到平面的距离。解：由点到平面的距离公式，得 （点为平面外一点）。例题6求点到直线的距离。解 法1 由点到直线的距离公式，得 （直线过且）。法2 先求出过点、以的平面方程为 ， 即 。再求出该平面和已知直线的交点，为此联立 ，解得。最后得到。二、点关于平面、直线对称点坐标例题7 求点关于直线的对称点坐标。解：同上题一样，求出过点做

10、出的与已知直线垂直的平面，再求出该平面和直线的交点，最后设所求的点为，用中点公式， 得 ， ， ，解出，故所求的点为。三、平面束设有直线，则过得平面束方程为（其中）其特点：随不同，它表示不同位置的平面。但无论为何值，这些平面都经过（但不包含平面）。例题8 设平面过两个平面和的交线，且与平面垂直，求平面的方程。解 法1 （点法式）设平面的法向量为，因为交于一条直线，所以它们的法向量共面，令，又因为，所以，即，取，得。再在交线上任取一点（也在平面上），由点法式得 或 。法2（混合积）平面的交线的方向向量。是平面上不共线的向量，取，则平面的任意点满足的方程为，即，解得 。法3 （平面束）过得平面束为

11、，或者 。令，解出代入上式整理得到平面的方程为。四、公垂线的方程和公垂线段的长例题9 问直线与相交吗？若相交，求出交点；若异面，求出公垂线段的长和公垂线的方程。解：两条直线的方向向量为（显然不平行），分别在两条直线上的点构成的向量为，因为，故两条直线异面。下面来求公垂线段的长法1 过作平面，则平面的法向量可取为又由于过，所以平面的方程为即。点到平面的距离即为所求的公垂线段的长，故。法2 即为在公垂线的方向向量上投影的绝对值。 。再求公垂线的方程 过，以=即为法向量作平面，或；过，以即为法向量作平面 ，或 。所以公垂线的方程为。五 空间曲线绕坐标轴旋转所得曲面方程为求绕轴旋转所得曲面方程，只需要从方程组中解出，所得曲面方程为：。例题10 (13，数一，6分)设过，将绕轴旋转一周所得曲面，求的方程并问曲面的名称。解：由两点式得的方程为，化为，则它绕轴旋转一周所得曲面的方程为 或。曲面可看成将面上的双曲线绕绕轴旋转一周所得旋转双曲面。习题一1、设都是单位向量，夹角为，求向量的夹角。2、证明到三点所确