锐角三角函数知识点总结及单元测试题

1、初三下学期锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、 b 的平方和等于斜边c 的平方。a2b2c 22、如下图，在rt abc中， c 为直角，则 a 的锐角三角函数为(a 可换成 b)：定义表达式取值范围关系正a的对边a0 sin a1sin acosbsin a斜边sin a(a 为锐角 )弦ccos asin b余a的邻边b0 cosa1sin2acos2a1cos acos a弦斜边c(a 为锐角 )正a的对边atan a0tan acot btan aa的邻边tan acot atan b切b(a 为锐角 )1tan a(倒数 )余a的邻边bcot a0cot ac

2、ot aa的对边cot a(a 为锐角 )tan a cot a1切a3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。由 abb90对得b90a斜边csin asin acos(90a)a 边cosbbcos asin bcos asin(90a)ac邻边4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。由 ab90tan acot b得b90atan acot(90 a)cot atan bcot atan(90a)5、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特殊角的三角函数

3、值(重要 )三角函数0°30°45°60°90°sin01231222cos13210222tan0313不存在3cot不存在313036、正弦、余弦的增减性：当 0° 90°时， sin随的增大而增大， cos随的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当 0°<<90°时， tan随的增大而增大， cot随的增大而减小。1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。依据：边的关系： a 2 b 2 c2 ；角的关系： a+b=90°；边角关系：三角函数的定

4、义。 (注意：尽量避免使用中间数据和除法 )2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角。视线铅垂线仰角水平线hi h : l俯角视线l(2)坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度 (坡比 )。用字母 i 表示，即 ih 。坡度一般写成 1: m 的形式，如 i1:5 等。lh把坡面与水平面的夹角记作tan 。(叫做坡角 )，那么 il3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3，oa、ob、oc、od 的方向角分别是： 45°、 135°、225°。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90

5、°的水平角，叫做方向角。如图 4,oa、ob、oc、od 的方向角分别是： 北偏东 30°（东北方向），南偏东 45°（东南方向），南偏西 60°（西南方向），北偏西 60°（西北方向）。锐角三角函数单元测试一、选择题 （每题3 分，共 30 分）1在 rt abc中， c=90°，下列式子不一定成立的是（）a sina=sinbb cosa=sinbc sina=cosbd a+ b=90°2在直角三角形中，各边的长度都扩大3 倍，则锐角 a 的三角函数值（）a 扩大 3 倍b 缩小 3 倍c都不变d 有的扩大，有的缩小3

6、在 rt abc中， c=90°，当已知 a 和 a 时，求 c，应选择的关系式是（）ab c=acc=a·tanadc=a·cotaa c=cos asin a4、若 tan( +10 )=° 3 ，则锐角 的度数是 ()a、 20°b、 30°c、35°d、 50°5已知 abc 中， c=90°，设 sina=m，当 a 是最小的内角时，m 的取值范围是（）1233a 0 m 2b0 m 2c 0m 3d0 m 26小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2 米，那么他下降（）23a 1 米b

7、3 米c2 3 米d 3米47已知 rtabc 中， c=90°， tana=3，bc=8，则 ac 等于（）32a 6b 3c 10d 12b22°) (0 ° 90°）等于（）8sinsin (90a0b1c2d2sin2n9如图，在 abc中， c=90°， ac=8cm， ab 的垂直平分线 mn 交3cdaac 于 d，连结 bd，若 cos bdc= 5，则 bc 的长是（）m（第 9 题）a、 4 cmb、 6 cmc、 8 cmd、 10 cm10以直角坐标系的原点 o 为圆心，以1 为半径作圆。若点p 是该圆上第一象限内的一点

8、，且 op 与 x 轴正方向组成的角为，则点 p 的坐标为（）a (cos ,1)b (1 , sin )c (sin,cos )d (cos,sin)（附加） 小阳发现电线杆 ab 的影子落在土坡的坡面cd 和地面 bc上，量得 cd=8 米，bc=20米， cd与地面成 30o 角，且此时测得1 米杆的影长为2 米，则电线杆的高度为 ()a 9 米b 28 米c（ 7+3）米d（ 14+23）米a二、填空题： （每题 3 分，共 30 分）3d1已知 a 是锐角，且 sina= 2，那么 a.cb（附加题）2已知 为锐角，且 sin =cos500，则 .3已知 3tana- 3=0，则

9、a.4在 abc 中， c 90°， a 2， b3，则 cosa， sinb，tanb 5直角三角形 abc的面积为 24cm2，直角边 ab 为 6cm， a 是锐角，则 sina.56已知 tan 12 ， 是锐角，则 sin .7如图，在坡度为1:2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6 米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是米。8cos2(50 °) cos2(40 °) tan(30 °)tan(60° ).9等腰三角形底边长10cm，周长为 36cm，则一底角的正切值为.c10如图，已知 ab 是 o 的直径，点 c、 d

10、 在 o 上，且 ab 5， bc 3 aob则 sin bac=； sin adc=d（第 10 题）（附加）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离ma 为 a 米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动， 顶端靠在对面墙上n，此时梯子顶端距地面的垂直距离nbmn为 b 米，梯子的倾斜角 45°，则这间房子的宽 ab 是米。75°45°三、解答题 （共 60 分）abc1、计算 （每题 5 分，共10 分）：（附加题）(1) 4sin30 °2cos45 °3tan60 °(2) tan30

11、 sin60° °cos230° sin245°tan45 °2、(8 分 ) 在 rt abc中， c90°， a、 b、 c 所对的边分别为 a、b 、c，已知 c 8 3， a60 °，解这个直角三角形3（ 8 分）如图，一个等腰梯形的燕尾槽， 外口 ad 宽 10cm，燕尾槽深 10cm，ab 的坡度 i=1:1，求里口宽 bc及燕尾槽的截面积adbce4（ 8 分）如图，矩形abcd中 ab=10， bc=8， e 为 ad 边上一点，沿ce将 cde对折，点d 正好落在ab 边上的 f 处，求tan afeafb

12、edc5（ 8 分）如图 ，一栋旧楼房由于防火设施较差，需要在侧面墙外修建简易外部楼梯，由地面到二楼， 再由二楼到三楼， 共两段（图 中 ab、bc两段），其中 bb=3.2 m，bc=4.3m结合图中所给的信息，求两段楼梯a b 与 bc的长度之和（结果保留到0.1 m）（参考数据 sin30 °，cos30°，sin35 °，cos35°）c ecdb35°bca30°ba6（ 8 分）如图，一艘海轮位于灯塔p 的北偏东65°方向，距离灯塔80 海里的 a 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔p 的南东 34&#

13、176;方向上的b 处。这时，海轮所在的b处距离灯塔 p 有多远（精确到 1 海里）（参考数据：sin65 ° ,cos65 °，tan65 °，sin34 °,cos34 ° ， tan34 °）a65°pc34°b7（ 10 分）如图山脚下有一棵树ab，小强从点 b 沿山坡向上走50m 到达点 d，用高为 1.5m的测角仪 cd 测得树顶的仰角为10° ,已知山坡的坡角为15°,求树 ab 的高 .(精确到 0.1m)（参考数据： sin10 °， cos10°， tan

14、10 °， sin15 °， cos15°， tan15 °ac10°edp15°b第 28章 锐角三角函数单元测试 (参考答案 )一、选择题 :1a2 c 3 a4 d5b 6 a7a8 b9a10 d（附加题 :d）二、填空题：3333345160° 240° 330° 4 13； 13 ；25561373 58012349 510 5 ； 5（附加题 :a）三、解答题：123× 3 2 13 41（ 1）解：原式 4×2 2× 2 （ 2）解：原式3×33)2

15、 (22× 11313=2(2) 4322422.解： a 60° b 90° a 30°1 1 b 2c 2× 8 3 4 3 a c2 b2 (8 3)2 (4 3)2 123. 解：如图，作 df bc 于点 f由条件可得四边形 aefd是矩形， ad=ef=10 ab 的坡角为 1:1， ae 1， be=10 同理可得 cf=10adbe 里口宽 bc be+ef+fc30 cmbce 截面积为1×（ 10+30）× 10=200 cm2f24解：由题意可知 efc d 90°， cfcd 10 afe

16、bfc90 ° bcf bfc 90 °afb afe bcfe在 rt cbf中， b90°， cf 10， bc 8 bf221022 6cfbc 8dc tan bcfbf 6 3 cf 8 4 tan afetan bcf 3 45解：在rt abb 中， abb 90°， bab 30°， bb bb sin30 °ab ab bb 错误 ! sin30 °在 rt bcc中， bcc90°， cbc 35°， bcbc cos35 °bcbc bc错误 ! cos35 °

17、ab bc （ m）答：两段楼梯a b 与 bc 的长度之和约为11.6 m.6解：在rt acp中， acp90°， a 65°， ap 80pc sina ap pc ap· sina 80× sin65 80°×在 rt bcp中， bcp 90°， b 34°， pcpc sinb pb pb pc错误 !错误 ! 130（海里） sinb答：这时，海轮所在的b 处距离灯塔p 约有 130 海里 .7解：延长cd交 pb 于 f，则 df pb在 rtbfd 中， bfd90°， fbd 15&#

18、176;， bd 50cdfbfd sin fbdbdcos fbd bd df bd· sin fbd bd· sin15 ° 50× =p fbf bd· cos fbd bd· cos15 ° 50×在 rtaec中， aec90°， ace 10°， ce bfae tan ace ce ae ce· tan ace ce· tan10 ° × abae+cd+df +13（米）答：树 ab 高约为 23.2 米.一、选择题：（ 30 分）1、已知

19、 为锐角，则m=sin +cos的值（）am 1b m=1c m 12、在直角三角形中，各边的长度都扩大3 倍，则锐角a 的三角函数值a10°e15°bd m1（）a 也扩大 3 倍b 缩小为原来的 1c 都不变d 有的扩大，有的缩小33、以直角坐标系的原点o 为圆心，以1 为半径作圆。若点p 是该圆上第一象限内的一点，且 op 与 x 轴正方向组成的角为，则点p 的坐标为（）a (cos ,1)b (1,sin )c (sin ,cos ) d (cos ,sin )4、如图，在 abc 中， c=90°，ac=8cm，ab 的垂直平分线mn 交 ac 于 d，

20、 b3，则 bc的长是（）n连结 bd，若 cos bdc=5a、4cmb、 6cmc、8cmd、 10cmca5、已知 a 为锐角， sina=cos500 则 a 等于（）mda 20°b 30°c 40°d 50°6、若 tan(a+10 ° )= 3 ，则锐角 a 的度数是()a、 20°b、 30°c、 35°d、 50°7、如果、都是锐角，下面式子中正确的是（）a、 sin( + )=sin +sinb、 cos( + )=1时， + =60°2c、若时，则cos cosd、若 co

21、s >sin,则 +>90°8、小阳发现电线杆ab 的影子落在土坡的坡面cd 和地面 bc上，量得cd=8 米， bc=20 米， cd 与地面成30o 角，且此时测得1 米杆的影长为 2 米，则电线杆的高度为（）ada9 米b 28 米c 73 米d. 1423 米9、如图 ,两建筑物的水平距离为am,从 a 点测得 d 点的俯角为a,测得 c 点的俯角为 ,则较低建筑物cd 的高为()bcmb.(a· tan )mc.(a/tan )m(tan tan )m10、如图，钓鱼竿ac 长 6m，露在水面上的鱼线bc 长 32 m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿

22、ac 转动到 ac 的位置，此时露在水面上的鱼线b c 为 3 3 ，则鱼竿转过的角度是()a 60°b 45°c 15°d 90°二、填空题：（ 30 分）11、在 rt abc 中， c 90°， a 2， b 3，则 cosa.， sinb，tanb.12、直角三角形abc 的面积为24cm2，直角边ab 为 6cm ， a 是锐角，则sina.13、已知 tan 5 ，是锐角，则sin.1214、cos2(50°) cos2(40° ) tan(30°)tan(60 °)y.a15、如图，机器人从

23、a 点，沿着西南方向，行了个 42单位，到达 b 点后观察b到原点 o 在它的南偏东 60°的方向上， 则原来 a 的坐标为.（结果保留根号） ox16 、等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的正切值为.17、某人沿着坡度i=1: 3 的山坡走了50 米，则他离地面米高。18、如图，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是 6 米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是米。19、在 abc中， acb 90°，cosa=3 ，ab 8cm ，则 abc3的面积为.20 、如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离 ma

24、为 a 米，此时，梯子的倾斜角为 75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上 n，此时梯子顶端距地面的垂直距离 nb 为 b 米，梯子的倾斜角 45°，则这间房子的宽 ab 是三、解答题：（ 60 分）米。21、计算 (8 分)： (1)tan30 ° sin60° cos230° sin245° tan45°(2)1tan 2 4513 cos2 30tan45sin 404sin 2 30cos0cos5022、 (6 分 )abc 中， c 90° (1)已知： c 83 ， a 60°，求 b、

25、a、 b(2) 已知： a 36 ， a 30°，求 b、 b、 c.23 、 (6 分 ) 某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h （即50m/s ）交通管理部门在离该公路100m 处设置了一速度监测点3中，点 a 位于 y 轴上，测速路段bc在 x 轴上，点 b在点 a 的北偏西60°方向上， 点 c 在点 a 的北偏东45°方向上（1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射线 ac，并标出点 c 的位置；b（ 2 ）点 b 坐标为，点 c 坐标为；（ 3）一辆汽车从点 b 行驶到点 c所用的时间为 15s，请通过计算，判断该

26、汽车在限速公路上是否超速行a，在如图所示的坐标系北东y/ mox/ m60°a（ 0, -100）驶（本小问中3取1.7 ）24、 (6 分) 已知 rtabc的斜边 ab 的长为 10cm , sina、sinb 是方程 m(x2 2x)+5(x2+x)+12=0 的两根。（1 ）求 m 的值；（ 2）求 rt abc的内切圆的面积。25、 (8 分 )如图 ,abc 是等腰三角形 , acb=90° ,过 bc 的中点 d 作 de ab,垂足为 e,连结 ce,求 sin ace的值 .26、 (8 分 ) （08 庆阳市）如图，某超市（大型商场）在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高米，他乘电梯会有碰头危险吗（sin28o， tan28 o）27、(8 分 )如图，已知 mn 表示某引水工程的一段设计路线，从 m 到 n 的走向为南偏东30°，在 m 的南偏东 60°方向上有一点 a，以 a 为圆心， 500m 为半径的圆形区域为居民区。取 mn 上另一点 b，测