《二次根式》培优专题一

1、二次根式培优专题一、【基础知识精讲】1 .二次根式：形如ja （其中a）的式子叫做二次根式。2 .最简二次根式： 必须同时满足下列条件：被开方数中 不含开方开得尽的 ; 被开方数中 不含; 分母中不含。 3.同类二次根式：二次根式化成 后，若 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的性质：（1）（再）2= （其中 a）（2） *；= （其中 a）5 .二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式 的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成

2、最简二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法： 二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商） 的被开方数。"ab =（其中 a b）；二 （其中 a b）.（4）分母有理化：把分母中的根号化去， 就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因 式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如J3的有理化因式就是 33 ,册的有理化因式可以是 J8也可以是22 , ja +而 的有理化因式就是 Va -7b .（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘 法公式，都适用于二次根式的运算.

3、（6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式.6 .双重二次根式的化简：二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。双重二次根式化简的方法是：设 xA0,y>0, a>0, y>0,且 x + y = a, xy = b，则a 2.b =(x y) 2, xy =(. x)2 (. y)2 2 .x . y =(, x y)2. a 2 b = . . x. y如：要化简 J5 276 , 2+3 = 5, 2x3 = 6 .45 2通=J'(V2 V3)2 = J3 J2但要注意最后的结果是正数，所以不能是<2 <3、【例题精讲】类型一

4、：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（B. .3-二C.屈D.2、二次根式 上学二1有意义时的x的取值范围是x -43、已知： y = Jx+2 + J-x -2 +1 ,则 （x + y） 2001 =。类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简）21、实数在数轴上的位置如图1所示，化简|a-1|+ V（a-2）2 =。-i 0 3一（图 1）2、把-4Y3的根号外的因式移到根号内得 ;3、化简：- xj 5=；4、化简 V（3 - v7）2 +2V（7 -5）2 +«（2一行）2 =。5、化简 77 2 246 =。6、代数式3 44x2的最大值

5、是。类型三：考查同类二次根式与最简二次根式（化简）把3居,2d§, 1V27, 1J75按由大到小的顺序排列为： 类型四：考查二次根式的运算（加减乘除混合运算、分母有理化）1、若a=2+J3, b =2 J3 ,则a与b的关系是（）A .互为相反数；B.互为侄数；C.互为负倒数；D.以上均不对。.12、计算：*【同步练习】一、选择题（每小题1 .下列说法正确的是3分，共30分）： ）A.若 Ja2 =a,贝U a<0 B.若%牙=2,则2>0C. Ya4b8=a2b4D. 5的平方根是J52 .二次根式寸2（m + 3）的值是（）A. 3V2B. 2<3C. 2M3

6、 .化简|xy|/（xcy <0）的结果是（D. 0y -2xB. yC. 2x-y4.a是二次根式，则a, b应满足的条件是ba, b均为非负数B . a, b同号C.a>0, b>0D._05.(2005 湖北武汉)-a - ab已知 a<b,化简二次根式B. -avab6.把mJ根号外的因式移到根号内, m.-a3C. ayfabA .7.A.dmB. -JmF列各式中，一定能成立的是（-2.5）2 =（ 2.5）2C.C.8.若x+y=0 ,则下列各式不成立的是（x2 -y2 =0 B. %;x +3/y =09.当x = -3时，二次根 m J2"x

7、.2、.2B. 2C.5x 710.已知x2B. ± 2b的正确结果是（D. a< -aba2 = (- a)2.、，x2 - 9 - , x - 3Jx2,y2=0D. Vx+Jy = 0式的值为J5 ,则m等于()D. <5+ J18 x =10，则 x 等于（）C. 2D. ± 4二、填空题（每小题 3分，共30分）11 .若Jx -5不是二次根式，则 x的取值范围是12. (2005 江西)已知 a<2, va -2)213.当 x=.时，二次根式 Jx+1取最小值，其最小值为14 .计算：J12+J27 黑石8 =；(3. 48 -4. 27 -

8、 2. 3)二.315 .若一个正万体的长为 2历cm,宽为、3cm,图为、.兀m ,则它的体积为 cm16 .若 y =dx3 +J3 x +4 ,则 x + y =17 .若J3的整数部分是a,小数部分是b,则J3ab=18 .若vm(m -3) = Jm Jm -3 ,则m的取值范围是 小甘 21。忑31屈ntt19 .右 x =产,=1 x ,贝 U y =3 1 y 、2 420 .已知 a, b, c 为三角形的三边，则 、:(a+bc)2+d(bca)2+，(b+c a)2 =.,三、化简（前5题每小题6分，后两题每题21 -218-4、122.2-1，27分，共44分)(5.

9、48 -6. 27 4.15)，,323.24.18 ( .2 1)(-2)，-2,、225 .已知：x =f=-,求 x2 x+1 的值。.3-126 .已知：y =寸1 8x +：8x1+1,求代数式 2 T十2 必十丫2的值。2y x , y x27、阅读下面问题：一1=二32 二 1）一 =<2 -1 ；12（，2 1）（.2 -1）3-2(3 .2)( 3 - 2)1_5 -25 2 ( 5 2)(、5 -2)= 52， J 一 （n为正整数）的值。,n 1 , n3.已知y = Jx -8 +m8 -x +18 ,求代数式2xyx . y - y . x的值.试求：1 的值;

10、 1 的值;7,63.2.17【培优练习】一、二次根式的非负性1,若 2004-a| + Ja-2005 = a ,贝U a -20042 =2 .代数式2x - 3 - J'4x13的最小值是.，.4.若 m适合关系式 J3x + 5y _2 _m + J2x +3y -m = Jx-199+ y 199-x -y ,求 m 的值.、二次根式的化简技巧（一）构造完全平方一 2_一_ 2n 2n 1 _ 2n(n 1)=122- =1 -22n (n 1) n (n 1)221、由 1 十4十 j=1+n2 (n 2n (n 1) n (n 1)1 c 1 r 1,2"12n

11、 (n 1)n(n 1) n (n 1)化简彳导1+1 +言=(拓展)计算 J1 +4 + + ：1 + + +1 + + + ：1 +二 十一二.22222.22212,2334200320042 .化简：y+2+3q2y-5 - , y - 2 +2 y - 5 .3 .化简 V6 + <8 +V12 +V24 .4.化简:23-6,6-4 23 v2（二）分母有理化1111_1 .计算： 产十一尸尸十一方十 +=的值.335.3 3 57 45 5,749.47 47 1 492 .分母有理化:2.62,353 .计算:2 -，321x2.3三、二次根式的应用（一）无理数的分割1

12、.设a为V3 +芯-V3 55的小数部分,21.的值为()(A)弋6V241b ab为，6 + 3向-"6-3/3的小数部分，则(B) 1(C) -1(D) 2-73-4282.设5 1 军的整数部分为x，小数部分为,5 -1212y ,试求x + xy + y的值.23.设9-83的整数部分为a，小数部分为b ,试求a十b+1的值 b（二）性质的应用1 .设 m、x、y 均为正整数，且, m F28 =、x ：'y ,则 x + y+ m =2.设 x=*2 + 2 +，2 十%：一 , y =2 22、厂，则(),41*'(A) x >y (B) x < y (C) x = y (D)不能确定（三）有二次根式的代数式化简1.已知 Vx(dx +2百)=百5Fx +5jy),求x . xy - y斥3的值.2x ,xy 3y2.已