测试技术与信号处理答案

1、测试技术与信号处理课程习题解答陈树祥盐城工学院机械工程学院 三车资料库学习资源共享专家（说明：本课程习题与贾民平主编的测试技术教材配套）第一章习题（p29）解：（1）瞬变信号指数衰减振荡信号，其频谱具有连续性和衰减性。（2）准周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱仍具有离散性。（3）周期信号，因为各简谐成分的频率比为无理数，其频谱具有离散性、谐波性和收敛性。解：x(t)=sin2 ðf0t 的有效值（均方根值）：x rms =1t 0t00x 2 (t )dt =1t 0t00sin22ðf 0 tdt=12t 0t00(1 cos 4ðf 0 t)dt

2、 =12t 0(t 0 14ðf 0sin 4ðf 0 tt 00)=12t 0(t 0 14ðf 0sin 4ðf 0 t 0 ) = 1 / 21 三车资料库学习资源共享专家解：周期三角波的时域数学描述如下：x(t)1. . . . .-t0/20t0/2t 2 a0tt 02 t 0x ( t ) = a 2 at 0t0 t t 02 x ( t + nt 0 )（1）傅里叶级数的三角函数展开：a0 =1t0t0 / 2t0 / 2x(t)dt =2t00t0 / 2(1 2t0t)dt =12a n =2t0t0 / 2t0 / 2 x(t )

3、 cos nù 0t dt=4t0t0 / 20(1 2t0t) cos nù0 t dt4= 2 2 sinn ð2 nð2 40n = 1, 3, 5,n = 2, 4, 6,bn =2t0t0 / 2 t0 / 2x (t ) sin nù 0t dt，式中由于 x(t)是偶函数， sin nù 0t 是奇函数，则 x(t ) sin nù0t 也是奇函数，而奇函数在上下限对称区间上的积分等于 0。故bn = 0。因此，其三角函数展开式如下：x(t) =124ð=n 1 n 2 cos nù0t=1

4、24 1ð n=1 n(n=1, 3, 5, ）2a+t=n2ð2+21+22sin(nù0t+ð2) 三车资料库学习资源共享专家其频谱如下图所示：a(ù)1 (ù)24ð 249ð 24ð225ð 20ù03ù05ù0ù0ù03ù05ù0ù单边幅频谱（2）复指数展开式复指数与三角函数展开式之间的关系如下：c0 =a0单边相频谱c 0 = a0 = a 0cn =(an-jbn)/2c-n=(an+jbn)/2故有r

5、ecn =an/2imcn =-bn/21 1c n = an2 2i c bön = arctg m n = arctg( n )r e c n a nrecn =an/22n ð2 nð2 20n = 1, 3, 5,n = 2, 4, 6,imcn =-bn/2 0c0 = a0 = a0 =12cn =12an2 + bn2 =12an =12ani c bön = arctg m n = arctg( n ) = 0re cn an3=22sin=n2ð2 三车资料库学习资源共享专家实频谱12recn229ð 22ð

6、; 22ð 229ð 2225ð 225ð 2-5ù0-3ù0-ù0 0ù03ù05ù0ùimcn虚频谱-5ù0-3ù0-ù0 0ù03ù05ù0ù双边幅频谱12c n229ð 22ð 22ð 229ð 2225ð 225ð 2-5ù0-3ù0-ù0 0ù03ù05ù0ùö n双

7、边相频谱-5ù0-3ù0-ù0 0ù03ù05ù0ù4 三车资料库学习资源共享专家解：该三角形窗函数是一非周期函数，其时域数学描述如下：x(t)-t0/210t0/2t 2x(t) = 1 2 t t0 t 02t0 t 02用傅里叶变换求频谱。x ( f ) = x(t)e j 2ð ftt0 / 2dt = t0 / 2x(t)e j 2ð ft dt=0t0 / 2(1 2t0t )e j 2 ð ft dt + t0 / 20(1 +2t0t )e j 2 ð ft dt= 1

8、j 2ðf 0t0 / 2(1 2t00t0 / 2(1 +2t0t ) de j 2 ð ft = 1j 2ðf(1 2t0t ) e j 2 ð ftt0 / 20 0t0 / 2e j 2 ð ft d (1 2t0t )+ (1 +2t0t ) e j 2 ð ft0t0 / 2 t0 / 20e j 2 ð ft d (1 +2t0t )= 1j 2ðf 1 +2t00t0 / 2e j 2 ð ft dt + 1 2t0t0 / 20e j 2ð ft dt = 2j 2ð

9、ft0 1j 2ð fe j 2 ð ftt0 / 20 e j 2 ð ft0t0 / 2= 2 21e jð ft0 1 1 + e jð ft0 =2 211 cos ð ft0 =2 21 2 sin 2ðft02t2sin 2( )22t25ðft021+t2ðft0=0=0sinc2 三车资料库学习资源共享专家x(f )t0/26t04t02t002t04t06t0f(f )ð6t04t02t002t04t06t0f解：方法一，直接根据傅里叶变换定义来求。6 三车资料库学习资源共享专

10、家x (ù ) =00x(t )e j ù t dte at sin ù0t e j ù t dtj2=j ( a + jù + jù 0 ) t2 e ( a + j ù j ù 0 ) t )dt=j e ( a + jù + j ù 0 ) t2 (a + jù + jù 0 )e ( a + j ù j ù 0 ) t(a + jù jù 0 )0=j 12 a + j(ù + ù 0 )1a + j(

11、49; ù0 )ù 02方法二，根据傅里叶变换的频移特性来求。单边指数衰减函数： 0f ( t ) = at e其傅里叶变换为t < 0a > 0 ,t 0f (ù ) = f (t)e jù t dt= 0e at e jù t dt=e at e j ù t (a + jù ) 01(a + jù )a jùa 2 + ù 270e0+=2 三车资料库学习资源共享专家f (ù ) =1a 2 + ù 2ö(ù ) = arctgù

12、a根据频移特性可求得该指数衰减振荡函数的频谱如下：x (ù) = ft f (t ) sin ù 0t =12 jf (ù ù0 ) f (ù + ù0 )=1 12 j a + j (ù ù0 )1a + j(ù + ù 0 )ù0= 2 2f (ù )1/a0根据频移特性得下列频谱ù12ax(ù)12a ù0120 f (ù ù 0 ) + f (ù + ù 0 )ù 0ù8 三车资

13、料库学习资源共享专家解：利用频移特性来求，具体思路如下：a/2a/2当 f0<fm 时，频谱图会出现混叠，如下图所示。 f00f0f9 三车资料库学习资源共享专家解：x ( t ) = w ( t ) cos ù 0 tw(t)1wcosù0t1-t0(t)t0ttftw(t )ft cosù 0t /w(ù)22t1212012tù卷积 ù00ù0ùft w ( t ) cos ù 0 t tx(ù)t ù00ù0ù10- 三车资料库学习资源共享专家由于窗函

14、数的频谱 w (ù) = 2t sin c(ùt ) ，所以x (ù ) =12w (ù ù 0 ) + w (ù + ù 0 )= t sin c (ù ù 0 )t + sin c (ù + ù 0 )t 其频谱图如上图所示。解：x µ =1t00t0x(t ) dt=t0t0 0/ 2sin 2ðf 0 dt + t0 / 2t0( sin 2ðf 0 ) dt =1t0 cos 2ðf 0tt0 / 20+ cos 2ð f 0

15、tt0t0 / 2= 2 / ðø x2 = ( x rms ) 2 =1t00t0x 2 (t ) dt=1t0t0sin 2 2ðf 0t dt=12t00t0(1 cos 4ðf 0 t )dt=12t0(t0 14ðf 0sin 4ðf 0tt00)= 1 / 21110 三车资料库学习资源共享专家第二章习题（p68）=解：Ø 2 = rx (0) = lim( 60 ) sin(50ô ) = lim 3000( sin 50ô ) = 3000ô 0 ô 0-解：tr x

16、(ô ) = lim t x(t )x (t + ô )dttt 0tt 0= a 2 (12 a)e aô e 2 at0=a 2 aôe2a解：对于周期信号可用一个周期代替其整体，故有r x (ô ) =1 tt 0x(t )x(t + ô )dt1 tt 0式中， t是余弦函数的周期， t2ð /ù令ù t + öè代入上式，则得r x (ô )a 22ð02ðcos è cosèù ô dè12a

17、2 cos ù ô若 x(t)为正弦信号时， r x (ô )结果相同。12=limaeataea(t+ô)dt=a2lime2ateaôdta2cos(ùt+ö)cosù(t+ô)+ödt 三车资料库学习资源共享专家第三章习题（p90）解：ss1s2s3=80nc/mpa×0.005v/nc×25mm/v=10 mm/ mpap=x/s=30mm/10(mm/ mpa)=3 mpa解：ss1s2=404×10-4pc/pa×0.226mv/pc=9.13

18、×10-3mv/pas2=s/s1=10 × 106 mv/pa404 × 10- 4 pc/pa= 2.48×108mv/pc解: ô =2s, t=150s, ù =2/ta(ù ) =11 + (ùô )2=11+ ( 4ð / 150) 2= 0.9965300 0 .9965 ×100=200.35300 0.9965×100=399.65故温度变化范围在 200.35399.65.13 三车资料库学习资源共享专家解: ô =15s, t=30/5=6s,

19、 ù =2/ta(ù ) =11 + (ùô ) 2=11+ (15 × 2ð / 6) 2= 0.0635h 高度处的实际温度 t=t0-h*0.15/30而在 h 高度处温度计所记录的温度 ta( ù )ta( ù )（t0-h*0.15/30）由于在 3000m 高度温度计所记录的温度为1，所以有1= a( ù )（t 0-3000*0.15/30）求得t0=0.75当实际温度为 t1时，其真实高度可由下式求得：t=t0-h*0.15/30，h=(t0- t)/0.005=(-0.75+1)/0.0

20、05=50m解：(1)a(ù) = 1 a(ù ) = 1 11 + (ùô ) 2= 1 11 + (100 × 2ðô ) 2 10%则ô7.71×104 s(2)a(ù ) = 1 a(ù ) = 1 11 + (ùô ) 2= 1 11 + (50 × 2ð × 7.71×10 4 ) 2 2.81%(ù)= arctg ùô = -arctg（ 50 × 2ð 

21、15; 7.71×10 4 ）= 13.62°14 三车资料库学习资源共享专家解：ô 0.04 s，a(ù ) = 1 a(ù ) = 1 11 + (ùô ) 2= 1 11 + ( 2ðfô ) 2（1）当 f=0.5hz 时，a(ù ) = 1 a(ù ) = 1 11+ (ùô )2= 1 11 + ( 2ð × 0.5 × 0.04) 2= 0.78%（2）当 f=1hz 时，a(ù ) = 1 a(ù )

22、 = 1 11 + (ùô ) 2= 1 11 + ( 2ð × 1× 0.04) 2= 3.02%（3）当 f=2hz 时，a(ù ) = 1 a(ù ) = 1 11 + (ùô )2= 1 11 + ( 2ð × 2 × 0.04) 2= 10.65%解：ô 0.0025 sa(ù ) = 1 a(ù ) = 1 11 + (ùô ) 2= 1 11 + (0.0025ù ) 2 5%则ù131.5（

23、1/s）或fù/220.9 hz相位差：(ù)= arctg ùô = -arctg( 131.5× 0.0025 ) = 18.20°解：fn=800hz, î =0.14, f=400ù ù n = f / f n = 400 / 800 = 0.5a(ù) = h (ù ) =n2122=2212 2= 1.31 (ù ) = arctg2î ù ù n2= arctg2 × 0 . 14 × 0 . 52= 10 .5

24、7 151(ùù)+4î2(ùùn)10.5+4×0.14×(0.5)1(ùùn)10.5 三车资料库学习资源共享专家49解：第四章习题（p127）由s =cäc= 0 =ä 0åå 0 aä 02得c = å å0 a2ä = 1× 8.85 × 10 12 × ð × 4 2 × (±1× 10 6 ) / 0.3 2= ±4.94

25、× 10 15 ( f ) = ±4.94 × 10 3 ( pf )变化格数s1 s 2 c = 100 × 5 × ( ±4.94 ×10 3 ) = ±2.47(格)410解：qcau 0 =raq=cccqca + c crici由 su=u0/a , sq=q/a得：su/ sq =u0/q=161c a + cc 三车资料库学习资源共享专家第五章习题（p162）解： (1）半桥单臂u o =r 04r0ui =14såui当å2µå时，u 0 =14×

26、2 × 2 × 106 × 22µv当å2000µå时，u 0 =14× 2 × 2000 × 106 × 22mv（2）半桥双臂u o =r 02r0ui =12såui当å2µå时，u 0 =12× 2 × 2 × 106 × 24µv当å2000µå时，u 0 =12× 2 × 2000 × 106 × 24mvs =u

27、0r 0 / r 0=1u = 0.5(v ), s4 i=u 0r 0 / r 0=1u = 1(v )2 i半桥双臂是半桥单臂灵敏度的两倍。解：均不能提高灵敏度，因为半桥双臂灵敏度 s = u0 /(rr) =12u i ，与供桥电压成正比，与桥臂上应变片数无关。17 三车资料库学习资源共享专家解：由已知：å (t ) = a cos10t + b cos100t，u0 = e sin 10000t得全桥输出电压：u y =rru0 = såu0 = seå (t ) sin10000tse( a cos10t + b cos100t ) sin10000t根

28、据 x( t ) y ( t ) x ( f ) * y ( f )jsin 2ðf 0t ä ( f + f0 ) ä ( f f 0 )2j x ( f ) ä ( f + f 0 ) x ( f ) ä ( f f 0 )2得电桥输入和输出信号的傅里叶变换：å ( f ) =a2ä ( f + f 01 ) + ä ( f f 01 ) +b2ä ( f + f02 ) + ä ( f f 02 )=a2102ð) + ä ( f 102ð) +b2ä

29、; ( f +1002ð) + ä ( f 1002ð)u y ( f ) = se × ft å (t ) sin 10000t j=2式中f010000 / 2ð电桥输出信号的频谱，可以看成是 å (t)的频谱移动到±f 0处。电桥输入与输出信号的频谱图如下图所示。re()a/2b/21001010100sea/4imuy( )seb/4-00-1000-100+100+100-(0+100) -(0+10)-(0-10)-(0-100) 000=1000018seb/4sea/4x(t)sin2ðf

30、0tä(f+seå(f)ä(f+f0)å(f)ä(ff0) 三车资料库学习资源共享专家本量题也可用三角函数的积化和差公式来计算：由已知：å (t ) = a cos10t + b cos100t，u0 = e sin 10000t得全桥输出电压：u y =rru0 = såu 0 = seå (t) sin 10000tse( a cos10t + b cos100t) sin 10000t sea sin 10000t cos10t + seb sin 10000t cos100t=1212sebsin( 100

31、00 100)t + sin( 10000 + 100)t注：1 12 2coscos(á ± â )cos á cos â sin á sin â , á ± â )sin á cos â ± cosá sin â解：调幅波中所包含的各分量的频率及幅值大小：x a (t) = (100 + 30 cos 2ðf 1t + 20 cos 6ðf 1t ) cos 2ðf c t= 100 cos 2ðf c

32、t + 30 cos 2ðf 1 cos 2ðf ct + 20 cos 6ðf 1t cos 2ðf ct= 100 cos 2ðf ct + 15cos 2ð ( f c + f 1 )t + cos 2ð ( f c f 1 )t + 10cos 2ð ( f c + 3 f 1 )t + cos 2ð ( f c 3 f 1 )t 调制信号与调幅波的频谱分别如下图所示。rex(f)100101515101.50.500.51.5f (khz)reuy(f)505057.57.5557.57.55-

33、11.5-10.5-10-9.5-8.508.59.51010.511.5f (khz)19=seasin(1000010)t+sin(10000+10)t+sinácosâ=sin(áâ)+sin(á+â),ácosâ=cos(áâ)+cos(á+â)sin( 三车资料库学习资源共享专家解：1）各环节输出信号的时域波形图如下：x(t)xm(t)xm (t)x m(t)x'( t)0t0tt0t 0tx( t)电阻应变片电桥放大器载波振荡器相敏检波y( t)0低通滤波

34、t显示记录动态电阻应变仪方框图2）各环节输出信号的频谱图j2jx(t ) sin 2ðf 0t x ( f ) ä ( f + f0 ) x ( f ) ä ( f f 0 )2=j2 x ( f + f 0 ) x ( f f 0 )信号的解调： x(t ) sin 2ð f 0t sin 2ð f 0t = 1 x(t ) 1 x(t ) cos 4ð f 0t2 2x(t ) sin 2ðf 0t sin 2ðf 0t f x(t ) sin 2ðf 0t f sin 2ðf 0 t=j2

35、14j x ( f + f 0 ) x ( f f0 ) ä ( f + f 0 ) ä ( f f 0 )2 2 x ( f ) x ( f + 2 f 0 ) x ( f 2 f0 )20信号的调制：sin2ðf0tä(f+f0)ä(ff0) 三车资料库学习资源共享专家x ( t )调制器x m ( t )= x ( t ) sin2 ð f 0ty ( t )1/2y ( f )1/2 f00f 0fx ( f ) 1 fm0f mfx m (f )= x ( f ) y ( f )1/21/2调幅过程频谱图x m( t)调幅波

36、 f乘法器00f 0低通滤波fx ( t)1/2载波 y ( t)x m ( f)同步解调1/2 f1/2 f000y( f)0f 01/2f 0ff同步解调1/4x m ( f) y( f)1/21/4 2 f0 fm0f m2 f 0x (f)低通滤波1/22 f 0f c fm0f mf c2 f 021 三车资料库学习资源共享专家x ( t )调制器x m ( t )= x ( t ) sin2 ð f 0ty ( t )1/2imy ( f )f 0 f00x ( f ) 1-1/2f fm0f mfimx m ( f )1/2f 0调幅过程频谱图x m( t)调幅波 f乘法器00-1/2低通滤波fx ( t)1/2载波 y ( t)imx m ( f)同步解调 f00imy ( f)f 0-1/2f1/2f 0 f00-1/2f同步解调re x m ( f) y( f)-1/2 2 f02 f 0-1/4 fm0f m-1/422 三车资料库学习资源共享专家解：u y (t) =r4