因式分解的16种方法

1、因式分解16種方法因式分解沒有普遍方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式輪換對稱 多項式法，餘數定理法，求根公式法，換元法，長除法，除法等。注意三原則1分解要徹底 2最後結果只有小括弧3最後結果中多項式首項係數為正(例如：3x2 x x3x 1)分解因式技巧1分解因式與整式乘法是互為逆變形。2. 分解因式技巧掌握： 等式左邊必須是多項式；分解因式結果必須是以乘積形式表示；每個因式必須是整式，且每個因式次數都必須低於原來多項式次數；分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。注：分解因式

2、前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。 基本方法提公因式法各項都含有公共因式叫做這個多項式各項公因式。如果一個多項式各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積 形式，這種分解因式方法叫做提公因式法。具體方法：當各項係數都是整數時，公因式係數應取各項係數最大公約數；字母取各項 相同字母，而且各字母指數取次數最低取相同多項式，多項式次數取最低。如果多項式第一項是負，一般要提出“-”號，使括弧內第一項係數成為正數。提出“ ”號時，多項式各項都要變號。提公因式法基本步驟：(1) 找出公因式；(2) 提公因式並確定另一個因式： 第一步找公因式可按照確定公因

3、式方法先確定係數在確定字母； 第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得 商即是提公因式後剩下一個因式，也可用公因式分別除去原多項式每一項，求剩下另一個因式； 提完公因式後，另一因式項數與原多項式項數相同。口訣：找准公因式，一次要提淨；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2a2 + 變成2(a2+-)不叫提公因式24公式法如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。2平方差公式：a2 b

4、2 =(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a2 ±2ab+ b2 = a b注意：能運用完全平方公式分解因式多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)0平方和形式，另一項是這兩個數(或式)0積o 2倍。立方和公式：a3 b3=(a+b)( a2-ab+b2)；立方差公式： a3 b3 =(a-b)( a2+ab+ b2 )； 完全立方公式： a3±3a2b3ab2±b3 =(a±b)2公式： a3+ b3 + c 3 -3abc=(a+b+c) ( a2+b2+ c2 -ab-bc-ca)例如： a2 +4ab+4 b 2 =(a+2b) 2。

5、分組分解法 分組分解是解方程0一種簡潔0方法，我們來學習這個知識。 能分組分解0方程有四項或大於四項，一般0分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。 同樣，這道題也可以這樣做。ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)幾道例題：1. 5ax+5bx+3ay+3by解法： =5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b)說明：係數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看

6、成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕鬆解出。2. x3 -x2+x-1解法： =( x3-x2)+(x-1) =x2 (x-1)+ (x-1) =(x-1)( x2+1) 利用二二分法，提公因式法提出x2,然後相合輕鬆解決。3. x2-x-y 2 -y解法： =(x2-y2 )-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然後相合解決。十字相乘法 這種方法有兩種情況。 x2+(p+q)x+pq型o式子o因式分解這類二次三項式0特點是：二次項0係數是1；常數項是兩個數0積；一次項係數是常數項

7、0兩個 因 數0 和 。 因 此， 可 以直 接 將某 些二 次 項0 係 數是 1 0 二次 三 項式 因 式 分 解 ：2x2 +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) k x2+mx+n型o式子o因式分解如果有 k=ac，n=bd，且有 ad+bc=m時，那麼 kx2 +mx+n=(ax+b)(cx+d).圖示如下：a d 例如：因為 1 -3xxc d7 2-x 7=-21，1x 2=2，且 2-21=-19,所以 7x2-19x-6=(7x+2)(x-3).十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中 裂項法這種方法指把多項式0某一項拆開或填補上互為相反數0兩項(或幾項) ，使原式

8、適合於提公因 式法、運用公式法或分組分解法進行分解。這鐘方法實質是分組分解法。要注意，必須在與原多 項式相等原則下進行變形。例如： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)配方法對於某些不能利用公式法多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式， 就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法一種特殊情況。也要注意必須在與原 多項式相等原則下進行變形。例如： x 2 +

9、3x-40 = x 2 +3x+2.25-42.25= x 1.5 2 6.5 2=(x+8)(x-5)應用因式定理對於多項式f(x)=o，如果f(a)=o，那麼f(x)必含有因式x-a.例如：f(x)= x2 +5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x2 +5x+6一個因式。(事實上，2x2+5x+6=(x+2)(x+3). )注意：1對於係數全部是整數多項式，若x=q/p (p,q為互質整數時)該多項式值為零，則q為常數項約數， p 最高次項係數約數；2、對於多項式f(a)=o,b為最高次項係數，c為常數項，則有a為c/b約數換元法有時在分解因式時，可以選擇多項式中相同部分換成另一個未

10、知數，然後進行因式分解， 最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。注意:換元後勿忘還元 .例如在分解(x2+x+1)( x2+x+2)-12時，可以令y=x2+x,則原式 =(y+1)(y+2)-12 =y 2 +3y+2-12=y 2 +3y-1o =(y+5)(y-2)=( x2+x+5)( x2 +x-2)=( x2+x+5)(x+2)(x-1).求根法令多項式f(x)=o,求出其根為x1，x，x3，xn，則該多項式可分解為 f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3) (x-xn).例如在分解 2xa4+7xa3-2xa2-13x+6 時，令 2xa4 +7xa3-2x2-13x+6=0

11、，則通過綜合除法可知，該方程根為 0.5, -3, -2, 1.所以 2xa4+7xa3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).圖象法令y=f(x)，做出函數y=f(x)圖象，找到函數圖像與x軸交點x1 ,x2 ,x3 ,xn，則多項式可因式分解為 f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3) (x-xn).與方法相比，能避開解方程繁瑣，但是不夠準確。例如在分解 xa3 +2x2-5x-6 時，可以令 y=xa3; +2x2 -5x-6.作出其圖像，與x軸交點為-3，-1, 2則 xa3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)(11) 主元法先

12、選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。(12) 特殊值法將2或10代入x,求出數p,將數p分解質因數，將質因數適當組合，並將組合後每一個因 數寫成2或10和與差形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。例如在分解xa3+9x2+23x+15時，令x=2，則xa3 +9 x2 +23x+15=8+36+46+15=105將105分解成3個質因數積，即105=3x 5x 7 .注意到多項式中最高項係數為1,而3、5、7分別為x+1, x+3，x+5,在x=2時值，則xa3+9x2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後確如此。(13) 待定係

13、數法首先判斷出分解因式形式，然後設出相應整式字母係數，求出字母係數，從而把多項式因式 分解。例如在分解xa4-xa3-5 x2 -6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個 二次因式。於是設 xa4-xa3-5 x2-6x-4=(x2+ax+b)( x2+cx+d)2=xa4+(a+c)xa3+(ac+b+d) x2+(ad+bc)x+bd由此可得 a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4解得 a=1， b=1， c=-2， d=-4則 xa4-xa3-5x 2 -6x-4=(x 2 +x+1)(x 2 -2x-4)辿)雙十字相乘法雙十字相乘法屬於

14、因式分解一類，類似於十字相乘法。雙十字相乘法就是二元二次六項式，啟始式子如下：ax2 +bxy+cy 2+dx+ey+fx、 y 為未知數，其餘都是常數用一道例題來說明如何使用。例：分解因式： x2 +5xy+6y2+8x+18y+12分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。解：原式 =(x+2y+2)(x+3y+6) 雙十字相乘法其步驟為：先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖中x2 +5xy+6y2 =(x+2y)(x+3y); 先依一個字母(如y )一次係數分數常數項。如十字相乘圖中 6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)； 再按另一個字母(如x)o一次係數

15、進行檢驗，如十字相乘圖，這一步不能省，否則容易出 錯。多項式因式分解一般步驟 如果多項式各項有公因式，那麼先提公因式； 如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解； 如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解； 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。也可以用一句話來概括： “先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適。幾道例題1.分解因式 (1+y) 2-2x2 (1+y2 )+x4 (1-y) 2.解：原式=(1+y) 2+2(1+y)x 2 (1-y)+x4 (1-y) 2-2(1+y)x2 (1-y)-2x2 (1+y

16、2)(補項)=(1+y)+x 2 (1-y) 2-2(1+y)x2 (1-y)-2x2 (1+y2)(完全平方)=(1+y)+x 2 (1-y) 2 -(2x) 2=(1+y)+x 2 (1-y)+2x(1+y)+x 2 (1-y)-2x=(x2-x2y+2x+y+1)(x 2-x2y-2x+y+1)=(x+1) 2-y(x2-1)(x-1) 2-y(x2-1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) .2.求證：對於任何實數x,y，下式值都不會為33：543 22 345x 3x y 5x y 15x y 4xy 12y解：原式 =(xa5+3xa4y)-(5xa3y

17、2 +15xa2ya3)+(4xya4+12ya5)22=xa4(x+3y)-5x y (x+3y)+4ya4(x+3y)22=(x+3y)(xa4-5x 2 y 2 +4ya4)2 2 2 2=(x+3y)(x 2-4y2)(x2-y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) .當 y=0 時，原式 =xa5 不等於 33；當 y 不等於 0 時， x+3y， x+y， x-y， x+2y， x-2y 互不相同，而33不能分成四個以上不同因數積，所以原命題成立。3.a abc三邊a、b、c有如下關係式：-c2+a2+2ab-2bc=0,求證：這個三角形是等腰三角 形。分析

18、：此題實質上是對關係式等號左邊多項式進行因式分解。證明：t -c2 +a2 +2ab-2bc=0, (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0 (a-c)(a+2b+c)=0.a、b、c是厶abc三條邊, a+ 2b+ c> 0.-a c= 0,即a= c,a abc為等腰三角形。4. 把-12xa2nx y5+18xa(n+2)y(n+1)-6x5 x ya(n-1)分解因式。解：-12xa2nx yan+18xa(n+2)ya(n+1)-6xan x ya(n-1) =-6xanxya(n-1)(2xanxy-3xa2ya2+1).四個注意初中數學主要是分代數和幾何兩大部分，兩者在中考中所占比例，代數略大於幾何 代數主要有以下幾點 ：1. 有理數運算，主要講有理數三級運算(加減乘除和乘方開方)在這裏要注意數字和字母符 號意識，就是，不要受小學數字影響，一看見字母就不會做題了。2. 整式三級運算，注意符號意識培養，還有就是因式分解，這和整式乘法是互換，注意像 平方差公式和完全平方公式正用、逆用和變形用。3. 方程，會一元一次、二元一次、三元一次、一元二次四種方程解法和應用，記住，方程是一種 方法，是一種解題手段。4. 函數，會識別一次函數、二次函數、反比例函數圖像，記住他們特徵，要會根據條件來應 用。尤其要注意二次函數，這是中考重點和難點。應用題裏會拿它來出一道難題