小学四年级奥数教程——PPT课件

1、 在小学数学的解决问题部分，行程问题是其中的一大主要学习内容，而且在各种数学竞赛中都离不开这类问题。它内容丰富，形式多样，变化多端，贴近生活，同学们学起来饶有兴趣，是数学学习中的一大快餐。 行程问题所涉及的基本数量关系式是： 速度时间= =路程，路程时间= =速度，路程速度= =时间 相遇问题和追及问题是行程问题中的两种主要类型。这一讲我们先来学习相遇问题。 相遇问题有两种情况：相向相遇和反向相离。一般情况，相向相遇的形式多一些，作为主要学习内容。它的特点是：两个运动着的物体从两地出发，相向运动，越行越接近，到一定时候二者可以相遇，两个运动物体同时起行，相遇时所用时间相同。第1页/共20页例1

2、 1：小秋和小冬分别住在一条街东西两头，两家相距810810米。两人同时从家中出发相向而行，小秋每分钟走4040米，小冬每分钟走5050米。问： 他们经过多长时是相遇？ 5 5分钟时，他们还相距多少米？ 1515分钟时他们相距多少米小秋家小冬家每分40米每分50米相遇处810米分析：如图，小秋和小冬家相距810810米，称为总路程。小秋每分走4040米，小冬每分走5050米，可知小秋和小冬同时走1 1分钟共行路程是40+50=9040+50=90（米），我们把它称为速度和。810810米里有几个9090米就是走了几分钟。解：810810（40+5040+50）=810 =810 90=990=

3、9（分） 这个时间既是小秋到相遇处时用的时间，也是小冬到相遇处时用的时间，我们称它为相遇时间。第2页/共20页例1 1：小秋和小冬分别住在一条街东西两头，两家相距810810米。两人同时从家中出发相向而行，小秋每分钟走4040米，小冬每分钟走5050米。问： 他们经过多长时是相遇？ 5 5分钟时，他们还相距多少米？ 1515分钟时他们相距多少米小秋家小冬家每分40米每分50米相遇处810米分析：根据题意，小秋和小冬每分钟共行40+50=9040+50=90（米），5 5分钟可以行90905=4505=450（米），用总路程减去两人行了的路程就是还没有行的路程，也就是他们还相距多少米。解：810

4、-810-（40+5040+50）5=81090 5=81090 5 =810-450=3605 =810-450=360（米）第3页/共20页例1 1：小秋和小冬分别住在一条街东西两头，两家相距810810米。两人同时从家中出发相向而行，小秋每分钟走4040米，小冬每分钟走5050米。问： 他们经过多长时是相遇？ 5 5分钟时，他们还相距多少米？ 1515分钟时他们相距多少米小秋家小冬家每分40米每分50米相遇处810米分析：根据题意，1515分钟时他们相距多少米，就是他们相向走了9 9分钟相遇，这时他们相距为0 0，然后相背（反向）而行，又走了15-9=615-9=6（分），这时两人反向相

5、离的路程。解：（40+5040+50）（15-915-9）=90=906=5406=540（米）第4页/共20页 根据以上例子，我们可以总结出相遇问题中数量之间的基本关系式是： 速度和相遇时间= =总路程 总路程速度和= =相遇时间 总路程相遇时间= =速度和 总路程相遇时间- -一个速度= =另一个速度 解相遇问题时，我们必须熟练掌握有关的数量关系式，此外，应借助于线段图来直观地分析和理解题意，以突破题意的难点。第5页/共20页例2 2：甲、乙两人骑自行车同时从A A、B B两地出发，相向而行，甲每分钟行200200米，乙每分钟行220220米，1515分钟后两人相遇，求A A、B B两地的

6、距离。分析：此题根据数量关系就能直接求出，求A A、B B两地的距离就用速度和相遇时间= =总路程。解：（200+220200+220） 15=420 15=420 15=630015=6300（米）第6页/共20页例3 3：一辆客车和一辆货车同时从630630千米的两地相向而行，客车的速度是每小时5050千米，货车的速度是每小时5555千米，问几小时后两车相距105105千米？分析：两车在相距630630千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距105105千米，这时两车共行的路程是630-105=525630-105=525（千米），然后根据总路程速度和= =相遇时间，便可

7、求出所用的时间。 另外，还有一种情况，当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离会从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距105105千米。这时两车共行的路程为630+105=735630+105=735（千米），同样，利用总路程速度和= =相遇时间，便可求出所用的时间。解：第一种，两车相遇前的情况。（630-105630-105） （50+ 5550+ 55）=525 =525 105=5105=5（小时） 第二种，两车相遇后的情况。（630+105630+105） （50+ 5550+ 55）=735 =735 105=7105=7（小时）第7页/共20页例4 4：慢车从甲地开往乙地，开出1

8、1小时后，离甲地4040千米，这时，快车从乙地开往甲地，快车开出3 3小时后两车相遇。已知甲、乙两地相距340340千米，求快车的速度。分析：如图，慢车开出1 1小时后，离甲地4040千米，说明慢车的速度为每小时4040千米。也说明慢车比快车先出发1 1小时，行了4040千米后，快车才出发。那么快车用了3 3小时与慢车相遇，这个3 3小时是两车共同用的时间。共同行的路程为340-40=300340-40=300（千米），然后用共同路程相遇时间- -一个速度= =另一个速度，从而求出快车的速度。解法一：（340-40340-40）3-40=3003-40=3003-40=100-40=603-4

9、0=100-40=60（千米）解法二：340-40340-40（3+13+1） 3=340-40 3=340-40 4 4 3 3 = 340-160 = 340-160 3=180 3=180 3=603=60（千米）慢车快车每时40千米每时？千米相遇处340千米 甲地乙地3小时3小时第8页/共20页例5 5：甲、乙两列火车从相距770770千米的两地相向而行，甲车每小时行4141千米，乙车每小时行4545千米，甲车先出发2 2小时后，乙车才出发。乙车行几小时后与甲车相遇？分析：如图，甲车先出发2 2小时，所行的路程是41412=822=82（千米），这时乙车才出发，那么甲、乙同时相向而行的

10、路程是770-82=688770-82=688（千米），然后用共同路程速度和= =相遇时间，便可求出快车的时间。解：（770-41 770-41 2）（41+4541+45） = =（770-82770-82）86 86 =688 =688 86 86 =8 =8（小时）每时41千米每时45千米相遇处770千米 甲车乙车2小时？小时？小时第9页/共20页例6 6：甲、乙两城之间的公路长840840千米，两辆汽车同时从甲城开往乙城，每一辆汽车每小时行2828千米，第二辆汽车每小时行4242千米，第二辆汽车到达乙城后立即返回，两辆汽车从开出到相遇共用了几小时？分析一：从图可知，两辆车开始时是同向行

11、走，第二辆车开得快，当第二辆车从甲到乙后，所用的时间是84084042=2042=20（小时），当第二辆车从乙城返回时，与第一辆车的运动方向变成了同时相对而行，只要求出第二辆车返回时与第一辆车相遇用的时间，然后与2020相加，便可得出所求问题。解：第二辆车到达乙城所用的时间：84084042=2042=20（小时） 第一辆车用2020小时所行的路程是：282820=56020=560（千米） 第一辆车和第二辆车相对而行的路程是：840-560=280840-560=280（千米） 第一辆车和第二辆车相对而行的时间是280280（42+2842+28）=4=4（小时） 从出发点到相遇时用的时间是

12、：20+4=2420+4=24（小时）每一辆车840千米 甲乙第二辆车相遇处第10页/共20页例6 6：甲、乙两城之间的公路长840840千米，两辆汽车同时从甲城开往乙城，每一辆汽车每小时行2828千米，第二辆汽车每小时行4242千米，第二辆汽车到达乙城后立即返回，两辆汽车从开出到相遇共用了几小时？分析二：我们用转化的思想，让第二辆车由与第一辆车同向而行变成从另一城丙出发，与第一辆车相向而行，那么两车从开出到相遇所行的路程，正好是两城间公路长的2 2倍，因此，两车从开出到相遇所用的时间相当于两车从相距8408402=16802=1680（千米）的两地同时出发，相向而行，直到相遇所用的时间。如图

13、解：第一辆车和第二辆车共行的路程是：8408402=16802=1680（千米） 两辆车从出发到相遇所用的时间：16801680（42+2842+28） =1680=16807070 =24 =24（小时） 每一辆车相遇处840千米 甲乙第二辆车840千米 丙第11页/共20页例7 7：小陈和小王两人同时分别从两地骑车相向而行。小陈每分钟行320320米，小王每分钟行310310米，两人相遇距全程中点5050米。求全程长多少米？分析：从图上可以看出，两人相遇的地点距离中点5050米，也就是小陈走了全程的一半后又走了5050米，小王走了全程的一半减5050米的地方，小陈比小王多走了50+50=1

14、0050+50=100（米）。已知小陈每分钟行320320米，小王每分钟行310310米，小陈每分钟比小王多行320-310=10320-310=10（米）。多少分钟小陈比小王多行100100米？用10010010=1010=10（分），这就是相遇 的时间，再速度和相遇时间= =总路程。解：相遇时小陈比小王多行的路程是： 50+50=10050+50=100（米） 相遇时间：100100（320-310320-310）=10=10（分钟） 全程：（320+310320+310）10=630010=6300（米） 相遇处小陈50米 小王中点第12页/共20页例8 8：甲、乙两个工程队合修一条长2

15、9002900米长的水渠，甲队每天修8080米，乙队每天修6565米，两队人各从一端同时相向施工，相遇时，甲队超过中点多少米？分析一：这道题与例7 7的运动方向是相同的，只是把条件和问题换了换。可以用以下思路来解决问题。要求甲队超过中点多少米，只要求出甲队修的米数，再减去小渠的一半便可得出。要求甲队修的米数，必须知道甲队的速度和甲队用的时间，速度已知是每天修8080米，时间就是两队相遇的时间，用总路程除以速度和便可以求出。解：相遇时间： 29002900（80+6580+65）=2900=2900145=20145=20（天） 甲队修的米数：8080 20=1600 20=1600（米） 甲队

16、超过中点的米数：1600-29001600-29002=1600-1450=1502=1600-1450=150（米）第13页/共20页例8 8：甲、乙两个工程队合修一条长29002900米长的水渠，甲队每天修8080米，乙队每天修6565米，两队人各从一端同时相向施工，相遇时，甲队超过中点多少米？分析二：甲队超过中点的米数，也是乙队距中点的米数。用甲队修的米数减去乙队修的米数再除以2 2，就求出甲队超过中点的米数。所以用第一种思路先求出相遇时间，再分别求出甲队和乙队修的米数。解：相遇时间： 29002900（80+6580+65）=2900=2900145=20145=20（天） 甲队修的米

17、数：8080 20=1600 20=1600（米） 乙队修的米数：6565 20=1300 20=1300（米） 甲队超过中点的米数：（1600-13001600-1300）2=3002=3002=1502=150（米）第14页/共20页例9 9：甲、乙两车站相距82508250米，A A公交车速度为每分钟280280米，B B公交车速度为每分钟270270米，A A、B B两车分别从甲、乙两站相向开出，两车到站后都要停留5 5分钟，然后返回，它们第一次相遇后要经过多少时间第二次相遇？分析：从图中可以看出，A A、B B两车从出发到第一次相遇经过的总路程是甲、乙两站的长82508250米。A

18、A、B B两车从出发到第二次相遇经过的总路程是甲、乙两站82508250米的3 3倍，也就是第一次相遇到第二次相遇时，两车经过的总路程是82508250米的2 2倍。又已知两车的速度，可求得两车行这两个全程共用的时间，最后加上停站时间，就求出了最后结果。解：从第一次相遇到第二次相遇经过的总路程： 850085002=165002=16500（米） 从第一次相遇到第二次相遇所用的时间： 1650016500（280+270280+270）=30=30（分钟） 30+5=3530+5=35（分钟） 第一次相遇甲8250米 乙A A车B B车停留5 5分钟停留5 5分钟第二次相遇第15页/共20页例

19、1010：小春、小夏两人同时从A A、B B两地出发相向而行，两人在离A A地5050米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续前行，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距B B地2525米处第二次相遇。问A A、B B两地相距多少米？分析：从图上看，小春和小夏运行的情况与例9 9题两辆汽车运行的情况相似，只是小春、小夏到对方出发点时没有停，返回即走，那么我们可以用例9 9思路来想：小春、小夏第一次相遇时，合行的路程是A A、B B之间的距离，此时，小春行了5050米。从图中可以看出，他们到第二次相遇时共行了A A、B B之间的距离的3 3倍，也就是小春和小夏各行了从出发到第一次相

20、遇时自己所行路程的3 3倍，即小春共行了3 3个5050米。用小春共行的路减去他返回时又行的2525米，就得到A A、B B两地间的距离。解： 50503-25=150-25=1253-25=150-25=125（米） 第一次相遇AB小春小夏5050米第二次相遇2525米第16页/共20页例1111：甲、乙、丙3 3人做走路游戏。甲每分钟走4040米，乙每分钟走5050米，丙每分钟走6060米。甲、乙两人从A A地、丙从B B地，3 3人同时相向出发，丙先遇见乙，再经过2 2分钟遇到甲、问A A、B B两地相距多远？分析：从图上看出，乙、丙相遇时，甲、乙相差的路程正好是丙再行2 2分钟与甲相遇时，甲、丙2 2分钟共走的路程。这个路程可以求出：（40+6040+60）2=2002=200（米）。即乙比甲多行了200200米。而乙每分钟比甲每分钟快50-40=1050-40=10（米），那么200200米里有几个1010米就是在几分钟内行出来的，用20020010=2010=20（分），这个时间是乙与丙相遇时，甲、乙、丙各用的时间，也可以看成是乙、丙相遇的时间，用乙、丙速度和相遇时间= =总路程，便可求出A A、B B两地相距多远。解： 乙、丙相遇时，甲、乙的路程差：（40+60