含绝对值不等式的解法

1、1复习绝对值的意义：复习绝对值的意义：|x|=x0 xx=00x0- x 一个数的绝对值表示：一个数的绝对值表示：与这个数对应的点到与这个数对应的点到原点的距离原点的距离,|x|0ax1xobx2|x1|x2|=|oa|=|ob|代数的意义代数的意义几何意义几何意义2类比：类比：|x|3 的解的解|x|0的解的解|x|-2的解的解|x| 的解的解 15归纳：|x|0) |x|a (a0) -axa 或或 x-a-aa-aa3如果把如果把|x|2中的中的x换成换成“x-1”,也就是也就是| x-1 | 2中的中的x换成换成“3x-1”,也就也就是是| 3x-1 | 2如何解？如何解？4题型一题型

2、一:研究研究|ax+b|)c型不等式型不等式 在这里，我们只要把在这里，我们只要把ax+b看作是整体可以了，看作是整体可以了，此时可以得到：此时可以得到：|(0)ax bccax bcax bcax bcax bcc 或 5x257 . 例例1 1 解解不不等等式式x xx61. ，或或解解：由由原原不不等等式式可可得得xx257257 . ，或或整整理理，得得xx61. ，或或所所以以，原原不不等等式式的的解解集集是是xx257257 . ，或或6例2:解不等式.(1) |x5|1.解:(1)由原不等式可得8x58,3x13原不等式的解集为x|3x13.(2)由原不等式可得2x + 31,x

3、1原不等式的解集为x | x1.7 解题反思：解题反思：2、归纳型如、归纳型如(a0) | f(x)|a 不等式的解法。不等式的解法。1、采用了整体换元。、采用了整体换元。| f(x)|a-af(x)af(x)a8例例3、解不等式解不等式 11102634633534134113xxxxxx 或或 原不等式的解集为：原不等式的解集为：52133xxx 或10|- 39例例3、解不等式解不等式 13x+46解法二：解法二：依绝对值的意义，原不等式等价于：依绝对值的意义，原不等式等价于：-63x+4-1 或或 13x+4 6原不等式的解集为：原不等式的解集为：52133xxx 或10|- 3521

4、33xx 解得：或，10- 3比较此题的两种解法，解法二比较简单，解法二比较此题的两种解法，解法二比较简单，解法二去掉绝对值符号去掉绝对值符号的依据是的依据是：(0)axbaxbaxbaxbbxa a 或或-| | 10 解不等式解不等式 | 5x-6 | 6 x变式例题变式例题：型如型如 | f(x)|a的不等式中的不等式中 “a”用代数式替换，如何解？用代数式替换，如何解？|x|=xx|b|依据：依据：a2b211解：对绝对值里面的代数式符号讨论：解：对绝对值里面的代数式符号讨论：5x-6 0 5x-66-x() 或或 () 5x-60-（5x-6）6-x解解()得：得：6/5x2解解()

5、 得：得：0 x6/5取它们的并集得：（取它们的并集得：（0，2） 解不等式解不等式 | 5x-6 | 6 x()当当5x-60,即即x6/5时，不等式化为时，不等式化为5x-66-x，解得，解得x2, 所以所以6/5x2()当当5x-60,即即x6/5时，不等式化为时，不等式化为 -(5x-6)0 所以所以0 x6/5综合综合()、 ()取并集得（取并集得（0，2）解：解：12 解不等式解不等式 | 5x-6 | 0时时,转化为转化为-(6-x)5x-60-(6-x)5x-6(6-x)综合得综合得0 x2()或或 () 6-x0无解无解解解()得：得：0 x 2( x-3) 4 4、2xx2

6、xx 5、| 2x+1 | | x+2 |1、|2x-3|416解：因为解：因为 |x-1| |x-3| 所以所以 两边平方可以等价转化为两边平方可以等价转化为 （x-1)2(x-3)2 化简整理：化简整理：x2平方法：注意两边都为非负数平方法：注意两边都为非负数|a|b|依据：依据：a2b2解不等式：31xx17xaxbcxaxbc题型三：和型不等式的解法18 125xx例5解不等式 ，xxxx，xxxxxx，x：23 , 2 , 2, 5)2()1( ,1 , 53, 5)2()1( ,123, , 3, 5)2()1( , 22的解集为的解集为综上所述可知原不等式综上所述可知原不等式此时

7、不等式的解集为此时不等式的解集为解得解得原不等式可以化为原不等式可以化为时时当当此时不等式的解集为此时不等式的解集为矛盾矛盾即即原不等式可以化为原不等式可以化为时时当当此时不等式的解集为此时不等式的解集为解得解得原不等式可以化为原不等式可以化为时时当当解法解法 19 125xx例5解不等式，。a，ba；ba，ba，bbab，bb，；baaa，aa。，a，a，b，：2355511231221111111111式的解集是故原不等的距离之和都大于的任何点到点的右边的左边或点点的距离之和都小于之间的任何点到点与从数轴上可以看到点这时也有右移动一个单位到点向将点同理这时有到点个单位向左移动将点数都不是原

8、不等式的解上的因此区间两点的距离是那么对应的点分别是设数轴上与解法x12-2-3aba1b120 125xx例5解不等式 , 23,1 x, 4-2x1x2- 2,-2 x, 6252105213解集为由图象可知原不等式的作出函数图象即构造函数将原不等式转化为解法，xy，xxyxx：yxo-32-221型型不不等等式式的的解解法法和和）（cbxaxcbxax 2利用绝对值不等式的几何意义利用绝对值不等式的几何意义零点分区间法零点分区间法构造函数法构造函数法234xx同步训练：解不等式22三、例题讲解三、例题讲解 例2 解不等式|x +1| + |3x| 2 + x.解：-13(2)13,10,

9、30,xxx当时(1)(3)2,2.xxxx原不等式变形为即, | 13 |2 | 12;xxx xxx 此时 得(1)1,1;x xx 当时 原不等式|的解为(3)3,10,30,xxx 当时(1)(3)2,4.xxxx原不等式变形为即, |3 |4|;4x xx xx x此时 得 |2.,4x xx则原不等式的解或集为,) 3()2() 1 (的结果取并集将、2423例3 解不等式| x 1 | + | 2x4 |3 + x 解:(1)当x1时原不等式化为: 1x + 4 2x 3 + x12x(2)当1x 2时,原不等式化为: 14230 xxxx 又 1x 2，此时原不等式的解集为(3

10、)当x2时,原不等式化为44123xxxx 综上所述，原不等式的解集为.421|xxx或121241/224四、练习四、练习3. 解不等式|x3|x1|1解：使两个绝对值分别为零的解：使两个绝对值分别为零的x的值依次为的值依次为 x3、x1，将其在数轴上标出，将实数分为三个区间依次考虑，原不将其在数轴上标出，将实数分为三个区间依次考虑，原不等式可以转化为下列不等式组等式可以转化为下列不等式组.-13三种方法25 (1)(0)fxa afxafxa 或或 (2)(0)fxa aafxa (3)( )( )( )f xg xf xg xf xg x 或或 (4)( )( )( )fxg xg xfxg x 归纳：归纳： (5) fxg x 22fxg x 26五、小结五、小结（1）解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对值的符号，其基本思想是把含绝对值的不等式转为不含绝对值的不等式。（2）零点分段法解含有多个绝对值的不等式。x1x2271不等式不等式1|x+1