2021-2022中考专题5——几何模型5隐圆问题

1、 2021-2022中考专题5几何模型5隐圆问题知识点储备： 构造出隐圆出来，可以运用与圆有关的几何性质去解题。1、点圆距离。 点P是圆O外一点，连接PO交圆与点A,点B，则PA是点P到圆上的最短距离，PB为点P到圆上的最长距离。证明：在POB利用到三边关系：即PO+OBPB，OB=OB PO+OB=PBPB.在POA利用到三边关系:即PA+OA OA+PA,OA=OA,PAPA. 点P是圆O内一点，连接PO交圆与点A,点B，则PA是点P到圆上的最短距离，PB为点P到圆上的最长距离。证明：同上;2、直径最长。 在圆中所有的弦中，直径最长。AB为直径，最长的弦。3、点弦距离。 点P是弧AB上一动

2、点，过圆心作弦AB的垂线交于点E,交圆O于点C,点D,若点P在劣弧AB上，当点P与点C重合，则点P到AB的最大距离为CE,若点P在优弧AB上，当点P与点D重合,则点P到AB的最大距离为DE,（此时点C为劣弧AB的中点，点D为优弧AB的中点） 证明：可以过点P作AB的平行线L，L与AB的距离就是点P到AB的距离，当L与圆O只有一个交点时，即相切时，L与AB的距离最大，此时点P与点C重合，或点P与点D重合。由上述结论可知：点P在圆上运动，线段AB长度固定，当PAB,为等腰三角形时，PAB的面积取最大（也要分在优弧和劣弧两种情况。）证明：因为 PAB底AB不变，此时AB边上的高最大，得面积也是最大的

3、。拓展：此时得到的PAB的周长也是最大的。（也要分在优弧和劣弧两种情况。）证明：1、当点P在劣弧AB上时，如图所示：AB为定值，求PAB的周长最大，即求PA+PB最大。延长AP,使得PC=PB, 连接CB并延长，交圆O于点D，连接AD，过点D作AC的 垂线交于点E。则四边形APBD为圆的内接四边形，PC=PB APB为定角CPBC ADE为定角即sinADE为定值DAPPBC(内对角相等) 当AD为直径时，AP+BP值最大。CDAP 即PAB的周长最大 DA=DC AD为直径AC=2AE ABD90°AE=AD·sinADE 即ABC90°AC=2AD·

4、sinADE BAP+C=90°APB+PBC=90°AP+BP=AC BAP=APBAP+BP=2AD·sinADE AP=BP 即点P为劣弧AB的 证明：2、当点P在优弧AB上时，如图所示：证明过程同上。 4、点直线距离。 点P是圆O上一点，过点O作直线L的垂线交直线L于点D，交圆O于点A,点B,则点P到直线L的最小距离为BD,最大距离为AD. 证明：可以过点P作直线L的平行线L，L与L的距离就是点P到L的距离，当L与圆O只有一个交点时，即相切时，当点P与点A重合，L与L的距离最大，当点P与点B重合。L与L的距离最小。模型一：定点到动点定长点A为定点，点B为动

5、点，AB为定长，则点B的轨迹为圆心为点A，半径为AB的圆。如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF，连接BD，则BD的小值是_ 解题思路：抓住谁是定点，谁是动点，是否存在定长。如图所示:点E是定点，点B是动点，由折叠的性质可知， EB为定值。所以点B的轨迹为以点E为圆心， EB为半径的圆上运动。当点D、B、E三点共线的时候BD的值最小。（参照知识点储备1解题） 证明：参照知识点储备1，点圆距离。变式：在RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将CEF沿

6、直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_ 解题思路：同上题，不难看出点P的运动轨迹为以点F为圆心，PF为半径的圆上运动，求点P到AB的距离最小，可过点F作AB的垂线于点M，交圆 F于点P,此时，最小值为PM。根据AMPACB可以先求出PM的值， 再根据PM=FM-FP，可算出最小值。 证明：参照知识点储备4，点直线距离。模型二：定角对定长 1、90°所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变） 已知AB为定线段，（长度和位置不变），C为动点，且ACB=90°，由直径所对的角是直角，我们可以推出动点C的轨迹为：以AB为直径的圆上的任意一点。2、30

7、76;所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变） 已知AB为定线段，（长度和位置不变），C为动点，且ACB=30°，由30°的圆周角所对的圆心角AOB=60°，可以确定圆心O的位置,由AB的长度，可以确定半径的大小，所以点C的轨迹为：以O为圆心，半径为A0的圆上。且只能在优弧AB上运动。3、45°所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变） 已知AB为定线段，（长度和位置不变），C为动点，且ACB=45°，由45°的圆周角所对的圆心角AOB=90°，可以确定圆心O的位置,由AB的长度，可以确定半径的大小，所以点C的轨迹

8、为：以O为圆心，半径为A0的圆上。且只能在优弧AB上运动。4、60°所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变） 已知AB为定线段，（长度和位置不变），C为动点，且ACB=60°，由60°的圆周角所对的圆心角AOB=120°，可以确定圆心O的位置,由AB的长度，可以确定半径的大小，所以点C的轨迹为：以O为圆心，半径为A0的圆上。且只能在优弧AB上运动。5、120°所对的弦：（定角的顶点在动，定长线段位置不变） 已知AB为定线段，（长度和位置不变），C为动点，且ACB=120°，可以先作出C=60°，得C所对的圆心角AOB=

9、120°，可得圆心O的位置和半径的大小，所以点C的轨迹为：以O为圆心，半径为A0的圆上。且只能在劣弧AB上运动。6、前面5种，都是定角的顶点在动，定长线段位置不变。还有一种就是定角的顶点不动，定长线段位置在变化。 已知ACB=30°且点C固定，AB为定线段，但位置在变化，这种情况下说明ABC的外接圆在变化，也就圆心不确定，但是，可以确定ABC的外接圆的半径还是不变的。我们可以得到以下结论：过点O作AB的垂线，交AB于点E,此时OE=AB,OC=AB,当点C、O、B三点共线时，可得CE取最大值为AB+AB。也可以理解为点C到AB的最大值为:AB+AB题型识别：有一条长度固定的

10、线段，这条线段所对的张角固定不变。总结：定角对定长，关键在于确定圆心的位置和半径的大小。确定圆心-圆心在定长线段的垂直平分线上，再根据圆周角与圆心角之间的关系，求出此定角所对的圆心角的大小，即可确定圆心的位置。计算半径-根据垂径定理及锐角三角函数可求半径的大小。如图，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段CP长的最小值为 解题思路：由PAB=PBC和ABC=90°，可得P=90° AB=6，为定长且位置不变，定角P的顶点是动点，由定角对定长，可得动点P的轨迹为：以AB为直径的圆上，圆心为AB的中点。 取AB得中点O

11、，连接OC，交圆O为点P，此时CP取最小值为OC-OP=2. 证明：参照知识点储备1，点圆距离。如图，在边长为6的等边ABC中，AE=CD，连接BE、AD相交于点P，则CP的最小值为_ 解题思路：由等边三角形和AE=CD，可证ABECAD, 可得ABE=DAC，ABE+BAD=60，即APD=120° AB=6，为定长且位置不变，定角APD的顶点是动点，由定角对定长，可得动点P的轨迹为：劣弧AB上。圆心和半径的确定可以参照模型二中第5个。连接CO交圆于点P，此时CP的最小值为OC-OP= 证明：参照知识点储备1，点圆距离。 （江苏南京中考）在ABC中，AB=4,C=60°，

12、AB,则BC的长的取值范围是 解题思路：由定角对定长可得点C的运动轨迹，如图所示，当A=B时，BC取最小为4，当BC为直径时，可取最大值为。所以：如图所示，边长为2的等边ABC的，点B在X轴的正半轴运动，BOD30°，点A在射线OD上移动，则顶点C到原点的最大距离为 解题思路：此题可以参照模型二中的第6种，定角的顶点不动，定长线段位置在变化。由此可得OAB的外接圆在变化，但是半径不变，取任意一个位置作出OAB的外接圆，如图所示，此时可取AB的中点F,无论在什么时刻，OE、EF、CF的长度是不变的，当点O、E、F、C四点共线时，OC值取最大，最大值为：OE+EF+CF=2+=2+2变:

13、1：如图，点A在射线OE运动，EOB=60°，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且AB=,AD=1，则OD的最大值为 解题思路：此题同题的解题思路，但是要注意一点，虽然知道OF、FH、DH长度不变，但是点O、F、H、D四点不会共线，因为，FHD=120°始终保持不变，所以OD的最大值并不是OF+FH+DH的值，可以连接DF，通过计算发现DF的值也是不变的，点O、F、D三点可以共线，所以OD的最大值为：DF+OF=+2 变式2：如图，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的一个动点，若AB=2,则AOB面积的最大值为 解题思路：此题要考虑讨论两种

14、情况，当点A在第二象限定角135°，当点A在第四象限定角45°，可参照知识储备3，点弦距离。（注意：不同的是此题定角的顶点不动，弦在动，而知识储备3说的是弦不动，定角的顶点在动，但思考的结果是一样的。）已知正方形ABCD的边长为4，点M,N分别从点B,C同时出发，以相同的速度沿BC,CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN,交于点P.求APB周长的最大值？解题思路：可参照知识储备3，里面讲的拓展内容，也就是此时AP=BP时，APB周长取最大值。AC为边长2的菱形ABCD的对角线，ABC=60°,点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、AC向终点C和A运

15、动，连接AM和BN，交于点P，求APB周长的最大值？解题思路：可参照知识储备3，里面讲的拓展内容，也就是此时AP=BP时，APB周长取最大值。如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的动点，连接AE、AF，且满足EAF=45°（1）求证：BE+DF=EF；（2）若正方形的边长为1，则AEF的面积最小值为 解题思路：第一问可以通过旋转ABE，证AEFABF,然后通过线段的和差关系可以证明BE+DF=EF。 第二问由第一问的全等，可以得出AEF,EF边上高线AH=1，求AEF的最小值就是求EF的最小值。虽然此题，定角EAF=45°,但是EAF所对的线段长EF，位置和大小都在变化，所以此EAF的外接圆的圆心和半径都在变化，先作出任意位置EAF的外接圆，再取EF的中点G，连接AO、OG、GC,可得AO=EF，OG=EF，GC=EF，由此可得： AO+OG+GC=EF+EF+EF=EFAC=，所以EF2-2 EAF面积最小值为：模型三：四点共圆判定1 四点围成的四边形，对角互补，外