基于螺旋理论的自由度分析原理

1、高等空间机构学高等空间机构学YSU李永泉李永泉燕山大学机械工程学院燕山大学机械工程学院20152015年年1111月月n 基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理n 空间机构的位置分析空间机构的位置分析n 运动影响系数原理运动影响系数原理n 基于约束螺旋理论的并联机构型综合基于约束螺旋理论的并联机构型综合n 空间机构的奇异分析空间机构的奇异分析n 机构学的其他问题机构学的其他问题本门课程的主要本门课程的主要学习内容学习内容 螺旋的基本概念螺旋的基本概念 螺旋表示运动和受力螺旋表示运动和受力 运动副的螺旋表示运动副的螺旋表示 螺旋的相关性螺旋的相关性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性 基

2、于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度计算n 基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理 螺旋的基本概念螺旋的基本概念 螺旋表示运动和受力螺旋表示运动和受力 运动副的螺旋表示运动副的螺旋表示 螺旋的相关性螺旋的相关性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性 基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度计算n 基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理 方向向量方向向量 S 位置向量位置向量 r 线矩线矩S0= rS 直线表示为直线表示为( (S; ; S0)，满足，满足SS0=0。 一般，对偶矢量中一般，对偶矢量中 SS00，( (S; ; S0)表示一个一般的螺旋表示一个一

3、般的螺旋 基本概念基本概念直线的直线的plcker坐标坐标:螺旋也称旋量。一个旋量表示空间的一组对螺旋也称旋量。一个旋量表示空间的一组对偶矢量偶矢量p 同时表示矢量的方向和位置。同时表示矢量的方向和位置。p 同时表示运动学中的线速度和角速度同时表示运动学中的线速度和角速度p 同时表示刚体力学中的力和力矩同时表示刚体力学中的力和力矩基本概念基本概念螺旋一般形式螺旋一般形式 $=(S; ;S0)，节距节距基本概念基本概念0hS SS S00 ; () ; hhSSSSSS000()0hS SSSSS SS SS S令令S0=S0-hS于是一般螺旋可以表示为于是一般螺旋可以表示为 $= (S; ;S

4、0+hS)p SS00, ,h为非零有限值。为非零有限值。 $=(S; ;S0)表示一般螺旋。表示一般螺旋。$= (S; ;S0+hS)p SS0=0, ,h=0时。时。 $=(S; ;S0)表示线矢量。表示线矢量。p S0, ,h=时时 $=(0; ;S)表示偶量。表示偶量。 基本概念基本概念00 ; ; hhhhSSS$SSS 螺旋的基本概念螺旋的基本概念 螺旋表示运动和受力螺旋表示运动和受力 运动副的螺旋表示运动副的螺旋表示 螺旋的相关性螺旋的相关性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性 基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度计算n 基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理用角

5、速度的线矢量表示转动用角速度的线矢量表示转动: : 与转轴重合的单位线矢量与转轴重合的单位线矢量 $=(S; ;S0) 转动运动的转动运动的plckerplcker坐标为坐标为 w$= w( S; ;S0) = (w; ;v0)即角速度的大小与一个表示转轴作用线的单位线即角速度的大小与一个表示转轴作用线的单位线矢之积。矢之积。螺旋表示运动螺旋表示运动用偶量表示移动用偶量表示移动 刚体移动可以看作是绕距原点无限远处轴刚体移动可以看作是绕距原点无限远处轴线的瞬时转动，转轴可用一个偶量表示为线的瞬时转动，转轴可用一个偶量表示为$=(0; ;S) 移动运动的移动运动的plckerplcker坐标：坐标

6、： v$= v( 0; ;S) = (0; ;v) 即线速度的大小与偶量即线速度的大小与偶量$之积。之积。 移动运动的方向矢量空间任意平移，并不改变刚体移动运动的方向矢量空间任意平移，并不改变刚体的运动状态，的运动状态，( 0; ;S)为一个自由矢量。为一个自由矢量。螺旋表示运动螺旋表示运动更一般的螺旋运动则可看作移动与转动的合成更一般的螺旋运动则可看作移动与转动的合成用线矢量表示力用线矢量表示力: : 与作用力重合的单位线矢量与作用力重合的单位线矢量 $=(S; ;S0) 力的力的plckerplcker坐标可写为坐标可写为 f$= f( S; ;S0) = (f; ;C0)即力的大小与和约

7、束力重合的单位线矢之积。即力的大小与和约束力重合的单位线矢之积。螺旋表示受力螺旋表示受力用偶量表示力偶用偶量表示力偶 力偶是自由矢量，其在刚体内的平移不会力偶是自由矢量，其在刚体内的平移不会改变对刚体的作用效果。改变对刚体的作用效果。 自由矢量可表示为自由矢量可表示为$=(0; ;S) 力偶的力偶的plckerplcker坐标坐标 C$= C( 0; ;S) = (0; ;C) 即力偶大小与自由矢量之积。即力偶大小与自由矢量之积。螺旋表示受力螺旋表示受力力螺旋可看作力线矢与共线的力偶的合成力螺旋可看作力线矢与共线的力偶的合成 螺旋的基本概念螺旋的基本概念 螺旋表示运动和受力螺旋表示运动和受力

8、运动副的螺旋表示运动副的螺旋表示 螺旋的相关性螺旋的相关性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性 基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度计算n 基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理运动副的螺旋表示运动副的螺旋表示p转动副转动副000;0101$50 0 0;10 0$000;100000;010000;001321$p移动副移动副p球副球副 螺旋的基本概念螺旋的基本概念 螺旋表示运动和受力螺旋表示运动和受力 运动副的螺旋表示运动副的螺旋表示 螺旋的相关性螺旋的相关性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性 基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度计算n 基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋

9、理论的自由度分析原理螺旋相关性螺旋相关性螺旋相关性的定义螺旋相关性的定义: :当有当有n n个螺旋个螺旋$i=Si+S0i，i=1,2n, ,螺旋线性相关时必可找到一组不全为零螺旋线性相关时必可找到一组不全为零的数的数i，使得，使得n0iiS 定理：定理： 螺旋系的相关性与坐标系的选择无关。螺旋系的相关性与坐标系的选择无关。 考虑到螺旋系的相关性与坐标系的选择无关的这个考虑到螺旋系的相关性与坐标系的选择无关的这个定理，为了简明，在分析螺旋系的相关性时我们可以定理，为了简明，在分析螺旋系的相关性时我们可以选最方便的坐标系，使诸螺旋的表达尽可能地简单。选最方便的坐标系，使诸螺旋的表达尽可能地简单。

10、线矢和偶量在不同几何条件下的最大线性无关数线矢和偶量在不同几何条件下的最大线性无关数序号序号几何特点几何特点图示图示线矢线矢h=0偶量偶量h=1共轴112共面平行213平面汇交224空间平行315共面32序号序号几何特点几何特点图示图示线矢线矢h=0偶量偶量h=6空间共点337单页双曲面上不相交的直线3-8（a）有公共交线，交角为直角；（b）有公共交线，且交角为一定；（c）有一条公共交线；（d）有两条公共交线；（e）有三条公共交线；44543-9平行平面，且无公垂线5-10无公共交线，空间交错5-序号序号几何特点几何特点图示图示线矢线矢h=0偶量偶量h=11三维空间任意情况6312两平行线矢和

11、一法向偶量213平面3线矢和一法向偶量314空间平行3线矢及一个相垂直的偶量3 螺旋的基本概念螺旋的基本概念 螺旋表示运动和受力螺旋表示运动和受力 运动副的螺旋表示运动副的螺旋表示 螺旋的相关性螺旋的相关性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性 基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度计算n 基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理 分支中的某个运动螺旋分支中的某个运动螺旋$1和分支的约束螺旋和分支的约束螺旋$2互逆，互逆，其互易积为零其互易积为零 00001211221221;0s ss sssss$物理意义：互易积为零的两个螺旋，一个表示物体运动，一物理意义：互易积为零的两个螺旋，

12、一个表示物体运动，一个表示物体受到的约束力，则互易积就是力螺旋对运动螺旋个表示物体受到的约束力，则互易积就是力螺旋对运动螺旋所作的瞬时功，如两个螺旋的互易积为零，则表示约束螺旋所作的瞬时功，如两个螺旋的互易积为零，则表示约束螺旋在运动螺旋方向上没有瞬时功。在运动螺旋方向上没有瞬时功。 螺旋相逆性螺旋相逆性约束螺旋为约束力线矢约束螺旋为约束力线矢2222;s rs$螺旋相逆性螺旋相逆性p对于分支中的转动副，对于分支中的转动副， $1是一个线矢量，即是一个线矢量，即 0111111;s ss rs$根据前面的互易积公式，有根据前面的互易积公式，有 1212221121211212 sin0srss

13、rsrrssd$此式子成立的条件是此式子成立的条件是12120 =0d或 可知：可知：约束力与转动副轴线约束力与转动副轴线 共面（相交或平行）共面（相交或平行）螺旋相逆性螺旋相逆性约束螺旋为约束力线矢约束螺旋为约束力线矢p 对于分支中的移动副，对于分支中的移动副， $1是一个偶量，即是一个偶量，即110;s$ 根据前面的互易积公式，有根据前面的互易积公式，有121212cos0ss$ 此式子成立的条件是此式子成立的条件是12=90可知：可知：约束力（反螺旋）与移动副约束力（反螺旋）与移动副 垂直垂直螺旋相逆性螺旋相逆性约束螺旋为约束力线矢约束螺旋为约束力线矢p对于分支中的转动副，对于分支中的转

14、动副， $1是一个线矢量，即是一个线矢量，即螺旋相逆性螺旋相逆性约束螺旋为约束力偶约束螺旋为约束力偶220;s$ 0111111;s ss rs$螺旋相逆性螺旋相逆性 根据前面的互易积公式，有根据前面的互易积公式，有121212cos0ss$ 此式子成立的条件是此式子成立的条件是12=90可知：可知：约束力偶（反螺旋）与转动副约束力偶（反螺旋）与转动副 垂直垂直约束螺旋为约束力偶约束螺旋为约束力偶p对于分支中的移动副，对于分支中的移动副， $1是一个偶量，即是一个偶量，即110;s$ 根据前面的互易积公式，有根据前面的互易积公式，有1221000ss $可知：可知：约束力偶（反螺旋）与移动副轴

15、线约束力偶（反螺旋）与移动副轴线 始终互逆。始终互逆。螺旋相逆性螺旋相逆性约束螺旋为约束力偶约束螺旋为约束力偶当螺旋系同时含有若干线矢量和偶量1与此螺旋系相逆的线矢量，必须与所有偶量相垂直且与所有线矢量相交2与此螺旋系相逆的偶量必须与螺旋系的所有线矢量垂直螺旋相逆性螺旋相逆性p 两线矢相逆的充要条件是它们共面两线矢相逆的充要条件是它们共面p 两个偶量必相逆两个偶量必相逆p 线矢与偶量仅当垂直时才相逆线矢与偶量仅当垂直时才相逆p 线矢和偶量皆自逆线矢和偶量皆自逆与已知螺旋系相逆的反螺旋与已知螺旋系相逆的反螺旋 螺旋的基本概念螺旋的基本概念 螺旋表示运动和受力螺旋表示运动和受力 运动副的螺旋表示运

16、动副的螺旋表示 螺旋的相关性螺旋的相关性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性 基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度计算n 基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理1d1giiMngfv修正的修正的G-KG-K公式：公式：机构自由度计算机构自由度计算M机构的自由度；机构的自由度；d机构的阶数（机构的阶数（6- -公共约束数公共约束数 ）；）；n机构的构件数机构的构件数(包括机架包括机架)；g运动副的个数；运动副的个数；fi第第i个运动副的自由度；个运动副的自由度；v冗余约束的个数；冗余约束的个数；机构中存在的局部自由度机构中存在的局部自由度机构的公共约束机构的公共约束机构的公共约束

17、：机构的公共约束： 与机构中的每个运动螺旋都相逆的约束螺旋称为与机构中的每个运动螺旋都相逆的约束螺旋称为机构的公共约束。存在公共约束则意味着机构中任何机构的公共约束。存在公共约束则意味着机构中任何一个构件都不能发生这个运动。一个构件都不能发生这个运动。并联机构的公共约束：并联机构的公共约束： 各分支都能提供同样的约束（约束力应共轴，约各分支都能提供同样的约束（约束力应共轴，约束力偶应同向）。束力偶应同向）。机构的阶机构的阶机构的阶：机构的阶： 机构运动螺旋系的阶（机构运动螺旋系的阶（RankRank），机构所有构件允），机构所有构件允许的运动维数许的运动维数机构的阶机构的阶 + + 公共约束数

18、公共约束数 = 6= 63-RPS机构自由度计算机构自由度计算3-RPS机构自由度计算机构自由度计算12345100;000000;0e100;0010;00001;00$f$fe$f$e分支的运动螺旋系：分支的运动螺旋系：100;0-r$fe约束螺旋系为：约束螺旋系为：对于这个对于这个3-RPS3-RPS整体机构，整体机构，3 3个相同分支个相同分支有有3 3个类似的约束力，都过各自分支球副个类似的约束力，都过各自分支球副中心并与第一个转动副平行。作用于上中心并与第一个转动副平行。作用于上平台的平台的3 3个约束力就约束了平台的个约束力就约束了平台的3 3个自个自由度，限制了包括动平面内的两

19、个移动由度，限制了包括动平面内的两个移动和绕动平面法线的相对转动。和绕动平面法线的相对转动。没有公共没有公共约束约束1616 89 11503giiMngfv 按照修正的按照修正的G-K公式计算：公式计算：3-RPS机构自由度计算机构自由度计算自由度性质自由度性质3-RRC机构自由度计算机构自由度计算RRCRRC分支的运动螺旋系：分支的运动螺旋系：分支的约束螺旋系为：分支的约束螺旋系为：为分别沿为分别沿y和和z轴方向的两个约束力偶。轴方向的两个约束力偶。12223334100;000100;0100;0000;100efef$12000;010000;001rr$考虑公共约束考虑公共约束 建立

20、同样的分支坐标系分析可知，三个分建立同样的分支坐标系分析可知，三个分支的约束螺旋系均为分别沿支的约束螺旋系均为分别沿y和和z轴方向的两个轴方向的两个约束力偶。约束力偶。12000;010000;001riri$(1,2,3)i 3-RRC机构自由度计算机构自由度计算考虑公共约束考虑公共约束3-RRC机构自由度计算机构自由度计算 可以看出三个分支有相同的（竖直方向）力偶可以看出三个分支有相同的（竖直方向）力偶分量分量 ，即机构，即机构存在一个公共约束存在一个公共约束。共面不汇交。共面不汇交的三个约束力偶的三个约束力偶 又对应又对应一个并联冗余约束一个并联冗余约束。 由修正的由修正的G-KG-K公

21、式计算可得：公式计算可得：2ri$1ri$115 8911213giiMd ngfv 冗余约束冗余约束 对于许多复杂的多环并联机构,除了需要考虑构成公共约束的过约束外,还有一些过约束是在多个分支构成多环并联时候发生的,这里称之为”冗余约束冗余约束”。 求法：求法：当除去公共约束后，其余的 个约束构成一个 系螺旋，如果 则存在冗余约束，冗余约束tkvtk kt4-URU机构自由度计算机构自由度计算URUURU分支的运动螺旋系：分支的运动螺旋系：分支的约束螺旋系为：分支的约束螺旋系为：为沿为沿y轴方向的约束力偶。轴方向的约束力偶。1233344455001000100;000100;0100;00

22、01;00efefd$1000;010r$4-URU机构自由度计算机构自由度计算 4 4个共面不平行约束力偶，没有公共约束个共面不平行约束力偶，没有公共约束, ,且只有两且只有两个独立，因此存在两个冗余约束个独立，因此存在两个冗余约束。由修正的由修正的G-KG-K公式计算公式计算可得可得116 101212024giiMd ngfv3-UPU机构自由度计算机构自由度计算UPUUPU分支的运动螺旋系：分支的运动螺旋系：分支的约束螺旋系为：分支的约束螺旋系为：为垂直于为垂直于U U副十字平面的约束力偶。副十字平面的约束力偶。1233344455100;000010;000000;0010;0100

23、;00dfdfe$1000;001r$3-UPU机构自由度计算机构自由度计算 三个分支的三个约束力偶在空间分别垂直三个分支的三个约束力偶在空间分别垂直各自的十字头平面，它们各自的十字头平面，它们相互并不平行，彼相互并不平行，彼此线性无关，没有公共约束此线性无关，没有公共约束, ,没有冗余约束没有冗余约束。 三个约束力偶限制了三个转动自由度，上三个约束力偶限制了三个转动自由度，上平台只具有平台只具有三个移动自由度。三个移动自由度。 由修正的由修正的G-KG-K公式计算可得公式计算可得116 89 1153giiMd ngfv平面五杆平行四边形机构自由度计算平面五杆平行四边形机构自由度计算ADAD

24、分支的运动螺旋系：分支的运动螺旋系：分支的约束螺旋系为：分支的约束螺旋系为：分别为沿分别为沿x x和和y轴方向的两个约束力偶和沿轴方向的两个约束力偶和沿z z轴和杆件方向的两个约束力。轴和杆件方向的两个约束力。1222001;000001;0ab$123422000;100000;010001;0000;000rrrrba $xy 可以看出三个分支为动平台提供了两个方向相可以看出三个分支为动平台提供了两个方向相同的约束力偶，和一个共轴的约束力，即机构同的约束力偶，和一个共轴的约束力，即机构存存在三个公共约束在三个公共约束。共面平行的三个约束力又对应。共面平行的三个约束力又对应一个并联冗余约束一

25、个并联冗余约束。 由修正的由修正的G-KG-K公式计算可得：公式计算可得：113 56 16 13giiMd ngfv 平面五杆平行四边形机构自由度计算平面五杆平行四边形机构自由度计算自由度性质自由度性质空间平行空间平行5H机构自由度计算机构自由度计算空间空间5 5个具有不同节距且轴线平行的螺旋依个具有不同节距且轴线平行的螺旋依次相连，运动螺旋系：次相连，运动螺旋系：约束螺旋系为：约束螺旋系为：11222333344445555001;00001;0001;001;001;cbcabcabcabc$12000;100000;010rr$ 可以看出机构可以看出机构存在两个公共约束，属于四阶机构存

26、在两个公共约束，属于四阶机构。 由修正的由修正的G-KG-K公式计算可得：公式计算可得：114 55 151giiMd ngfv 空间平行空间平行5H机构自由度计算机构自由度计算 当当5 5个螺旋节距相同时，即个螺旋节距相同时，即 。 此时多了一个反螺旋，即此时多了一个反螺旋，即 此时机构共有此时机构共有三个公共约束，属于三阶机构三个公共约束，属于三阶机构。 由修正的由修正的G-KG-K公式计算可得：公式计算可得：12345ccccch113 55 152giiMd ngfv3001;00rh$3-RRCR并联机构自由度计算并联机构自由度计算取分支坐标系原点与中心点重合，取分支坐标系原点与中心

27、点重合，y y轴沿圆轴沿圆柱副的中心线，柱副的中心线，z z轴垂直向上，则轴垂直向上，则RRCRRRCR分支分支的运动螺旋系：的运动螺旋系：分支的约束螺旋系为：分支的约束螺旋系为：为过中心点垂直向上的约束力。为过中心点垂直向上的约束力。11122345555001;0001;00000;010010;000;000abaabc$1001;000r$zy 三个约束力共轴，存在一个公共约束，没有冗余约三个约束力共轴，存在一个公共约束，没有冗余约束束。由修正的由修正的G-KG-K公式计算可得公式计算可得115 11 12 1155giiMd ngfv3-RRCR并联机构自由度计算并联机构自由度计算自

28、由度性质自由度性质DELTA并联机构的自由度计算并联机构的自由度计算分支中含有闭环子链分支中含有闭环子链Delta机构机构用用“自由度等价的串联链以代替自由度等价的串联链以代替局部闭环（广义运动副）局部闭环（广义运动副）”DELTA并联机构的自由度计算并联机构的自由度计算DELTA并联机构的自由度计算并联机构的自由度计算4U平行四边形机构的相对自由度平行四边形机构的相对自由度分支分支1 1的运动螺旋系：的运动螺旋系：分支分支1 1的约束螺旋系为：的约束螺旋系为：为沿为沿z轴方向的约束力偶和两轴方向的约束力偶和两U U副中心点连线的力线矢副中心点连线的力线矢。11121311141100;000

29、010;000010;0100;00zxz$111211000;0010;000rrxz$11(0)Txz121()TxyzDELTA并联机构的自由度计算并联机构的自由度计算4U平行四边形机构的相对自由度平行四边形机构的相对自由度4U4U机构约束螺旋系：机构约束螺旋系：4U4U广义副的自由度的数目和性质：广义副的自由度的数目和性质：绕绕y y轴的转动和沿轴的转动和沿y y轴的移动以及垂直于该方向的移动轴的移动以及垂直于该方向的移动11(0)Txz121()Txyz12113112 121000;0010;0000;0rmrmrmxzxzy zy x$12311010;000000;010000

30、;0gggzx$DELTA并联机构的自由度计算并联机构的自由度计算xyDELTA并联机构的自由度计算并联机构的自由度计算分支运动螺旋系：分支运动螺旋系：分支约束螺旋系为：分支约束螺旋系为：为沿为沿x x和和z z轴方向的约束力偶。轴方向的约束力偶。123411010;000010;0000;010000;0igigigiabzx$12000;100000;001riri$ 可以看出三个分支为动平台提供了三个方向相可以看出三个分支为动平台提供了三个方向相同的约束力偶，即机构同的约束力偶，即机构存在一个公共约束存在一个公共约束。其余。其余三个约束力偶平行于定平台，平面汇交线性相关三个约束力偶平行于定平台，平面汇交线性相关，最大线性无关数为，最大线性无关数为2 2，又对应，又对应一个并联冗余约一个并联冗余约束束。 由修正的由修正的G-KG-K公式计算可得：公式计算可得：115 11 12 112 13giiMd ngfv 自由度性质自由度性