二次函数中的旋转、平移、对称变换

1、精品资料欢迎下载二次函数中的旋转、平移、对称变换21、如图，已知抛物线y=x +bx+c 经过 A（ 1， 0）， B（ 0， 2）两点，顶点为D。（2）将 OAB绕点 A 顺时针旋转 90°后，点 B 落到点 C的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；（ 3）设（ 2）中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 B1，顶点为 D1，若点 N 在平移后的抛物线上，且满足 NBB1 的面积是 NDD1面积的 2 倍，求点 N 的坐标。解：（ 1）已知抛物线y=x 2+bx+c 经过 A（1， 0）， B（ 0， 2），解得，所求抛物线的解析式为y=x2-3x

2、+2 ；（ 2） A（ 1， 0）， B（ 0， 2）， OA=1， OB=2，可得旋转后 C 点的坐标为（ 3， 1），当 x=3 时，由 y=x2-3x+2得 y=2，可知抛物线 y=x2-3x+2 过点（ 3， 2），将原抛物线沿 y 轴向下平移1 个单位后过点 C，平移后的抛物线解析式为：2y=x -3x+1 ；22-3x 0 +1），（ 3）点 N在 y=x -3x+1 上，可设 N 点坐标为（ x0， x0将 y=x2-3x+1 配方得，其对称轴为，时，如图，此时点 N 的坐标为（ 1， -1 ）；当时，如图，同理可得精品资料欢迎下载此时点N 的坐标为（3， 1），综上，点N 的坐

3、标为（1， -1 ）或（3， 1）。2、在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（ m，1）（ m 0），将此矩形绕 O 点逆时针旋转 90°，得到矩形 OABC（1）写出点 A、 A、 C的坐标；（2）设过点 A、 A、 C的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式； （ a、 b、 c 可用含 m 的式子表示）（3）试探究：当m 的值改变时，点B 关于点O 的对称点D 是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m 的值解：（ 1 ）四边形ABCO 是矩形，点B 的坐标为（ m， 1）（m 0 ），A（ m， 0）， C

4、（ 0，1 ），矩形 OABC由矩形 OABC 旋转而成，A（ 0， m），C（ -1 ，0 ）；（ 2 ）设过点 A、 A、 C的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c ，A（ m， 0）， A（ 0， m）， C（ -1 ， 0），解得，此抛物线的解析式为：y=-x2+ （ m-1 ） x+m ；（3 ）存在点 B 与点 D 关于原点对称，B（ m， 1），点 D 的坐标为：（-m ， -1 ），抛物线的解析式为： y=-x2+（m-1 ） x+m ；假设点 D（ -m ， -1 ）在（ 2）中的抛物线上，则 y=- （ -m ） 2+ （ m-1 ） ×（ -m ） +m=-1，

5、即 -2m2+2m+1=0， =22-4× （-2 ）×1=12 0，此点在抛物线上，解得m=或 m=（舍去）3、在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（ -2， 0），点 B（0， 2），点 E，点 F 分别为 OA， OB精品资料欢迎下载的中点 .若正方形（）如图，当（）如图，当OEDF绕点 O 顺时针旋转，得正方形OEDF，记旋转角为 90°，求 AE， BF的长； 135°，求证AE BF，且 AE BF；.（）若直线AE与直线 BF相交于点P，求点 P 的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）.精品资料欢迎下载4、如图，抛物线y= x2+bx+c

6、与 x 轴交于点A （ 1， 0），B（ 5， 0）两点，直线y= x+3 与y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点， 过点 P 作 PF x 轴于点 F，交直线 CD 于点 E设点 P 的横坐标为 m（1）求抛物线的解析式；（2）若 PE=5EF，求 m 的值；（3）若点 E是点 E 关于直线 PC 的对称点，是否存在点P，使点 E落在 y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由解：（ 1）将点 A 、B 坐标代入抛物线解析式，得：，解得，抛物线的解析式为：y= x2+4x+5 （2）点 P 的横坐标为m，精品资料欢迎下载P（

7、m， m2+4m+5 ），E（ m，m+3），F（ m， 0）22m+2|，PE=|yP yE|=|（ m +4m+5 ）（ m+3 ） |=| m +EF=|y E yF|=|（m+3） 0|=| m+3|由题意， PE=5EF，即： | m2+ m+2|=5| m+3|=|m+15|2m+2=2； 若m +m+15，整理得：2m 17m+26=0，解得：m=2 或 m=22或 m=若m +m+2=（m+15），整理得：m m17=0，解得：m=由题意， m 的取值范围为：1 m5，故 m=、 m=这两个解均舍去m=2 或 m=（3）假设存在作出示意图如下：点 E、E关于直线 PC 对称， 1= 2， CE=CE ， PE=PEPE 平行于 y 轴， 1= 3， 2= 3， PE=CE， PE=CE=PE =CE ，即四边形 PECE是菱形由直线 CD 解析式 y=x+3，可得 OD=4 ， OC=3，由勾股定理得CD=5过点 E 作 EM x 轴，交 y 轴于点 M ，易得 CEM CDO ，即，解得 CE= |m|，PE=CE=|m|，又由（22m+2|= |m|2）可知： PE=| m + m+2| | m +22 7m4=0 ，解得 m=4或 m= ； 若 m +m+2=