二、圆锥曲线的离心率与统一方程

1、离心率的几种经典模型及其解决策略珠海一中平沙校区阳友雄（519055）在高考中，解析几何一直是考察的重点内容，而离心率一般作为小题来考察，其解题方法多样，本节课对几种经典模型略作总结，助你一臂之力！经典模型 1：定义法例：设椭圆 x2y21(ab0) 的左焦点为 F ，直线 l : y kx( k0) 与椭圆交于a2b2点 A,B ，若 AFBF ，FAB(0, ，求椭圆的离心率的范围12经典模型 2：已知 PF1.PF2 范围例：已知 F1 ( c,0), F2 (c,0) 是椭圆x2y2a2b2 1(a b 0) 的两个焦点， P 为椭圆上的一点，且 PF1 .PF2c2 ，求此椭圆离心率

2、的取值范围经典模型 3： PF1PF2例：双曲线 x2y21(a, b 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ，若 P 为双曲线上一点，a2b2且 PF12PF2 ，求离心率的取值范围例：已知椭圆 x2y 21(a b0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ，离心率为 ea2b 2若椭圆上存在点P ，使得 PF1ePF2 ，求椭圆离心率 e 的范围经典模型 4： AFBFecos11已知椭圆 x2y21(a b0) 的两个焦点分别为 F1, F2 ，过 F2 的直线 l 的斜率为a2b23 ，与椭圆交于 A, B 两点，且 AF22BF2 ，求椭圆的离心率经典模型 5：椭圆中F1PF2e s

3、in2例：已知椭圆 x2y2 1(ab0) 的左右焦点分别为 F1, F2 ，若椭圆上存在一点 Pa2b 2使得 F1PF2 2, 求椭圆的离心率 e 的取值范围3椭圆 x2y21(a b 0) 的左右焦点分别为F1, F2 ，若椭圆上存在一点P 使得a2b 2F1 PF2, 求椭圆的离心率 e 的取值范围2经典模型 6： A1PA2, e1 cot 22例：椭圆 x2y21(a b0)的长轴两端点为 A, B ，若椭圆上存在一点 Q, 使得a2b2AQB120 ，求椭圆的离心率的取值范围经典模型 7：中点弦1的直线与椭圆 C : x2y2例：过点 M (1,1)作斜率为221(a b 0)

4、相交于 A, B 两2ab点，若 M 是线段 AB 的中点，求椭圆的离心率经典模型 8：已知焦点三角形两底角例：已知 F1, F2是椭圆 x2y 21(a b 0) 的 左右 焦点， 点 M 在椭圆上，a2b 2cos MF1F23 ,cos MF2 F122 ，求椭圆的离心率23经典模型 9：共焦点例：（ 2014湖北卷）已知 F1, F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1 PF23，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为43B.23D.2A.33C.3例：（2013 浙江）如图， F1 , F2是椭圆 C1: x2y 21 与双曲线 C2 的公共焦点， A, B

5、4分别是 C1 ,C2 在第二、四象限的公共点， 若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率课后练习22例：（2015 福建卷）已知椭圆 E : x2y2 1(a b 0) 的右焦点为 F ，短轴的一个ab端点为 M ，直线 l : 3x 4y0交椭圆 E 于 A,B 两点，若 AF BF4，点M 到直线 l 的距离不小于 4 ，求椭圆 E 的离心率范围5例：点 M 是椭圆 x2y21(a b 0) 上的点，以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭a2b 2圆的焦点，圆 M 与 y 轴相交于 P,Q 两点，若 PQM 是钝角三角形，求椭圆的离心率的取值范围x2y2已知双曲线 a2b21(a, b0) 与直线 y2x 有交点，求双曲线离心率 e 的取值范围例：（2016 全国卷 2