2019-2020学年北京市首师大附中高一(上)期中数学试卷B(含答案解析)

1、1.2.3.4.5.6.7.&9.10.11.12.13.2019-2020学年北京市首师大附中高一(上)期中数学试卷B选择题（本大题共10小题，共50.0分）设集 = x|x>l, B = xx2-2x-3<0.则AHB =（）A. xx < 1B.xx <1C. x| 1 < % <1D.x|l <% < 3已知命题p： 3% > sinx > 1,则卡为（）A. Vx > 7, sinx< 1BVx <sinx<1C 3% > 7, sinx< 1DV £ sinx<1

2、函数几幻=疋一5的零点所在的区间是（）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D.(勺5)下列函数中，既是偶函数，又在(-QO.0)上单调递减的函数是()A. y = -%2B y = 2"|x|c. y =已知a VO, bV那么下列不等式成立的是()A. a>£>2B-A* > - > aC-> a > -若% < 0,则函数y = x + ?有()A.最小值4B.最大值4C.最小值-4D y = lg|%|D l>>aD.最大值-4命题 7 G -1,2, %2-a> 0”是真命题的一个充分不必要条件

3、是（）A. a > 4B a < -1C a S 0D a S 1已知函数门咒)为偶函数，且函数f(x)与8(幻的图象关于直线y =兀对称，若g(2) = 3,贝0/(-3)= ()A. 2B. 2C. 3D. 3已知函数/'(x)=x 占，g(x) =x2 - 2ax + 4,若任意七 G 0,1,存在x2 £ X2, (xx) > 0(牝)，则实数“的取值范围为()9A. a > 3B a >-C a > 2D a >44已知函数Z(x)=xk 2|,直线y = a与函数f(x)的图象有三个交点A、B、C,它们的横坐标分 别为X,

4、 x2f x3 ,则%! + %2 + x3的取值范围是()A. (3,4 + 血) B. (4,3+ V2) C. (3,4+ V2 D. R填空题(本大题共6小题，共30.0分)计算：(扌)丄 + 8：+ (2019)0 =函数y = (% + 2)° <2 + X的泄义域是.函数f(x) = -X2 + 6% - 10在区间0,4的最大值是14. 若关于A-的方程cos?% - sinx + a = 0在0,兀内有解，则实数"的取值范国是 15. 已知函 (x) =ex-x, g(X)=x2-bx+4,若对任意 G (-1,1),存在巾 G 1,2,使/(%!)

5、>0(X2)，则实数b的取值范围为16. 已知函数/'(%) = 蔦；'I 1若直线卩=皿与函数/'(x)的图象只有一个交点，则实数加的取值范围是 .三、解答题(本大题共4小题，共40.0分)17. 设集合力=咒哙<2-”<4, B = xx2 - 3mx + 2m2 - m - 1 < 0(1) 当%GZ时，求人的非空真子集的个数;(2) 若3 = 0,求m的取值范I科：(3) 若求】的取值范用18. 已知函(/(%) = 2%2 - 4% - 5.当xW_2,2时,求函数f(x)的最值;(2) 当x G t,t+ 1时，求函数fU)的最小值g

6、(t);(3) 在第(2)问的基础上，求的最小值.19. 某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处(如图)，一条海岸线AO£城市O的正东方向, 另一条海岸线0B在城市0北偏东0(tan8 =扌)方向，位于城市0北偏东f 一 a(cosa =春)方向 15如2的P处有一个美丽的小岛.旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市。出发沿海岸 线0A到达C处，再从海而宜线航行，途经小岛P到达海岸线0B的D处，然后返回城市0.设 OC =tkm,这条旅游观光线路所围成的三角形区域而积为s(r)(1) 建立如图所示的平而直角坐标系，请求岀P点坐标并写出写出S(t)关于的函数关系式:(2) 要使囹

7、OCD而积最小，C应选址何处？并求出最小而积.20. 已知二次函f(x) = ax2 + bx + c满足下列3个条件：/(x)的图象过坐标原点：对于任意 x 6 R都有f (扌+%) = f( 一 X): 对于任意x G R都有/ (x) >x-l,(1) 求函数/'(X)的解析式；(2) 令g(x) = /(x) + xx 一 4m| - x2 + Sx - 32,(其中m为实数)求函数g(x)的单调区间：(3) 若0仗)在(0,+8)上有三个零点，求加的范風第4贞.共13页答案与解析1答案：D解析：解：集合力=x|x>l,B = (xx2 - 2x - 3 <

8、0 = x| - 1 < % < 3, 则ACB = xl <x<3.故选：D.化简集合B,根据交集的左义写出AQB.本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.2. 答案：A解析：解：由特称命题的否左是全称命题，所以命题 P： Bx > sinx > 1,则x > 夕，sinx < 1.故选:A.利用特称命题的否左是全称命题，写岀结果即可.本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考査.3. 答案：A解析：解：由函数/'(x) = /_5可得f(l)=l-5 = -4V0, /(2) = 8-5 = 3>0, 故有/(l)f

9、(2) V 0,根据函数零点的判左立理可得，函数/'(X)的零点所在区间为(1,2),故选:A.求得f(l)f(2) V 0根据函数零点的判左迫理可得函数/'(x)的零点所在的区间. 本题主要考査函数的零点的判左泄理的应用，属于基本知识的考查.4. 答案：D解析：解：y = -x2, y = 2_|x|» y = l扌I，y = igkl都是偶函数，但是y = lg|x|在(一 8,0)上单调递减.故选：D.判断函数的奇偶性与函数的单调性即可得到结果.本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，是基础题.5答案：D解析：莹 V。' ? 出豊 - a =丛拧=以

10、丄：H . q v 0, b + V 0,（! b）0,aa a6.答案：D解析：【分析】因为xvo,所以一x>0,结合基本不等式可得一(X)+(?)套一2斤孑本题主要考查基本不等式求最值问题，属于中档题. (_?),从而得到y的最大值.【解答】解： X V 0,_4, y = % + ? = _（刃 + （-；） < -町（-（-=当且仅当一x = -, KPx = -2时等号成立.X函数y = x + '的最大值为一4X7.答案：B解析：【分析】本题考查了充分条件和必要条件，考查不等式恒成立问题，属于基础题.问题转化为a<(x2)min,求岀"的范用，结

11、合充分条件和必要条件的龙义判断即可.【解答】解:v Vx 6 1,2, x2 a >0a < (x2)min = 0, "Vx G -1,2, x2-a> 0”是真命题的一个充分不必要条件是：a < -1.故选B.&答案：B解析：解:与g(x)的图象关于直线y = X对称，且g(2) = 3： f(3) = 2： f(X)为偶函数;- 7(-3) =/(3) = 2.故选:B.根据f(x)，g(x)的图象关于直线y = x对称及g=3便可得到几3)= 2,这样再根据/'(x)为偶函数 即可求岀7(-3)的值.考査关于直线y = x对称的点的关系

12、：(x,y)关于y = x对称点为(y,x),以及偶函数的左义.9.答案：B解析；【分析】本题以函数为载体，既考査了不等式恒成立的问题，又考查了不等式解集非空的问题.采用变虽分 离避免讨论，简化运算，是解决本题的捷径.【解答】解：函数士在0,1上为增函数，因此若VxxG 0,1,则/(0) = -1</(%1)</(1) = |,原问题转化为Hx2 G 1,2,使/(0) = -1>9(兀2)，即1 > %2 2ax2 + 4，在区间1,2上能够成立，变形为七+三< 2a,在区间1,2±至少有一个实数解，令h(x) = + p 由对勾函数性质，在(1,2

13、)递减，h(2) < h(x) < h(l), h(2) =所以2a巧即a歸故选B.10答案：B解析:【分析】 本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质，属中档题, 由分段函数的图象的作法得：f(x)= xk 2l =$(；：)；(；，作岀y = 的图象，由 函数图象的性质得X1 + XZ = 2, 2<x3<1 + V2,即可求解.【解答】解:f(x)=x|x-2| =(%-1)2-1,(%>2)-(%-I)2+!,(%< 2)设函数y = f(x)的图象与直线y = a的交点对应横坐标分别为心、%2'则衍+尤2 = 2,令(%-1)2-1

14、= 1,解得x=l±,所以2 < x3 < 1 + V2>所以4 V 衍 + 尤2 +V 3 + V2»故选:B.11答案：7解析：【分析】本题考查有理指数幕的运算性质，是基础的汁算题.直接利用有理指数幕的运算性质化简求值.【解答】解：(；厂1 + 8 吕 + (2019)° =2 + (23) r +1 = 2 +2?+ 1 = 7, 故答案为7.12答案：(2, +8)解析：【分析】本题考查求函数左义域，属基础题，需要注意：常用的最基本的有(1)分母不为零：(2)偶次根式的 被开方数非负：(3)/中XH0.【解答】解：由题意知，x+2H0且2

15、+xNO,">2, 函数的定义域为(一2,+8),故答案为(-2,+oo).13. 答案：-1解析：【分析】本题主要考査求二次函数在闭区间上的最值，属于基础题.函数/(>) = 送+6x 10 = (久一 3)2 1,图象是抛物线，开口向下，关于直线x = 3对称，由此 求得函数/Xx) = -x2 + 6%- 10在区间0,4的最大值.【解答】解：函/(x) = -X2 + 6% - 10 = -(x - 3)2 - 1,图象是抛物线，开口向下，关于直线x = 3对称, 故在区间0,4上，当x = 3时函数f(x)取得最大值为一 1,故答案为：1.14. 答案：-1,1

16、解析：【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程的根的分布与系数的关系，体现了转化的数 学思想.由题意可得方程七2 + t-a-l = 0在1,1上有解，函数f(t) = t2 + t-a- 1的对称轴为t = 一扌，故有/X0) /'(1) < 0,解此不等式组求得"的取值范围【解答】解：方程cos2% sinx + a = 0, RPsin2% + sinx a 1 = 0.由于 E 0, n t0 < sinx < 1.故方程严+t-a-l = 0在0,1上有解.又方程* + t-a-l = 0对应的二次函数f (t) = t2 + t-

17、a- 1的对称轴为t = 一扌，故W/(0)-/(l)<0,即(a-l)(a+l)<0.解得一 ISaSl.故答案为-1,1.15. 答案：23,+00)解析：【分析】对于任意的"，总存在竝使f(“)Ng(x2)成立成立，只需函数可以转化为> g(x)min, 从而问题得解.本题主要考査函数恒成立问题以及函数单调性的应用，属于对基本知识的考查，是中档题.【解答】解：若对任意的xl G -1,2,使Wf(xl) > g(x2),只需f(xmin > g(x2)fvxlG(-l,l), f(x) = e* - 1,则心)在(-1,0)上递减，在(0,1)上递

18、增，fmin = /(0) = 1, 所以 12g(x2),由 1 > g(x) = x2 -bx + 4得bnx + 丫，而(% + )mfn = 2/3,存 1x2 6 1,2,使得所以b > 2/3.故答案为2V3,+oo).16. 答案：m > 2 或m = 0解析：解：作出函数f(x)的图象如图，则当IX <1 时，/(x) G (0,2),当x>l时，/(x)>0,则若直线y = m与函数f(x)的图象只有一个交点, 则m2 2或th = 0,故答案为：m > 2或th = 0作出函数/'(x)的图象，判断函数的单调性和取值 范围，

19、利用数形结合进行判断即可.本题主要考査分段函数的应用，作出函数的图象, 利用数形结合是解决本题的关键.17答案：解：因为>1 = %| C 2 < 4 = %| - 2 < % < 5,B = xx2 - 3mx + 2m2-m-l<0 = x(x -m + 1)(% - 2m - 1) < 0当时，i4 = -2,-1,0X234,5,共有 8 个元素,非空真子集的个数是254个.(2) 若B = 0,则m - 1 = 2m + 1,所以得m =2(3) 当B = 0时，则m- 1 = 2m+ 1.所以得m = -2,此时4 R 8；当m < 2时，

20、B = (x2m + 1 < % < m !若力 2 B、m < 23；S m < 6、2此时无解:(m < 2则2m+l>-2,解得(m - 1 < 5当m > 2时 B = xm 1 < % < 2m + !若A 2 B、(m > 22m + 1 < 5综上所述：实数加的取值范围是加=一2或一解析：本题考査不等式的解法.子集的概念，集合关系中参数的范圉等，属基础题(1) 化简集合A, B.根据子集圮义求解即可：(2) 若3 = 0,则m 1 = 2m + It 彳#m = 2：(3) 若SAB,分B = 0,当mV-2

21、时，当m >2时三种情况考虑，即可解答.18. 答案：解：(l)/(x)= 2(x-I)2-7,- f(x)的图象开口向上，对称轴为x = 1,.当x = 1时，f(x)取得最小值/=-7,当X = 一2时，/Xx)取得最大值产(一2) = 11.(2)若t > 1,则f(%)在+ 1上单调递增, g(t) = f(t) = 2t2-4t-5,若t + l< lRPt < 0,则畑在t, t + 1上单调递减， g(t) = f(t + 1) = 2t2 - 7,若t< l<t + l,即0 VY1时,©在tft + l上先减后增， 9“) =fW

22、 = 一72t2-7,t <0-7,0 < t < 12t2-4t-5,t > 1(3) 当t SO时，g(t)是减函数， g(t)在(-oo, 0上的最小值为 g(0) = -7, 当 0 Vt V 1时，g(r) = -7,当tN 1时，g(t)是增函数， g(t)在1,+8)上的最小值为g(l) = -7,0(。的最小值为一 7解析：(1)利用对称轴和开口方向判断/'(X)的单调性，再求出最值；(2) 讨论区间t, t + 1与对称轴x = 1的关系，得出/Xx)在t, t + 1上的单调性，从而得出最小值:(3) 判断g(t)的单调性，得岀最小值.本题考

23、查了二次函数的单调性与最值的计算，分类讨论思想，属于中档题.19. 答案：解：(1)以0为原点，直线04为x轴建立平而直角坐标系.据题意，直线的倾斜角为£&，从而直线OB的方程为y = 3x.由己知厶P0C = a, OP = 15, cosa = 得点P的坐标为(9,12). 直线PC的方程为：y =(x-t)(tH9), 联立y = 3x,得夕=总(寸一0，yD = 贝肮>5.当且仅当上一5 =矣>0, RPt = 10时取等号.L5174IHJ ! It = 9 时，S0cq = X 9 X 27 = - > 120.当七=10时，S“CQ取最小值120.答：当C地处于城市O正东方向10佔”处时，能使三角形区域而积最小，其最小而积为120km2.解析：本题考查函数的实际应用和基本不等式的实际应用，考査实际应用能力、推理能力和讣算能 力，属于中档题.求出 =总，利用S(t) = OC 勿=总即可求