数学广角——鸡兔同笼(主题图)

1、数学广角鸡兔同笼 大约一千五百年前，我国古代数学名著大约一千五百年前，我国古代数学名著孙孙子算经子算经中记载了一道数学趣题中记载了一道数学趣题“鸡兔同鸡兔同笼笼”问题。问题。今有雉兔同笼，上有三十五今有雉兔同笼，上有三十五头，头，下有九十四足，问雉兔各几下有九十四足，问雉兔各几何？何？问题：说一说这道题的意思是什么。问题：说一说这道题的意思是什么。 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有3535个头，个头，从下面数，有从下面数，有9494只脚。鸡和兔各有几只？只脚。鸡和兔各有几只？ 画图法画图法 枚举法枚举法 列表法列表法 这道题怎么解决呢？这道题怎么解决呢？ 同

2、学们在解决这个问题时有什么感受呢？同学们在解决这个问题时有什么感受呢？ 要解决的问题数据太大，要怎样的思考呢？要解决的问题数据太大，要怎样的思考呢？数据太大，画图解决耗费时间；数据太大，画图解决耗费时间； 用枚举法解决可以，但感觉麻烦。用枚举法解决可以，但感觉麻烦。把数据变小一些（化繁为简），用画图把数据变小一些（化繁为简），用画图或枚举的方法或枚举的方法 解决就比较容易了。在解解决就比较容易了。在解决问题的过程中我们可以发现解决这个决问题的过程中我们可以发现解决这个问题的方法或规律，然后用发现的方法问题的方法或规律，然后用发现的方法或规律来解决古人的或规律来解决古人的“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题

3、。问题。你觉得数据可以改为多少呢？你觉得数据可以改为多少呢？：（1）鸡兔同笼，从上面数有）鸡兔同笼，从上面数有5个头，个头，从下面从下面 数，有数，有14只脚，鸡和兔各只脚，鸡和兔各有几只？有几只？ （2）鸡兔同笼，从上面数有）鸡兔同笼，从上面数有10个个头，从下面数，有头，从下面数，有24只脚，鸡和兔各只脚，鸡和兔各有几只？有几只？ （3）鸡兔同笼，从上面数有）鸡兔同笼，从上面数有10个个头，从下面数，有头，从下面数，有36只脚，鸡和兔各只脚，鸡和兔各有几只？有几只？ 鸡兔同笼，从上面数有鸡兔同笼，从上面数有5个头，从个头，从下面数，有下面数，有14只脚，鸡和兔各有几只？只脚，鸡和兔各有几只

4、？要求要求：用画图法或列表法独立尝试用画图法或列表法独立尝试解决问题解决问题。问题：同学们在解决这个问题时有什么发问题：同学们在解决这个问题时有什么发现？现？1.假设如果是假设如果是5只兔，就有只兔，就有20条腿。条腿。2.假设如果是假设如果是5只鸡，就有只鸡，就有10条腿。条腿。问题：同学们在解决这个问题时有什么发问题：同学们在解决这个问题时有什么发现？现？预设：预设：4. 鸡鸡543210兔兔012345脚脚10 12 14 16 18 203. 每多一只鸡，就少两条腿；每多每多一只鸡，就少两条腿；每多一只兔，一只兔， 就多两条腿。就多两条腿。问题：同学们在解决这个问题时有什问题：同学们在

5、解决这个问题时有什么发现？么发现？ 笼子里有若干只鸡和兔。从上面笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有数，有 个头，从下面数，有个头，从下面数，有 只脚。只脚。鸡和兔各有几只？鸡和兔各有几只？3594826笼子里有若干只鸡和兔。从上笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有面数，有8个头，从下面数，有个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？只脚。鸡和兔各有几只？一只鸡有一只鸡有2只脚，只脚，一只兔有一只兔有4只脚。只脚。请利用表格探究列请利用表格探究列1题题 笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有有8个头，从下面数，有个头，从下面数，有26条腿，鸡兔各条腿，鸡兔各多少只？多

6、少只？脚脚兔兔鸡鸡801671186220532244243526假设笼子里都是假设笼子里都是鸡鸡笼子里有若干只鸡和兔。从上面笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有数，有8个头，从下面数，有个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？只脚。鸡和兔各有几只？16只脚只脚还剩还剩10只脚只脚假设笼子里都是假设笼子里都是鸡鸡笼子里有若干只鸡和兔。从上笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有面数，有8个头，从下面数，有个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？只脚。鸡和兔各有几只？假设笼子里都是假设笼子里都是兔兔笼子里有若干只鸡和兔。从上笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有面数，有8个头，从下面数，有个头，从下

7、面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？只脚。鸡和兔各有几只？ 笼子里有若干只鸡和兔。笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有从上面数，有3535个头，从下面个头，从下面数，有数，有9494只脚。鸡和兔各有几只脚。鸡和兔各有几只？只？ 今有雉兔同笼，今有雉兔同笼，上有三十五头，上有三十五头，下有九十四足，下有九十四足，问雉兔各几何？问雉兔各几何？游乐园游乐园小船乘小船乘4人人大船乘大船乘6人人有有38个同学去游乐园划个同学去游乐园划船，共租了船，共租了8条船，每条条船，每条船都坐满了。大小船各船都坐满了。大小船各租了几条？租了几条？ 动物园动物园动物园有龟和鹤共动物园有龟和鹤共40只，只，龟的腿和鹤的腿共

8、有龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？条。龟、鹤各有几只？动物园有龟和鹤共动物园有龟和鹤共40只，龟的只，龟的腿和鹤的腿共有腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤条。龟、鹤各有几只？各有几只？有有38个同学去游乐园划船，共租个同学去游乐园划船，共租了了8条船，大船乘条船，大船乘6人人,小船乘小船乘4人人,每条船都坐满了。大小船各租了每条船都坐满了。大小船各租了几条？几条？笼子里有若干只鸡和兔。从上笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有面数，有8个头，从下面数，有个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？只脚。鸡和兔各有几只？例例11、2、兔子直立兔子直立抬脚：抬脚：942=47（只）（只）脚总数

9、比头多脚总数比头多1。脚的总数与头之差：脚的总数与头之差：兔：兔：47-35=12（只）（只）抬腿法：抬腿法：金鸡独立金鸡独立（一）介绍（一）介绍孙子算经孙子算经中的算法中的算法（1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，相当于脚数）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，相当于脚数 去掉了一半，还有去掉了一半，还有 94247只脚。只脚。（2）这时，每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要这时，每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要 有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。（3）这时脚的总数与头的总数之差）这时脚的总数与头的总数之差 473512，就是兔子，就

10、是兔子 的只数。的只数。 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，个头，从下面数，有有94只脚。鸡和兔各有几只？只脚。鸡和兔各有几只？古人的算法是让头的数量和脚的数量对应起来进行思考。古人的算法是让头的数量和脚的数量对应起来进行思考。（一）介绍（一）介绍孙子算经孙子算经中的算法中的算法（ ）（ ）（ ）（ ）古人的算法可以用下图表示：古人的算法可以用下图表示：头头 35 35 35 23 鸡鸡脚脚 94 47 12 12 兔兔下减上下减上脚减半脚减半 上减下上减下 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下

11、面数，个头，从下面数，有有94只脚。鸡和兔各有几只？只脚。鸡和兔各有几只？（二）受（二）受孙子算经孙子算经中的算法的启发，关于中的算法的启发，关于 例例1，你能想到什么方法呢？，你能想到什么方法呢？预设预设1：（1）每只动物都抬起两只脚，一共抬起每只动物都抬起两只脚，一共抬起8216只脚。只脚。（2）那么，）那么，261610只脚，全是兔子的。只脚，全是兔子的。（3）所以有）所以有 1025只兔，有只兔，有 853只鸡。只鸡。预设预设2：（1）把鸡翅膀也看成两只脚，那么每只动物就都有）把鸡翅膀也看成两只脚，那么每只动物就都有4只脚。只脚。 共有共有8432只脚。只脚。（2）那么就多出来）那么就

12、多出来32266只脚，多出来的是鸡的脚。只脚，多出来的是鸡的脚。（3）所以有）所以有623只鸡，有只鸡，有835只兔。只兔。预设预设3：（1）让兔子有两个头，那么一个头就对应两只脚，共有）让兔子有两个头，那么一个头就对应两只脚，共有 26213个头。个头。（2）那么就多出来）那么就多出来1385个头，也就是兔子的数量。个头，也就是兔子的数量。（3）所以有）所以有853只鸡。只鸡。问题：你能试着解决前面问题：你能试着解决前面孙子算经孙子算经中的问题吗？中的问题吗？（二）受（二）受孙子算经孙子算经中的算法的启发，关于中的算法的启发，关于 例例1，你能想到什么方法呢？，你能想到什么方法呢？问题：（问

13、题：（1）这道题是）这道题是“鸡兔同笼鸡兔同笼”这一类的问题吗？这一类的问题吗？ （2）解决这个问题，你喜欢用哪种方法呢？）解决这个问题，你喜欢用哪种方法呢？1. 有龟和鹤共有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？条。龟、鹤各有几只？日本的日本的“龟鹤算龟鹤算”问题就是从我国的问题就是从我国的“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题问题演变来的。演变来的。预设：（预设：（1）如果如果都是鹤。都是鹤。 如果都是鹤，就有如果都是鹤，就有 40280条腿，比题目中少条腿，比题目中少 1128032条腿。条腿。 那么需要用龟换鹤，换上一只龟，腿的总数就多那么需要用龟换鹤，换

14、上一只龟，腿的总数就多 2条，有条，有32216只龟。只龟。 所以有所以有401624只鹤。只鹤。1. 有龟和鹤共有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？条。龟、鹤各有几只？日本的日本的“龟鹤算龟鹤算”问题就是从我国的问题就是从我国的“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题问题演变来的。演变来的。 如果都是龟，就有如果都是龟，就有404160条腿，比题目中多条腿，比题目中多 16011248条腿。条腿。 那么需要用鹤换龟，换上一只鹤，腿的总数就少那么需要用鹤换龟，换上一只鹤，腿的总数就少 2条，有条，有48224只鹤。只鹤。 所以有所以有402416只龟。只龟。预设

15、：（预设：（2）如果如果都是龟。都是龟。1. 有龟和鹤共有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？条。龟、鹤各有几只？日本的日本的“龟鹤算龟鹤算”问题就是从我国的问题就是从我国的“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题问题演变来的。演变来的。 假如让鹤抬起一条腿，龟抬起两条腿，还有假如让鹤抬起一条腿，龟抬起两条腿，还有112256 条腿。条腿。 这时，这时，只要有一只龟，则腿的总数就比头的总数多只要有一只龟，则腿的总数就比头的总数多1。 这时腿这时腿的总数与头的总数之差的总数与头的总数之差564016，就是龟的只，就是龟的只 数，所以有数，所以有401624只鹤。只鹤

16、。预设：（预设：（3）抬腿法。抬腿法。1. 有龟和鹤共有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？条。龟、鹤各有几只？日本的日本的“龟鹤算龟鹤算”问题就是从我国的问题就是从我国的“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题问题演变来的。演变来的。问题：（问题：（1）这道题是）这道题是“鸡兔同笼鸡兔同笼”这一类的问题吗？这一类的问题吗？ （2）题目中哪个数量相当于）题目中哪个数量相当于“头数头数”？哪个数量相当于？哪个数量相当于 “脚数脚数” ？ 2. 新星小学新星小学“环保卫士环保卫士”小分队小分队12人参加植树活动。男生每人人参加植树活动。男生每人 栽了栽了3棵树，女生每

17、人栽了棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了棵树，一共栽了32棵树。男、女棵树。男、女 生各有几人？生各有几人？预设：（预设：（1）如果都是男生栽树。）如果都是男生栽树。 如果都是男生栽树，就栽了如果都是男生栽树，就栽了12336棵树，比题目棵树，比题目 中多中多36324棵树。棵树。 那么需要用女生换男生，一名女生比一名男生少栽那么需要用女生换男生，一名女生比一名男生少栽 1棵树，有棵树，有414名女生。名女生。 所以有所以有1248名男生。名男生。2. 新星小学新星小学“环保卫士环保卫士”小分队小分队12人参加植树活动。男生每人人参加植树活动。男生每人 栽了栽了3棵树，女生每人栽了棵树，女生每

18、人栽了2棵树，一共栽了棵树，一共栽了32棵树。男、女棵树。男、女 生各有几人？生各有几人？预设：（预设：（2）如果都是女生栽树。）如果都是女生栽树。 如果都是女生栽树，就栽了如果都是女生栽树，就栽了12224棵树，比题目棵树，比题目 中少中少32248棵树。棵树。 那么需要用男生换女生，一名男生比一名女生多栽那么需要用男生换女生，一名男生比一名女生多栽 1棵树，有棵树，有818名男生。名男生。 所以有所以有1284名女生。名女生。2. 新星小学新星小学“环保卫士环保卫士”小分队小分队12人参加植树活动。男生每人人参加植树活动。男生每人 栽了栽了3棵树，女生每人栽了棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了棵树，一共栽了32棵树。男、女棵树。男、女 生各有几人？生各有几人？1、鸡兔同笼，从上面数有、鸡兔同笼，从上面数有5个头，从下面数，有个头，从下面数，有14只脚，鸡和兔各有几只？只脚，鸡和兔各有几只？ 2、鸡兔同笼，从上面数有、鸡兔同笼，从上面数有10个头，从下面数，有个头，从下面数，有24只脚，鸡和兔各有几只？只脚，鸡和兔各有几只？ 3、鸡兔同笼，从上面数有、鸡兔同笼，从上面数有12个头，从下面数，有个头，从下面数，有40只脚，鸡和兔各有几只？只脚，鸡和兔各有几只？ 4、笼子