实验优化设计 第5章 正交实验设计

1、15 5 正交实验设计正交实验设计 2 在多因素多因素、多水平多水平实验中，如果对每个因素的每个水平都互相搭配进行全面实验，需要做的实验次数就会很多，比如对两个7水平的因素，如果两因素的各个水平都互相搭配进行全面实验，要做7249次实验，而三个7水平的因素要进行全面实验，就要做73343次实验，照这样，对六个7水平的因素，进行全面实验就要做76117649次实验。 人们在长期的实践中发现，要得到理想的结果，并不需要进行全面实验，即使因素个数、水平都不太多，也不必做全面实验，尤其对那些实验费用很高，或是具有破坏性的实验，更要尽量避免做全面实验，我们应当在不影响实验效果的前提下，尽可能地减少实验次

2、数。 正交设计正交设计就是解决这类就是解决这类多因素、多水平多因素、多水平问题的有效方法。问题的有效方法。全面实验:既花费大量的人力、物力，还要用相当长的时间，显然是非常困难的! 35.1 正交实验设计的基本原理正交实验设计的基本原理 正交实验设计，是利用规格化的正交表利用规格化的正交表，恰当地设计出实验方案和有效地分析实验结果，提出最优配方和工艺条件，并进而设计出可能更优秀的实验方案的一种科学方法。 5.1.1 正交表介绍正交表介绍 正交表是利用“均衡搭配”与“整齐可比”这两条基本原理，从大量的全面实验方案（点）中挑选出少量具有代表性的实验点，绘制成的排列整齐的规格化表格。 (1) 正交表的

3、形式及代号正交表的形式及代号以L9(34)为例说明：L是正交表代号；下标9是正交表的行数，也就是使用该表安排实验时所需实验次数；括号内的底数3表示每一因素的水平数，指数4表示表的列数，也就是使用该表最多可安排的因素个数。L9(34)代表4因素3水平正交实验，若进行全面实验，将有34=81种组合，而正交实验仅需9次实验。 表5-1是L9 (34) 正交表。该表有四个纵列，九个横行，表示此表最多可安排四个因素，每个因素可取三个水平，共需做九次实验。 表5-2是L8 (4124)不等水平正交表。该表共有五个纵列、八个横行，表示最多可安排五个因素，其中有一个因素可取四个水平，其余四个因素均取二个水平，

4、共需做八次实验。 表5-1 L9(34)正交表 表5-2 L8(4124)正交表 实验号列号1234111322211133123412215223363212713138232293331实验号列号123451112212322113222224412125121126311227211118421215(2) 正交表的特点正交表的特点 每个纵列中“1”、“2”、“3”、字码出现的次数相同。 任意两纵列的横行所构成的有序数字对中，每种数字对出现的次数是相同的，即任意两纵列的字码“1”、“2”、“3”、的搭配是均衡的。实验号列号123411132221113312341221522336321

5、2713138232293331 L9(34)正交表 6现要安排三个因素（A、B、C），每个因素取三个水平的实验。如果要通过全面实验来选择优秀方案，则共需做3327次实验，其全部水平搭配的组合方案可用图说明。图5-1 不均衡分散的9次实验 图5-2 均衡分散的9次实验 5.1.2 正交性原理正交性原理 (1) 均衡搭配性均衡搭配性均衡搭配是指用正交表所安排的实验方案，能均衡地分散在水平搭配的各种组合方案之中，因而其实验组合条件具有代表性，容易选出最优方案。7(2) 整齐可比性整齐可比性 为了对某一因素（如A）比较其各水平(A1、A2、A3)的作用，从中找出优秀水平时，其余因素各水平（B1、B2

6、、B3、C1、C2、C3）出现的次数应该相同，以便最大限度地排除其它因素的干扰，使这一因素的九个水平之间具有可比性。 如将L9 (34)正交表中列号1、2、3代入相应的因素A、B、C，则各列下面的1、2、3就代表相应的水平A1、A2、A3。从表5-1中看出，包含水平A1者有三个实验，包含A2与A3者也各有三个实验，它们的实验组合方案为：在这三组实验里，对因素A的各水平A1、A2、A3来说，其因素B和C的三个水平都各出现了一次。相对来说，当对表内同一水平（A1或A2或A3）所导致实验的结果之和进行比较时，其它条件是固定的，这就使得水平A1、A2、A3具有了可比性，它是选取各因素优秀水平的依据。8

7、5.2 正交实验设计的基本方法正交实验设计的基本方法5.2.1 明确实验目的，确定考核指标明确实验目的，确定考核指标在实验中用来衡量实验结果的量叫实验指标，简称指标指标。指标可以是单项也可以是多项，前者称为单指标实验，后者称为多指标实验。很多实验指标可以用数值直接表示，这样的指标叫定量指标定量指标。有些实验的结果好坏，不能用数量来衡量，而是由人们观察来加以区分，这类指标称为非数量指标，或定性指标，如颜色、手感、细腻度、刺激性等。对这类指标，经常采用与设定的标准进行比较，作数量化处理，比如按评定结果打出分数或定出等级用数字加以表示。5.2.2 挑因素，选水平，列出因素水平表挑因素，选水平，列出因

8、素水平表除了那些对实验结果的影响程度已经清楚或影响不大的因素，可不加考虑外，其余因素应尽可能排到正交表中去进行考察。“水平”是指各因素在实验中要比较的具体状况和取值。合理地确定“水平量”（水平数及水平值），可以减少实验工作量。当因素水平确定后，为简明起见，一般要列出因素水平表因素水平表。9 例5-1 某化工厂为了提高产品收率，决定用正交表安排四个因素二水平实验，具体条件如下：反应温度(A)为50和70，反应时间(B)为1 h和2 h，原料浓度为0.5 molL-1和0.8 molL-1，pH值为6和8。水平因素A 温度/ B 时间/ hC 浓度/ molL-1D pH/-15010.56270

9、20.88A的第1水平为50 ，第2水平为70 ，即A1=50 , A2=70 ，其它因素的各水平取值也类似，在表中反映一目了然。 根据题意，可列出因素水平表105.2.3 选择合适的正交表选择合适的正交表简单说，应遵循下列三条原则： 看水平数看水平数，选用正交表括号内底数与因素水平数相同的正交表； 看因素数看因素数，选用正交表括号内指数大于或等于因素数的正交表； 看实验次数看实验次数，不同的正交表所要求做的实验次数不同，应根据实验要求的精度和工作量的大小，选用适宜的正交表。一般而言，当水平数、因素数满足以后，实验次数越小越好。 115.2.4 用正交表安排实验用正交表安排实验选好正交表后，先

10、要进行表头设计表头设计。不考虑因素间的交互作用时，只需将各因素分别安排在正交表上方与列号对应的位置上，一般一个因素占有一列，不同因素占有不同的列(可以随机排列)。不放置因素或交互作用的列称为空白列(简称空列)。空白列在正交实验的方差分析中称为误差列，一般最好至少保留一个空白列。 例如，把例5-1各因素安排入正交表L8 (27)时，因正交表有7列，最多可安排7个因素，而例5-1只有4个因素，一般第3、5、6列专门安排交互作用，故把A、B、C、D四个因素分别安排在第1、2、4、7列上。按因素水平表中的代号，采用对号入座的办法，便得到表5-5实验计划表。水平因素A 温度/ B 时间/ hC 浓度/

11、molL-1D pH/-15010.5627020.8812表5-5 运用L8 (27)的正交实验计划表1K2KRT实验号列号收率y / %1 (A)2 (B)34 (C)567 (D)11111111752111222284312211228141222211835212121280621221218472211221728221211277K1323323308314T=636K2313313328322R1010208 80.7580.757778.5 =79.5 78.2578.258280.5 2.502.505.02.0返回P14返回P1313填好正交实验计划表后，此表的每一横行即

12、代表要实验的一组条件。L8 (27) 表有8行，因此要做8个不同的实验。第1号实验，A1B1C1D1表示实验条件：反应温度(A)为50，反应时间(B)为1 h，原料浓度为0.5 molL-1，pH值为6。第2号实验，A1B1C2D2表示实验条件：反应温度(A)为50，反应时间(B)为1 h，原料浓度为0.8 molL-1，pH值为8。其余依此类推。这样，就完成了正交实验设计。 接着，便是严格按此8个实验条件进行实验，并将各自的实验结果填入相应的横行内。 5.2.5 正交实验设计的直观分析法正交实验设计的直观分析法(1) 看一看看一看直接观察和比较实验指标，从中选出实验指标最好的因素水平组合。(

13、2) 算一算算一算 计算每一因素同一水平的结果之和。常用K1、K2、K3、Kn分别表示每个因素水平数相同的各次实验结果的总和。14 计算每一因素每一水平的平均结果。 计算T值。 T为所有实验结果的总和总和，TyiK1+ K2+ K3+ Kn。 计算极差极差 极差的大小反映了实验中的相应因素对指标作用的显著性。极差大的因素，意味着它的水平对实验结果造成的差别大，是作用显著因素，极差小的因素则往往是作用不显著的次要因素。(3) 对计算结果进行分析比较，挑选最佳的因素水平组合。对计算结果进行分析比较，挑选最佳的因素水平组合。 比较各列的极差，确定各因素的主次顺序。比较各列的极差，确定各因素的主次顺序

14、。根据表5-5中极差由大到小的顺序，可以排出各因素影响的顺序为：CABD 比较各列的比较各列的K值，挑选最佳的因素水平组合。值，挑选最佳的因素水平组合。根据表5-5中K值大小，可见C2C1, A1A2, B1B2, D2D1。由此可见，最佳的因素水平组合为C2A1B1D2。155.3 多指标正交实验的分析方法 衡量结果的指标往往不止一个。 5.3.1 综合评分法综合评分法综合评分法就是对各种指标进行打分求和，从而转化为一个指标(总分)，用单一指标代表实验结果。先把每项指标的优秀值定以满分，根据各实验所得的该指标值与优秀指标值的差异按比例打分，再根据各个指标的重要性确定相应指标的“权重”，最后采

15、用“加权求和”的办法获得各实验的综合得分。综合得分反映了该实验综合结果的相对好坏。加权综合评分的关键是如何确定权数。应根据考核指标之间相对重要程度的关系，确定各项指标的权数。 16例5-2 试制新型彩色电视机，用正交实验设计，进行元件的筛选和组合，考核指标为光、电、声、色四个方面。假设这四大指标被重视程度大致相同，试对其进行综合评价，见表5-6 实验号考核指标得分综合评分光电声色11078103528106731379993449810936先把每个考核指标中优秀者定为10分，其余非优秀者同它比较打分。由于这四大指标的重要程度大致相同，因此它们的权重系数是一样的，干脆都定为1.0，最后将每一号

16、实验的各指标得分加权求和，写在综合评分栏中。从表5-6的综合评分栏中看出，第4号实验得36分，是四个实验中的最高得分。因此，确定第4号实验是直接观察的优秀方案。17 假如例5-2中这四大指标被重视程度不相同，光、电、声、色各指标的权重系数分别定为3、1、2和4，则综合评分的结果也会相应变化。由表5-7可见，第1号实验是优秀方案。实验号考核指标得分综合评分光电声色11078109328106774379998449810991185.3.2 综合平衡法综合平衡法综合平衡法是先对每个指标分别进行单指标的直观分析，得到每个指标的影响因素主次顺序和最佳水平组合，然后根据理论知识和实际经验，对各指标的分

17、析结果进行综合比较和分析，得到较优方案。例5-3 液体葡萄糖生产工艺的优选实验，考察液体葡萄糖的4个指标： 产量，越高越好； 总还原糖，在32%40%之间； 明度，比浊数越小越好，不得大于300 mg/L； 色泽，比色数越小越好，不得大于20 mg/L。因素水平表如表5-8所示。 水平因素A 粉浆浓度/ BB粉浆酸度pHC 稳压时间/ minD 工作压力/ kgcm-21161.502.22182.052.73202.5103.219解： 用L9 (34) 安排实验，实验结果以及有关数据处理一并列入表5-9中。 实验号1234产量/g还原糖/%明度/mgL-1色泽/mgL-1ABCD11111

18、99641.65001021222113539.44001031333113531.04002542123115442.42003052231102437.21252062312107930.22002073132100242.41252083213109940.61002093321101930.03002020最优工艺条件如下：粉浆浓度18 B，粉浆酸度pH 2.0，稳压时间5 min, 工作压力2.7 kgcm-2。 215.4 水平数目不等的正交实验水平数目不等的正交实验有些实验由于受条件限制，某些因素不能取多个水平，而有些实验为了要侧重考察某些因素，又要多取几个水平，这时就会遇到水平

19、数目不等的多因素实验。安排此种实验的方法有两种：一种是利用规格化的混合水平正交表混合水平正交表；另一种是采用拟水平法拟水平法，即利用等水平的正交表设法安排不等水平的实验。5.4.1 用混合水平表安排不等水平实验用混合水平表安排不等水平实验利用混合水平表安排实验的方法和步骤与等水平实验法基本相同，只是对实验结果的计算分析稍有不同。由于各因素的水平数目不同，当两个因素对指标有同等影响时，水平多的因素理应极差要大一些，所以其水平导致结果之和的极差R之间没有可比性，如果对结果之和按水平数目取其平均值，就避免了因水平数目不同所导致结果的不可比性。 例5-4 在“三废”治理中，某厂要对含锌、镉等有毒物质的

20、废水处理进行正交实验，摸索用沉淀法进行一级处理的优良方案。解：（1）确定实验目的及考核指标实验目的：用沉淀法处理废水，希望处理后含锌、镉越少越好。考核指标：处理后废水含锌、镉量。水平因素A pH值B 凝聚剂C 沉淀剂D CaCl2E 废水浓度178加NaOH不加稀289不加Na2CO3加浓391041011因为pH值对去锌、镉的一级处理有较大的影响，需要仔细地考察，因此pH值从7到11安排四个水平进行实验。加凝聚剂（聚丙烯酰胺）和CaC12的目的，都是为了加快沉淀速度，但不知对去锌、去镉有无影响，所以都取“加”与“不加”二个水平。至于沉淀剂过去一直用Na2CO3，但考虑到邻近厂有大量的NaOH

21、溶液，因此需要考察一下NaOH能否代替Na2CO3。（2）制定因素水平表（3）选用正交表表L8（4124）最多能安排一个4水平因素与四个2水平因素，故正好适用。1K2K3K4KR实验号1 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (E)镉含量锌含量综合评分 (镉+锌)pH值凝聚剂沉淀剂CaCl2废水浓度1112210.721.362.082322110.520.901.423222220.800.961.764412120.601.001.605121120.530.420.956311220.210.420.637211110.300.500.808421210.130.400.53K13.0

22、35.112.914.774.83K22.564.666.865.004.94K32.05K42.131.5151.2780.7281.1931.2081.2801.1651.7151.2501.2351.0251.0650.490.1130.9870.0570.027重要性重要一般关键次要次要（4）填写实验计划表 实验计划表见表，实验结果也一并列入表中。返P2424（5）实验结果的分析）实验结果的分析本实验的考核指标有两个：处理后废水的含锌量和含隔量。由于这两个指标对总结果的影响程度大致相同、单位相同且含量变化范围也大体相同，故综合评分综合评分可采用把结果中含锌量和含镉量相加的办法，即第1号

23、实验的综合评分为0.721.362.08；第8号实验的综合评分为0.130.4=0.53。计算每列因素各水平导致结果的综合评分之和K1、K2、K3、K4，已列入表中，根据每列的最小值，确定可能最优水平及实验方案为A3B2C1D1E1。将计算结果填入表5-11中，并按这些值求各因素的极差 。然后根据极差值，由小到大排出因素的主次顺序为CABDE。 看一看看一看比较8个综合评分的结果，第8号实验数值最小，为0.53，是直接观察的最优方案。其组合是A4B2C1D2E1。还可看出，第5、6、7、8号实验的含锌、含镉量少于第1、2、3、4号实验结果，这说明废液用NaOH作沉淀剂比Na2CO3好、成本低。

24、 算一算算一算25 画水平影响趋势图本例中只有pH值这一因素有四个水平，可以进行趋势分析，其它因素都是二个水平，无法进行趋势分析。从图中看出pH值为910是可能最优水平（因命题是以低分为佳）。如果每一因素都能按趋势图找出自己的最优水平量，将其组合起来，便为通过水平趋势分析所得到的可能最优方案265.4.2 用拟水平法安排不等水平实验用拟水平法安排不等水平实验正交表是一个“均衡搭配、整齐可比”的表格，它的列数、水平数与实验次数之间都保持着一定的关系。当考察因素及其水平选择确定后，有时可能找不到正好适合的正交表。 例5-5 在流动混凝土配合比实验中，为初步确定减水剂剂种、粉煤灰含量、石子用量和灰水

25、比四个因素的最佳配方，要进行正交实验。水平因素A 减水剂剂种B 粉煤灰含量C 石子用量D 灰水比1磺化洗油010501.82安阳MF511002.03(拟水平)(磺化洗油)1011502.2人们提出了“拟水平法”或称为“凑足水平”的方法。即当选定正交表后，如有个别考察因素的水平数少于对口表里的限定数目时，可利用表中空下来的水平位置，重复考察此因素的某一重要水平。27表中粉煤灰掺量、石子用量和灰水比三个因素均取三个水平，而减水剂剂种只有两个水平。假如各因素的水平数目不能调整的话，则需选用L18（237）来安排实验，但嫌实验次数太多，这时可凑足减水剂剂种的水平数也为三个。由于希望在减水剂剂种中重点

26、考察磺化洗油，可将它重复作为剂种因素的第三个水平，我们称为拟水平。于是，就可选用L9（34）正交表，使实验次数减少一半。安排实验方案时，磺化洗油除对应于1水平外，还要把它再次对应剩下的水平号码“3”。在应用拟水平法时，对实验结果的分析，应注意把每种水平导致的结果之和，按水平数取平均值后再进行比较，并以此求出极差，确定因素的主次顺序。本例已选用L9（34）正交表，因素B、C、D都是三个水平，每个水平做三次实验，而因素A实际上只有1、2两个水平。由于（3）是拟水平，磺化洗油要做六次实验。在求平均值之前，一般是先分别求出1水平和(3)（拟水平）的各三次实验指标之和。看一看K值差别如何。若两者差别不大

27、，则说明磺化洗油的效果比较稳定与可靠，可将其合并考虑。此时求每种水平导致结果之和的平均值时，应取六次实验结果之平均值。若K值差别大，说明磺化洗油与其它因素水平的配合方式产生了额外影响，可能有交互作用，情况复杂，尚需做下一轮实验。 28 对于一项实验，因素间是否存在交互作用，可凭实践经验来判断；否则，就只能通过实验来判断。 5.5 有交互作用的正交实验有交互作用的正交实验5.5.1 对交互作用的认识对交互作用的认识 因素间的交互作用是指除了因素“孤立地”影响实验结果之外，还存在因素间不同水平互相搭配，联合在一起共同对实验结果产生影响。这是在科学实验中常常遇到的问题。29例 有A、B两种药物治疗缺

28、铁性贫血，患者12例，分为4组。实验方案是：第一组用一般疗法；第二组在一般疗法基础上加用A药；第三组在一般疗法基础上加用B药，第四组在一般疗法基础上A、B两药同时使用。一个月后观察红细胞增加数。要求分析两种药物的疗效，数据见表4-3。比较第二组的均值与第一组的均值，差异为1.2-0.8=0.4，反映了A药的疗效。比较第三组的均值与第一组的均值，差异为1.0-0.8=0.2，反映了B药的疗效。这两项研究的是A与B两因素的主效应。比较第四组的均值与第一组的均值，差异为2.1-0.8=1.3，反映了A药和B药共同作用时的疗效。显然，A药和B药一起使用的疗效比A和B单独使用疗效之和(0.4+0.2=0

29、.6)还要大，这表明，A药和B药的疗效之间有影响。这种因素之间的相互作用即为交互效应。如果交互效应存在，说明两个因素不是相互独立的。2.12.02.22.1第四组 (一般+A药+B药)1.01.01.10.9第三组 (一般+B药)1.21.11.21.3第二组 (一般+A药)0.80.70.90.8第一组 (一般疗法)平均值321分组30例5-6 为考察养护方式A与外加减水剂剂种B，对混凝土早期强度的影响。因素与水平见表5-13。水平因素A 养护方式B 减水剂剂种1标准养护DH-32蒸汽养护木钙实验号123抗压强度/ kgcm-2AB待定111136422124103122212422135K

30、1576774399K2445247622R131527223把因素A和B的交互作用记为AB。这里的符号“”是交互的记号，不要理解为乘号。两个因素的交互作用好象是在这两个因素的单独作用之外，另有一个“假想因素”在起作用。31从直观分析可以看出： 最重要的因素是减水剂剂种(B)。 养护方式(A)的两个水平(蒸汽养护与标准养护)，到底哪种好, 要看其与减水剂剂种如何搭配了，其间存在着交互作用。故本表第3列待定因素，应填写为AB。 因素的主次顺序为：BABA, 说明养护方式与减水剂的交互作用比养护方式的单独作用更重要。5.5.2 有交互作用的实验安排与结果分析有交互作用的实验安排与结果分析正交实验引

31、进交互作用后，从实验安排到结果分析，都有了新的要求。 (1) 表头设计表头设计是把交互作用项看成是一种特殊特殊的影响因素，在所选出的正交表中独占一列。当考察的因素较多，交互作用也较多时，这些交互作用在正交表交互作用在正交表中的位置，必须利用交互作用表来确定中的位置，必须利用交互作用表来确定。32表5-15 L8（27）二列间的交互作用表行(列)号列号1234567(1)(1)325476(2)(2)16745(3)(3)7654(4)(4)123(5)(5)32(6)(6)1表5-16 L8（27）表头设计列号1234567因素ABABCACBC返回P3433 一般说来，对于水平数相同的两个因

32、素，其交互作用在正交表中所占的列数为水平数减一。所以两个2水平因素的交互作用，只占一列；两个3水平因素的交互项，占二列。 (2) 实验结果的分析例5-7 用两种不同蒸养时间和振捣方式进行混凝土增强效果的比较实验。实验中的因素与水平列于表5-17。水平因素A 水灰比B 振捣方法C 蒸养时间/ h10.40插捣320.45振捣4要求考察A、B、C和AB、AC、BC对混凝土7天抗压强度的影响，并选择较优的工艺条件。34 实验安排1K2KTR实验号1234567抗压强度/ kgcm-2ABABCACBC11111111169211122221783122112227341222211272521212

33、12146621221211697221122119482212112215K1892662756782826802804T=1616K2724954860834790814812R1682921045236128 223165.5189195.5206.5200.5201 =202 181238.5215208.5197.5203.5203 42732613932返回P3535 实验结果分析由直观分析可见，a. 影响因素的主次顺序为：BAABCACBC。b. 最优实验方案为3号，其水平组合为A1B2C1。c. 从极差看出AB的影响较大，所以当选取因素A和因素B的最佳水平时，还要服从AB的最好

34、水平。 A与B交互作用的直观分析方法。由于交互项的水平字码是由同行内A和B的水平构成的，故求交互项同一水平所导致结果之和时，应照顾到各单因素所对应水平的搭配情况。从上表看出A1B2交互项可得到较高的强度，与上面确定的按独立因素的工艺条件A1B2C1一致。这正是第3号实验条件。d. 由于AC, BC对指标的影响不大，可与第7列合并，共同估计实验误差。通过正交实验的方差分析，可以讨论实验误差及进一步明确各独立因素及交互作用对实验结果的影响程度。B因素A因素A1A2B1(169+178)/2=173.5(146+169)/2=157.5B2(273+272)/2=272.5(194+215)/2=2

35、04.5365.6 正交实验的方差分析正交实验的方差分析5.6.1 正交实验统计分析的目的正交实验统计分析的目的正交实验统计分析包括直观分析和方差分析。直观分析法，该方法简单直观，计算简便，应用方便。但这种方法不能估计实验结果中误差的大小估计实验结果中误差的大小，因而不能真正区分某因素各水平所对应的实验结果间的差异是否是由水平改变引起的，还是由误差引起的，所以其分析结论比较粗糙。同时，对于多水平的实验，当要考虑交互作用时，由于交互作用要在正交表中占有几列，比如3水平因子的交互作用要占两列，这样，直观分析法就不能准确地考察交互作用的大小，因此有必要进一步采用方差分析法。 正交实验方差分析，其基本任务是： 分析实验误差对指标的影响; 分析各因素水平的变化对指标的影响； 两者进行比较，判断因素对指标的影响是否显著。375.6.2 正交实验方差分析的基本方法与步骤正交实验方差分析的基本方法与步骤(1) 基本方法方差分析关键在于偏差平方和的分解。偏差平方和是各实验指标与其平均值之差的平方和，用S表示。 计算总偏差平方和、各因素的偏差平