概率论与数理统计课后习题答案

1、过的汽车不少于3台。 解 (1)'出现i点i(S (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)习题一1 .写出下列随机试验的样本空间及下 列事件中的样本点：(1) 掷一颗骰子，记录出现的点数 A '出现奇数点；(2) 将一颗骰子掷两次，记录出现点数 A '两次点数之和为10'，B '第一次的 点数，比第二次的点数大 2'(3) 个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为123,4,5;从中同时取出3只球，观察其结果， A '球的最小号码 为1 ；4)将a, b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，

2、观察放球情况，A '甲 盒中至少有一球；(5)记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A '通过汽车不足5台，B '通S $ ,e2,e3,e4,e5,e6其中 e1,2,L ,6，A g鸟鸟。2试用A,B,C表示下列事件:(1)仅A发生；(2)A,B,C中至少有两个发生；(3)A,B,C中不多于两个发生；(4)A,B,C中恰有两个发生；(5)A,B,C中至多有一个发生。解(1) ABC(2)ABU ACUBC或ABC U ABC U ABC U ABC ；(3)AU B UC或ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC(4) ABC

3、U ABC U ABC ；(5) AB U AC U BC 或Abc U ABC U Abc u ABc ；3. 一个工人生产了三件产品，以A (i 1,2,3)表示第i件产品是正品，试用 Ai 表示下列事件：(1)没有一件产品是次品；(2)至少有一件产品是次品；(3)恰有一 件产品是次品；(4)至少有两件产品不是次 品。解(1) AA2A ； (2) A UA2UA3 ； (3) A1A2A3 UAA2A3 U AA2入；( 4 )A1 A2 U A! Aj U A2A3(6,3), (6,4), (6,5), (6,6)；(4,6),(5,5), (6,4)；(3,1), (4, 2),

4、(5,3), (6,4)3(2,3, 4), (3,4,5), (1,3,4), (1,4,5),2,3),4 .在电话号码中任取一个电话号码， 求后面四个数字全不相同的概率。解 设A '任取一电话号码后四个数)字全不相同，则(1,2,4), (5,2,5) 一批晶体管共40只，其中3只是坏(6,1), (6,2),AB(S (1(4)S (ab, , ), ( ,ab, ), ( , ,ab), (a,b, ), (a, ,b),(b, ,a), ( ,a, b,), ( ,b, a)，其 中表示空盒；A ( ab, , ), (a,b, ), (a, ,b), (b,a, ), (

5、b, ,a)o(5)S 0,1,2,L , A 0,1,2,3, 4, B 3,4,L o2 .设A,B,C是随机试验E的三个事件，的，今从中任取5只，求(1) 5只全是好的的概率；(b,a, (,2) 5只中有两只坏的的概率。解 (1)设A 5只全是好的，则P(A) 37 B0.662 ；C40(2) 设B 5只中有两只坏的，则C 2C3P(B) -40.0354.C406 .袋中有编号为1到10的10个球, 今从袋中任取3个球，求1) 3个球的最小号码为5的概率；(2) 解3个球的最大号码为5的概率.(1)设A '最小号码为5',112 ；5',则c2P(A)I-C

6、10设B '最大号码为P(B) 2 丄.C10207. ( 1)教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率；(2)房间里有四个人，求至少两个人的 生日在同一个月的概率.解则(2)C3o(1)设A '他们的生日都不相同'(2)一个月，则P(A)凳;'至少有两个人的生日在同P(B)c2c；2R22 23 214 124 12121244196 ；事件只有一个，故1 1P(A)- C； C； 3!1260解2七个字母中有两个 E，两个C， 把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的 全排列。一般地，设有n个元素，其中第一 种元素有n1个，第二种元素有n2个，第k种 元素

7、有m个(n1 n2 L 氐 n)，将这n个元 素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为n!n1 ! n2 !L对于本题有1P(A)卫2!2!10 .从0,1,2,L ,9等10个数字中，任意选 出不同的三个数字，试求下列事件的概率： A1'三个数字中不含0和5'，A2数字中不含0或5', 但不含5'.47! 1260'三个'三个数字中含04196.设一个人的生日在星期几是等可能P(B) 1 P(B)P：124解 P(A)8的，求6个人的生日都集中在一个星期中的 某两天，但不是都在同一天的概率 .解设A '生日集中在一星期中的某

8、 两天，但不在同一天，则C；(26 2)Pg空G0C3G07_15P(AJCo1 P(A2)Co 15'c8 14G3015，P(A) 60.01107.9.将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？解1设A '恰好排成SCIENCE将7个字母排成一列的一种排法看作基 本事件，所有的排法：字母C在7个位置中占两个位置， 共有 C；种占法，字母E在余下的5个位置中占两 个位置，共有C；种占法，字母I, N,C剩下的 3个位置上全排列的方法共 3!种，故基本 事件总数为C； C； 3! 1260，而A中的基本P(AOC82

9、7G3030'.将n双大小各不相同的鞋子随机地A '每堆各11分成n堆，每堆两只，求事件 成一双的概率.解n双鞋子随机地分成题，不同的分法共一(2心2!2! L 2!成一双共有n!种情况，故12 .P(A) 0.4,P(AB) 1n堆属分组问'每堆各 (2!)设事件A与BP(B) 0.3，求 P(AB)与 P(Au B)互不相容，P(AU B) 1 P(A) P(B) 0.3因为代B不相容，所以A B，于是所以P(AB) 0.4，故P(AB) 0.6 ;0.2 P(B) P(AB) P(B) 0.4.所以17.设 ABC ，试证明P(A)P(B) P(C) 1证因为AB

10、C ,所以故P(A) P(B)P(C) 1证毕.18.对任意三事件代 B,C，试证P(AB) P(AC)P(BC)P(A).证P(ABU AC) P A(BUC) P(A).证毕.19.设代B,C是三个事件，且1P(A) P(B) P(C) , P(AB) P(BC) 0，41P(AC)-，求A, B,C至少有一个发生的概8率。解P(AUBUC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(的解1设A '三段可构成三角形，又x,三段的长分别为xa2A的面植-S的面积413 .若 P(AB) P(AB)且 P(A) P ,求 P(B).解P(AB) 1 P(AU

11、 B) 1 P(A) P(B) P(AB) 由 P(AB) P(AB)得14 .设事件A,B及AUB的概率分别为p,q,r，求 P(AB)及 P(AU B)解P(AB) P(A) P(B) P(AU B) p q r1 q p q r 1 p r .15 .设 P(A) P(B) 0.7，且 A,B 仅发生 一个的概率为0.5，求A,B都发生的概率。解1由题意有0.7 2P(AB)，所以P(AB) 0.1.解2A,B仅发生一个可表示为AUB AB，故所以P(AB) 0.1.16 .设P(A) 0.7, P(A B) 0.3, P(B A) 0.2 ，求 P(AB)与 P(AB).解0.3 P(

12、A B) P(A) P(AB) 0.7 P(AB)，P(AB) P(AC) P(BC) P(AB) P(AC) P(ABC)因为 0 P(ABC) P(AB) 0，所以 P(ABC) 0，于是20 .随机地向半圆0 y 2ax x2 ( a为正常数)内掷一点，点落在园内任何区域的 概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于/4的概率.解：半圆域如图y设A '原点与该点连线与x轴夹角小于/4 '由几何概率21 ".把长为"a白的棒任意折成三段，求它 们可以构成三角形的概率.y, a x y ，则y a，不等式构成A 发生x y a不等式确定解2

13、 设三段长分别为x, y , z ，则0 x a, 0 y a, 0 z a 且x y z a，不等式确定了三维空间上的有界平面域S.z不等式确定S的勺面积1P(A) S的面积4'22 .随机地取两个正数 x和y，这两个 数中的每一个都不超过 1 ,试求x与y之和 不超过1，积不小于0.09的概率.解 0 x 1,0 y 1，不等式确定平面确定了 S的子域A，故23.(蒲丰投针问题)在平面上画出等距离a(a 0)的一些平行线，向平面上随机地 投掷一根长1(1 a)的针，求针与任一平行线 相交的概率.解 设A '针与某平行线相交，针落 在平面上的情况不外乎图中的几种，的中点到最近

14、的一条平行线的距离设x为针与平行线的夹角，则'个生1 L2LP(A)sin da0 2a2习题二'任取一件是i等品P(AAQP(A)，)P(A2)0.6 0.30.91 .假设一批产品中一、二、三等品各 占60% 30% 10%从中任取一件，发现它 不是三等品，求它是一等品的概率 .解 设Ai 1, 2, 3，所求概率为P(A IA3)因为A1 A2所以 p(A3)P(A 故P(A1 |A3) 6-.9 32 .设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合 格品，求另一件也是不合格品的概率.解设A'所取两件中有一件是不合格品Bi'所取两

15、件中恰有i件不合格i1, 2.则P(A) P(B) P(B2)c：c6G20G20，所求概率为P(B2|A)P(B2)c21P(A)c：c6 c2 5为针3 .袋中有5只白球6只黑球，从袋中 一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这 颜色是黑色的概率.解设A '发现是同一颜色，B '全 是白色，C '全是黑色，则ABC，所求概率为4 .从52张朴克牌中任意抽取5张，求 在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃 的概率.解设A '至少有3张黑桃，Bi 5张中恰有i张黑桃，i 3,4,5 ,则A B3 B4 B5 ,所求概率为P(BslA)P(AB5)P(A)G；324

16、1C13C39C13C39P(B5)P(B3 B4 B5)9G3 1686.5 .设 P(A) 0.5, P(B) 0.6, P(B|A) 0.8求 P(AU B)与 P(B A).解P(AUB) P(A) P(B) P(AB)1.1 P(A) P(B| A)P(B A) P(B) P(AB) 0.6 0.40.2 .6 甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋 中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取 2 球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球 是白球的概率。解设A '从乙袋中取出的是白球， Bi'从甲袋中取出的两球恰有i个白球i 0,1,2.由全概公式c；4c；c21g213C；10Cf

17、2C；1025.7 .一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取 3只， 比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样 地任取3只球，求第二次取出的3个球均为 新球的概率。解 设A '第二次取出的均为新球， Bi'第一次取出的3个球恰有i 个新球i 0, 1, 2, 3.由全概公式52859150.089.电报发射台发出和-'的比例为5:3，由于干扰，传送()时失真的概 率为2/5，传送-'时失真的概率为 1/3， 求接受台收到时发出信号恰是的概率。解设A '收到B '发出'， 由贝叶斯公式P(B|A)P(B)P(A| B

18、)P(B)P(A| B) P(B)P(A|B)5 38 "55 3 3 18 5 8 39 .在第6题中，已知从乙袋中取得的 球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑 的概率.解事件如第6题所设，所求概率为10 .已知一批产品中96%是合格品，检 X查产品(忖，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概 率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品 确是合格品的概率。解 设A '任取一产品，经检查是合 格品，B'任取一产品确是合格品贝y0.96 0.98 0.04 0.05 0.9428，所求概率为P(B)P(A| B) 0.96 0.98P(

19、B | A)0.998.P(A)0.942811 假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装 30 件其中18件一等品，现从两箱中随意挑出 一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件然是一等的概率.解设A'第i次取出的零件是一等品，i1,2.Bi'取到第i箱'i 1,2.则(1 )P(A)P(BP(A|B) P(B2)P(a 眉)1 132(一).2 555(2 )(取出的零件均不放回)，试求：(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍P(AIA)P(AA)P(A)P( A A2 BiA A2 B2)P(

20、A)1 C102 C5025949512940856.12 .玻璃杯成箱出售，每箱 20只， 设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为 0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯， 售货员随意取一箱，顾客幵箱随意地察看四 只，若无残次品，则买下该箱，否则退回。 试求：(1)(2) 的概率解顾客买下该箱的概率；在顾客买下的一箱中，确无残次品'顾客买下该箱，'箱中恰有i件残次品，i 0,1,2，(P(A)(2)1 37529 .3 10 15 2590(2)因为先取出的是女生表的概率为29，所以先取出的是男生表的概率为6190按抓阄问题的道理，61P(B) .90于是(P(A|B)

21、90，后取的是男生表的概率P(ABC1abc2ABC3)P(B)7 85 2015 1425 24206161 .90m枚正品硬币，n枚次)2P(AB)P(B)13 73 10 914 .一袋中装有品硬币(次品硬币的两面均印有国徽)从袋 中任取一枚，已知将它投掷 r次，每次都得 到国徽，P(B°)P(A|Bo) P(Bi)P(A|Bi) P(B2)P(A|B解问这枚硬币是正品的概率是多少?设A'任取一枚硬币掷r次得r个国徽,c40.8 0.1 G9 0.1 g2oP(Bo I A) P(ABo)P(A)设有来自三个地区的各40.94;g2o0.80.85.0.9410 名，1

22、5所求概率为'任取一枚硬币是正品，BABa ,13名和25名考生的报名表，其中女生报名表 分别为3份、7份和5份，随机地取一个地 区的报名表，从中先后取出两份(1) 求先取到的一份为女生表的概率P ；(2) 已知后取到的一份是男生表，求先 抽到的一份是女生表的概率解mm nm 1nmm n 2r设ABCiq.'先取到的是女生表，'后取到的是男生表，'取到第i个地区的表，m n 2 m n15 .甲、乙两人独立地对同一目标各射 击一次，命中率分别为 0.6和0.5，现已知 目标被击中，求甲击中的概率 .解设A '目标被击中，Bi'第i个人击中 i

23、1,2, 所求概率为i 1,2,3.(p P(C1)P(A|C1)P(C2)P(A|C2)P(C3)P(A|C3)060.75.1 0.4 0.516 .三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是1,1,-，求他们将此密码5 3 4译出的概率.解1设A'将密码译出，Bi '第个人译出i1,2,3.则1113 0.6.5 3 45解2事件如上所设，则4 233P(A) 1 P(A) 1 P(B,B2B3)1 -5 34517 .甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为0.4，0.5，0.7 o设飞机中一弹而被击落的概率为0.2，中两弹而被击落的概率为0.6，中三弹

24、必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率.解设A '飞机被击落，Bi'飞机中 i 弹i 1,2,3.则设Ci'第i个人命中，i 1,2,3，则0.40.5 0.30.6 0.50.70.6 0.50.30.360.40.5 0.30.4 0.50.70.6 0.50.70.41P(B3) P(C1 C2C3)0.4 0.5 0.70.14，所以P(A) 0.2 0.36 0.6 0.410.140.458.18 .某考生想借一本书，决定到三个图 书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本 书的概率相等；若有，能否借到的概率也相 等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互

25、 独立，求该生能借到此书的概率.解1设A'该生能借到此书，Bi'从第i馆借到i 1,2,3.11 1224，PQB)1 1 114 4 464于是P(B2B3)33P(B1B2B,)1374 1664640.6 解23337P(A) 1P(A) 1 P(BB2Bs)1464'解3事件如解1所设，则AB1B1 B2B1 B2 B3故1 313 31374 444 4464 .19 .设 P(A) 0,P(B) 0，证明A、B互不相容与A、 B相互独立不能冋时成立.证若A、B互不相容，则AB，于是P(AB) 0 P(A)P(B) 0所以A、B不相互 独立.若 A 、 B相互

26、独立，则P(AB) P(A)P(B) 0,于是 AB ，即 A、B 不是互不相容的.注：从上面的证明可得到如下结论：1 )若A、B互不相容，则A、B又是相互独立的 P(A) 0或P(B) 0.2 ) 因 A BA Ba ， 所以P(A) P(BA) P(BA)如果 P(B) 1，则P(BA) 0，从而可见概率是1的事件与任意事件独立，自然， 必然事件与任意事件独立.如果 P(B) 0，则 P(AB) 0 P(A)P(B)， 即概率是零的事件与任意事件独立，自然， 不可能事件与任何事件独立。20 .证明若三事件 A, B,C相互独立，则AU B及A B都与C独立。证P( AU B)C P(ACU

27、 BC) P(AC) P(BC) p(ABC)则P(B1 ) P(B2) P(B3) P(第 i 馆有此书且能借到)即AUB与C 独立.即 A B与C相互独立.21 .一个教室里有4名一年级男生，6 名一年级女生，6名二年级男生，若干名二 年级女生，为要我们在随机地选择一名学生 时，性别和年级是相互独立的，教室里的二 年级女生应为多少名？解答对每道题的概率为丄，所求概率4为解设还应有N名二年级女生，A '任 选一名学生为男生，B '任选一名学生为 一年级，贝V巳(3)巳(4) C： 144113425610 P(A) N 1610 P(AB)N 16欲性别和年级相互独立,，P(

28、B)P(AB) P(A)P(B)，10即410N 164N 16 '1010N 16 N 16 N 1626 .设在伯努里试验中，成功的概率为p，求第n次试验时得到第r次成功的概率. 解设A '第n次试验时得到第r次成 功'，则A '前n 1次试验，成功r 1次, 第n次试验出现成功， 所以P(A) P (前n 1次试验，成功r 1次)P (第n次试验成功)所以N 9，即教室里的二年级女生应为 9 名路 , Bii 123,4,5，贝由题意22 .图中1, 2, 3, 4, 5表示继电器接 点，假设每一继电器接点闭合的概率均为 p，且设各继电器闭合与否相互独立， 求L至 R是通路的概率.、n rr 1 rnrP) PCn 1P (1 P)C：1pr 解设A 个接点闭合(127 .设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.7可以直接出厂，以概率 0.3需进一步调 试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率 0.2定为不合格品，不能出厂。现该厂生产 了 n (n 2)台仪器(假定各台仪器的生产过 程相互独立)。求(1)全部能出厂的概率；(2)其中恰有两台不能出厂的概率；(3)其