17.2勾股定理的逆定理(第一课时)

1、2021/3/171第十七章第十七章 勾股定理勾股定理2021/3/172一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢? ?还有没有其他还有没有其他的方法呢的方法呢? ?有一个角是直角有一个角是直角; ;有两个角的和是有两个角的和是9090. .新课导入新课导入2021/3/173 据说据说, ,古埃及人曾用下面的方法画直角古埃及人曾用下面的方法画直角: :把一根长绳打上把一根长绳打上等距离的等距离的13个结个结, ,然后以然后以3个结间距个结间距, ,4个结间距、个结间距、5个结间距个结间距的长度为边长的长度为边长, ,用木桩钉成一个三角形用木桩钉成一个三

2、角形, ,其中一个角便是直角其中一个角便是直角你认为结论正确吗你认为结论正确吗? ?（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 如果三角形的三边分别如果三角形的三边分别为为3，4，5，这些数满足，这些数满足关系：关系：32+ +42= =52，围成的，围成的三角形是直角三角形三角形是直角三角形 探究新知探究新知勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理2021/3/174 下面的两组数分别是一个三角形的三边长下面的两组数分别是一个三角形的三边长a,b,c: :2.5,62.5,6, ,6.5;6.5; 6 6, ,8 8, ,1010。

3、画出图形画出图形, ,它们都是直角三角形吗它们都是直角三角形吗? ?用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数这三组数都满足这三组数都满足a2 2+ +b2 2= =c2 2吗吗? ?2021/3/175如何证明这如何证明这样的结论呢样的结论呢? ? 命题命题2 2: :如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,c满足满足a2 2+ +b2 2= =c2 2, ,那么那么这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形. .2021/3/176已知已知: :在在ABCABC中中,AB=,AB=c, ,BC=BC=a , ,CA=CA=b 且且a2 2+

4、+b2 2= =c2 2求证求证: :ABCABC是直角三角形是直角三角形. .A A B B C C 证明思路证明思路: :先画一个先画一个RtRtA A B B C C , ,使使C C =90=90 B B C C = =a, C, C A A = =bab2021/3/177A A B B C C abcB BbC CA Aa证明证明: :画一个画一个A A B B C C , ,使使C C =90=90,B,B C C = =a, C, C A A = =b A A B B =c=c 边长取正值边长取正值 A A B B 2 2= =c2 2 a2 2+ +b2 2= =c2 2 C

5、 C =90=900 0 A A B B 2 2= = a2 2+ +b2 2在在ABCABC和和A A B B C C 中中BC=BC=a=B=B C C CA=CA=b=C=C A A AB=AB=c=A=A B B ABCABCA A B B C C （SSSSSS） C=CC=C= =9090则则ABCABC是直角三角形是直角三角形（直角三角形的定义）（直角三角形的定义）2021/3/178勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理: : 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,c满足满足a2 2+ +b2 2= =c2 2, ,那么这个那么这个三角形是直角三角形三角形是直角三角形. .直角

6、三角形直角三角形 的判定定理的判定定理2021/3/179探究新知探究新知逆命题、逆定理逆命题、逆定理 命题命题2 2 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b, c满足满足a2 2+ +b2 2= =c2 2, , 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. . 我们看到我们看到, ,命题命题2 2与上节的命题与上节的命题1 1的题设、结论正好相反的题设、结论正好相反. .我们把像这样的两个命题叫做互逆命题我们把像这样的两个命题叫做互逆命题. .如果把其中一个叫如果把其中一个叫做做原命题原命题, ,那么另一个叫做它的那么另一个叫做它的逆命题逆命题. .例如例如, ,如果把命题如

7、果把命题1 1当成原命题当成原命题, ,那么命题那么命题2 2是命题是命题1 1的逆命题的逆命题. .逆定理逆定理: :如果一个定理的逆命题是真命题如果一个定理的逆命题是真命题, ,那么这个逆命那么这个逆命 题也可称为原定理的逆定理一个定理和它的逆题也可称为原定理的逆定理一个定理和它的逆 定理是互逆定理定理是互逆定理. . 2021/3/17101 1如果两个命题的题设、结论正好相反如果两个命题的题设、结论正好相反, ,那么这两个命那么这两个命 题称为互逆命题题称为互逆命题, ,如果把其中一个叫做原命题如果把其中一个叫做原命题, ,那么那么 另一个叫做它的逆命题另一个叫做它的逆命题 （1 1）

8、“题设、结论正好相反题设、结论正好相反”是指是指: :第一个命题的题设是第二第一个命题的题设是第二个命题的结论个命题的结论; ;第一个命题的结论是第二个命题的题设第一个命题的结论是第二个命题的题设 （2 2）“互逆命题互逆命题”是说明两个命题之间的关系是说明两个命题之间的关系, ,两个命题的地两个命题的地位可以互换位可以互换; ;两者可以确定其中任何一个为原命题两者可以确定其中任何一个为原命题, ,另一个为逆另一个为逆命题命题【知识简析知识简析】2021/3/17112 2如果一个定理的逆命题经过证明是正确的如果一个定理的逆命题经过证明是正确的, ,那么它也那么它也 是一个定理是一个定理, ,

9、称其为原定理的逆定理称其为原定理的逆定理, ,这两个定理称这两个定理称 为互逆定理为互逆定理 每个命题都有逆命题每个命题都有逆命题; ;但每个定理不一定有逆定理但每个定理不一定有逆定理; ;只只有当定理的逆命题经过证明是正确的有当定理的逆命题经过证明是正确的, ,才能称这个逆命题才能称这个逆命题为逆定理为逆定理3 3注意注意: :判断一个命题是真命题需要证明判断一个命题是真命题需要证明; ;而判断一个命而判断一个命题是假命题题是假命题, ,只需举一个反例即可只需举一个反例即可2021/3/1712例例1说出下列命题的逆命题说出下列命题的逆命题, ,这些命题的逆命题是真命题吗这些命题的逆命题是真

10、命题吗? ? （2 2）如果）如果a2 2= =b2 2, ,那么那么a= =b; ;（3 3）等腰三角形的两底角相等）等腰三角形的两底角相等 假命题假命题逆命题逆命题: :如果如果a= =b , ,那么那么a2 2= =b2 2. .真命题真命题逆命题逆命题: :有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形. .真命题真命题任何一个命题都有逆任何一个命题都有逆命题；原命题是真命题，其命题；原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题逆命题不一定是真命题2021/3/1713 写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论,然后将它的题设和结

11、论交换位置就得到这个命题的逆然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆命题判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理命题判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理,判判断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了【点评点评】2021/3/1714 1. 1.说出下列命题的逆命题说出下列命题的逆命题. .这些逆命题成立吗这些逆命题成立吗? ? （1 1）两条直线平行两条直线平行, ,内错角相等内错角相等; ; （2 2）如果两个实数相等如果两个实数相等, ,那么它们的绝对值相等那么它们的绝对值相等; ; （3 3）全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等;

12、 ; （4 4）在角的内部在角的内部, ,到角的两边距离相等的点在角到角的两边距离相等的点在角 的平分线上的平分线上. .练一练练一练2021/3/17152.2.下列说法正确的是下列说法正确的是( () ) A A每个定理都有逆定理每个定理都有逆定理 B B每个命题都有逆命题每个命题都有逆命题 C C原命题是假命题原命题是假命题, ,则它的逆命题也是假命题则它的逆命题也是假命题 D D真命题的逆命题是真命题真命题的逆命题是真命题2021/3/1716例例1 1判断由线段判断由线段a, ,b, ,c 组成的三角形是不是直组成的三角形是不是直 角三角形角三角形: : （1 1） a=15=15,

13、 , b =17=17, , c =8;=8; （2 2） a=13=13, , b =15=15, , c =14=14; ;分析分析: :根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形不是直角三角形, ,只要看只要看两条较小边长的平方和是否等两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方于最大边长的平方探究新知探究新知勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理的应用2021/3/1717解解: :（1 1） 15152 2+8+82 2=289;17=289;172 2=289=289 15152 2+8+82 2=17=172 2, ,这个三角形是直角

14、三角形这个三角形是直角三角形. .2021/3/1718例例2 2如图如图, ,在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,E E是是BCBC的中点的中点, ,F F是是CDCD 上一点上一点, ,且且CF= CD,CF= CD,求证求证:AEF=90AEF=90. .A AB BC CD DE EF F证明：设正方形证明：设正方形ABCDABCD的边长为的边长为a，则则BE=CE= BE=CE= a ，CF= CF= a ,DF= ,DF= a，在在RtRtABEABE中中,AE,AE2 2=AB=AB2 2+BE+BE2 2, ,在在RtRtADFADF中中,AF,AF2 2=AD=AD2

15、2+DF+DF2 2, ,在在RtRtCEFCEF中中,EF,EF2 2=CE=CE2 2+CF+CF2 2, , AEAE2 2= =a2 2+ + a2 2= = a2 2AFAF2 2=AE=AE2 2+EF+EF2 2, ,AEF=90AEF=90. . AFAF2 2= =a2 2+ + a2 2= = a2 2 EFEF2 2= = a2 2+ + a2 2= = a2 22021/3/1719例例3 3 如图如图, ,已知点已知点A A（-1,0-1,0）和点）和点B B（1,21,2）, ,在坐标在坐标 轴上确定点轴上确定点P P, ,使得使得ABPABP为直角三角形为直角三角

16、形, ,则满则满 足这样条件的点足这样条件的点P P共有（）共有（） A. 2 A. 2个个 B. 4B. 4个个 C. 6C. 6个个 D. 7D. 7个个2021/3/1720（3 3）利用直角三角形的判定条件利用直角三角形的判定条件, ,即若已知条件与边有关即若已知条件与边有关, , 一般通过计算得出三边的数量关系一般通过计算得出三边的数量关系( (即即a2 2b2 2c2 2) )来判来判 断断, ,看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方【点评点评】判断一个三角形是不是直角三角形有判断一个三角形是不是直角三角形有三三种方法种方法: :（1

17、1）利用定义）利用定义, ,即如果已知条件与角度有关即如果已知条件与角度有关, ,可借助三角可借助三角 形的内角和定理判断形的内角和定理判断; ;（2 2）利用定理）利用定理: :如果三角形一边上的中线等于这边的一半如果三角形一边上的中线等于这边的一半, , 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形; ;2021/3/17211 如果三条线段长如果三条线段长a,b,c满足满足a2=c2b2,这三这三 条线段组成的三角形是不是直角三角形条线段组成的三角形是不是直角三角形?为为 什么什么?练一练练一练2021/3/17222.(2.(20162016南京南京) )下列长度的三条线段能组

18、成钝角三角形下列长度的三条线段能组成钝角三角形 的是的是( () ) A A3,43,4, ,4 B4 B3 3, ,4 4, ,5 5 C C3 3, ,4 4, ,6 D6 D3 3, ,4 4, ,7 7 在能够组成三角形的条件下在能够组成三角形的条件下,如果满足较小两边平如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形方的和等于最大边的平方是直角三角形;满足较小两边平方满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形的和大于最大边的平方是锐角三角形;满足较小两边平方的满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形和小于最大边的平方是钝角三角形,依此求解即可依此求解即可3.3.在在

19、ABCABC中中,A,A, ,BB, ,CC的对边分别为的对边分别为a,b,c, , 且且( (ab)()(ab) )c2 2, ,则则( () ) A AAA为直角为直角 B BBB为直角为直角 C CCC为直角为直角 D DABCABC不是直角三角形不是直角三角形【点评点评】2021/3/1723例例4 4 “远航远航”号、号、“海天海天”号轮船同时离开港口号轮船同时离开港口, ,各自各自沿一固定方向航行沿一固定方向航行, ,“远航远航”号每小时航行号每小时航行1616海里海里, ,“海海天天”号每小时航行号每小时航行1212海里。它们离开港口海里。它们离开港口一个半小时一个半小时后后相距

20、相距3030海里。如果知道海里。如果知道“远航远航”号沿号沿东北方向东北方向航行航行, ,能能知道知道“海天海天”号沿哪个方向航行吗号沿哪个方向航行吗? ?P PE EQ QR RN N远航远航海天海天2021/3/1724解解: :根据题意根据题意,PQ=16,PQ=161.1.5=245=24, ,PR=12PR=121.5=181.5=18, ,QR=30.QR=30. 24 242 2+18+182 2=30=302 2, ,即即 PQPQ2 2+PR+PR2 2=QR=QR2 2, , QPR= QPR= 9090. . 由由“远航远航”号沿东北方向航行可知号沿东北方向航行可知, ,

21、1=451=45. . 因此因此2=452=45, ,即即“海天海天”号沿西北方向航行号沿西北方向航行. .分析分析: :在图中可以看到在图中可以看到, ,由于由于“远航远航”号的航向已知号的航向已知, , 如果求出两艘轮船的航向所成的角如果求出两艘轮船的航向所成的角, ,就能知道就能知道 “海天海天”号的航向了号的航向了. . P PE EQR RN N远航远航海天海天1 12 22021/3/1725 用数学几何知识解决生活实际问题的关键是用数学几何知识解决生活实际问题的关键是:建模建模思想思想,即将实际问题转化为数学问题即将实际问题转化为数学问题;这里要特别注意这里要特别注意弄清实际语言

22、与数学语言间的关系弄清实际语言与数学语言间的关系;如如:“点与点之间的点与点之间的最短路线最短路线”就是就是“连接这两点的线段连接这两点的线段”,“点与直线的最点与直线的最短距离短距离”就是就是“点到直线的垂线段的长点到直线的垂线段的长”【点评点评】2021/3/17261.A,B1.A,B, ,C C三地的两两距离如图所示三地的两两距离如图所示, ,A A地在地在B B地的正东地的正东 方方向向, ,C C地在地在B B地的什么方向地的什么方向? ?练一练练一练2021/3/17272.2.五根小木棒五根小木棒, ,其长度其长度( (单位单位: :cm)cm)分别为分别为7 7, ,1515

23、, , 20 20, ,2424, ,2525, ,现将它们摆成两个直角三角形现将它们摆成两个直角三角形, , 其中正确的是其中正确的是( () )2021/3/17283.3.有四个三角形有四个三角形, ,分别满足下列条件分别满足下列条件, , 其中直角三角形有（）其中直角三角形有（）（1 1）一个内角等于另外两个内角之差）一个内角等于另外两个内角之差: :（2 2）三个内角度数之比为）三个内角度数之比为3 3: :4 4: :5;5;（3 3）三边长度之比为）三边长度之比为5 5: :1212: :1313; ; （4 4）三边长分别为）三边长分别为7 7、2424、2525 A A1 1

24、个个 B B2 2个个 C C3 3个个D D4 4个个C C分析分析:根据根据三角形的内角和定理或勾股定理的逆定理三角形的内角和定理或勾股定理的逆定理 即可进行判断即可进行判断,从而得到答案从而得到答案2021/3/1729分析分析: :(1(1）一个内角等于另外两个内角之差一个内角等于另外两个内角之差, ,A=B-A=B-CC,A+B+C=180A+B+C=180, ,B=90B=90, ,故是直角三角形故是直角三角形; ;（2 2）三个内角度数之比为三个内角度数之比为3 3: :4 4: :5 5;设较小的角为设较小的角为3 3x, ,则其于两角为则其于两角为4 4x, ,5 5x, ,

25、则三个角分别为则三个角分别为4545, ,6060, ,7575, ,故不是直角三角形故不是直角三角形; ;（3 3）因为三边符合勾股定理的逆定理）因为三边符合勾股定理的逆定理, ,故是直角三角形故是直角三角形; ;（4 4）因为三边符合勾股定理的逆定理）因为三边符合勾股定理的逆定理, ,故是直角三角形故是直角三角形所以有三个直角三角形所以有三个直角三角形, ,故选故选C C2021/3/17304.4.如图如图, ,在在ABCABC中中, ,AB=5AB=5, ,AC=3AC=3, ,D D是是BCBC的中点的中点, ,AD=2AD=2, ,求求ABCABC的面积的面积. . 2021/3/

26、17312021/3/17325.5.若若ABCABC三边长三边长a、b、c满足满足a2 2+ +b2 2+ +c2 2+338=10+338=10a+24+24b+26+26c, ,试判断试判断ABCABC的形状的形状. .分析分析: :要判断要判断ABCABC的形状的形状, ,须须先求出三边的长先求出三边的长, ,再利用再利用勾股勾股定理的逆定理定理的逆定理判断三角形的形状。判断三角形的形状。2021/3/1733解析解析: :由由a2 2+ +b2 2+ +c2 2+338=10+338=10a+24+24b+26+26c, ,得得: :a2 2-10-10a+25+25+b2 2-24

27、-24b+144+144+c2 2-26-26c+169=0+169=0即即: :( (a-5)-5)2 2+(+(b-12)-12)2 2+(+(c-13)-13)2 2=0=0解得解得: :a=5=5, ,b=12=12, ,c=13=135 52 2+12+122 2=13=132 2 a2 2+ +b2 2= =c2 2 C=90C=90, ,ABCABC是直角三角形。是直角三角形。2021/3/17346.6.如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中, ,AB=3AB=3, ,BC=4BC=4, ,CD=12CD=12, , DA=13 DA=13,B=90B=90求四边形

28、求四边形ABCDABCD的面积的面积. .A AB BC CD D解解: :连接连接ACACB=90B=90 AC AC2 2=AB=AB2 2+BC+BC2 2 AC=5 AC=5 AD=13,CD=12 AD=13,CD=12 AD AD2 2=AC=AC2 2+CD+CD2 2ACDACD是直角三角形是直角三角形S S四边形四边形ABCDABCD= AB= ABBC+ ACBC+ ACBCBC=6+30=36=6+30=362021/3/1735探究新知探究新知勾股数勾股数 勾股数又名毕氏三元数勾股数又名毕氏三元数, ,凡是可以构成一个直角三凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数角形

29、三边的一组正整数, ,称之为勾股数称之为勾股数 我们常见的一组勾股数是我们常见的一组勾股数是“3 3, ,4 4, ,5 5”, ,而这组勾股而这组勾股数的倍数仍能构成直角三角形数的倍数仍能构成直角三角形, ,如它的如它的1.51.5倍倍“4.54.5, ,6 6, ,7.57.5”. .为了计算方便为了计算方便, ,我们应该熟以下这五组勾股数我们应该熟以下这五组勾股数: :“3 3, ,4 4, ,5 5”, ,“5 5, ,1212, ,1313”, ,“6 6, ,8 8, ,1010”, ,“7 7, ,2424, ,2525”, ,“8 8, ,1515, ,1 17 7”熟记这五组

30、勾股数熟记这五组勾股数, ,在做题时就可以省略很多繁琐的计在做题时就可以省略很多繁琐的计算过程算过程, ,提高做题的速度和准确度提高做题的速度和准确度2021/3/17361 1勾股数勾股数: :能够成为直角三角形三条边长的三个正整能够成为直角三角形三条边长的三个正整 数常见的勾股数有数常见的勾股数有: :3,43,4, ,5;55;5, ,1212, ,1313; ;8 8, , 15 15, ,1717; ;7 7, ,2424, ,2525; ;9 9, ,4040, ,4141; ;. .要点精析要点精析: :（1 1）勾股数组有无数个勾股数组有无数个; ;（2 2）一组勾股数中各数的

31、相同倍数得到一组新的勾股数一组勾股数中各数的相同倍数得到一组新的勾股数: : 如如3 3, ,4 4, ,5 5是勾股数是勾股数, ,则则6 6, ,8 8, ,1010和和9 9, ,1212, ,1515也是也是 勾股数勾股数, ,即如果即如果a,b,c是一组勾股数是一组勾股数, ,那么那么na, nb,nc( (n为正整数为正整数) )也是一组勾股数也是一组勾股数2021/3/17372 2判断勾股数的方法判断勾股数的方法: :（1 1）确定是否是三个正整数确定是否是三个正整数; ;（2 2）确定最大数确定最大数; ;（3 3）计算计算: :看较小两数的平方和是否等于最大数的平方看较小两

32、数的平方和是否等于最大数的平方3 3易错警示易错警示: :勾股数必须同时满足两个条件勾股数必须同时满足两个条件: :（1 1）三个数都是正整数三个数都是正整数; ;（2 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方两个较小数的平方和等于最大数的平方2021/3/1738例例3 3 下面四组数中是勾股数的一组是下面四组数中是勾股数的一组是( ( ) ) A A6,76,7, ,8 8 B B5 5, ,8 8, ,1313 C C1.51.5, ,2 2, ,2.52.5 D D2121, ,2828, ,3535D分析分析: :根据勾股数的定义根据勾股数的定义: :满足满足a2b2c2的三个正整数的

33、三个正整数 a,b,c称为勾股数称为勾股数A.6A.62 27 72 2882 2, ,不能构成勾不能构成勾 股数股数, ,故错误故错误;B.5;B.52 28 82 213132 2, ,不能构成勾股数不能构成勾股数, , 故错误故错误; ;C.1.5C.1.5和和2.52.5不是整数不是整数, ,所以不能构成勾股所以不能构成勾股 数数, ,故错误故错误; ;D.21D.212 228282 235352 2, ,能构成勾股数能构成勾股数, ,故故 正确故选正确故选D.D.2021/3/1739 确定勾股数的方法确定勾股数的方法:首先看这三个数是否是正整首先看这三个数是否是正整数数;然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方方,记住常见的勾股数记住常见的勾股数(3,4,5;5,12,13;8,15,17;7,24,25)可以提高解题速度可以提高解题速度【点评点评】2021/3/17401 若直角三角形的三边长为三个连续的偶数若直角三角形的三边长为三个连续的偶数,则它则它 的三边长分别是的三边长分别是() A3,4,5 B6,8,10 C3,4,6 D4,6,8练一练练一练2021/3/17412 下面几组数中下面几组数中,为勾股数的一组是为勾