算术平均值的性质一PPT学习教案

1、会计学1算术平均值的性质一算术平均值的性质一NXNXXXXNiiN121. 集中趋势反映一组数据中各数据所具有的共同趋势，即资料中各数据聚集的位置。一、算术平均（也叫均值 ）第1页/共47页22X 2222解：解：第2页/共47页1()0NiiXX 算术平均值的性质二：算术平均值的性质二：观察值与均值的离差平方观察值与均值的离差平方和最小。和最小。 为任意数为任意数21120)()(NiiNiiXXXX0X 故用算术平均值来预测作为估计值，误差平方和故用算术平均值来预测作为估计值，误差平方和最小。最小。第3页/共47页数列数列:1,2,2,3 :1,2,2,3 平均数为平均数为2 2数列数列:

2、1,2,2,5 :1,2,2,5 平均数为平均数为2.52.5数列数列:1,2,2,7 :1,2,2,7 平均数为平均数为3 3均值的缺点：均值易受极端值的影响，某个极端大均值易受极端值的影响，某个极端大值或极端小值都会影响均值的代表性。同时还影响值或极端小值都会影响均值的代表性。同时还影响其对集中趋势测度的准确性。其对集中趋势测度的准确性。第4页/共47页1122111211.kiikKkiiikkikiiiiX fX fX fXffXXfffff 其中其中Xi 表示第表示第i 组的组中值，组的组中值，fi表示第表示第i组的次数。组的次数。第5页/共47页工人一周生产零件数工人一周生产零件数

3、工人数工人数fi组中值组中值xixifi60以下以下75538560-702165136570-802575187580-901985161590以上以上895760合计合计80-6000例：某单位80工人一周生产零件数的分组统计资料如下表：1 12211216000:7580kiikkikkiix fx fx fx fXffff则加权算术平均为第6页/共47页 将数据观察值将数据观察值x x1 1,x,x2 2,x,xn n按其变量值由小到按其变量值由小到大的顺序排列，大的顺序排列，处于数列中点位置的数值就是中位处于数列中点位置的数值就是中位数（数（M Me e）。 中位数的确定方法：中位数

4、的确定方法：如果数据个数为如果数据个数为奇数奇数，则处于则处于（n+1)/2n+1)/2位置的位置的标志值是中位数。标志值是中位数。如果数据个数为如果数据个数为偶数偶数，则处于则处于n/2n/2、n/2+1n/2+1的两的两个标志值的平均数为中位数。个标志值的平均数为中位数。第7页/共47页 中位数是中位数是n/2n/2位置上的数值，设落在第位置上的数值，设落在第i i组组, , L Li i是中位数所在组的下限，是中位数所在组的下限， f fi i是中位数所在组的次数。是中位数所在组的次数。 F Fi-1i-1是中位数所在组的前一组的累积次数是中位数所在组的前一组的累积次数 U Ui i-L

5、-Li i是中位数所在组的组距是中位数所在组的组距 = =上限上限- -下限下限112()2()ieiiiiieiiiinFMLULfnFMUULf 向上累积向上累积向下累积向下累积第8页/共47页某单位80工人一周生产零件数分组统计资料如下：工人一周生工人一周生产零件数产零件数工人数工人数fi组中值组中值xixifi向上累计频向上累计频数数向下累计频向下累计频数数60以下75538578060-7021651365287370-8025751875535280-9019851615722790以上895760808合计80-6000-第9页/共47页11118040,28,27,70,80,

6、252240282()701074.82540272()801074.825iiiiiieiiiiieiiiinFFLUfnFMLULfnFMUULf 中位数是位置平均数，不受极端值的影响。各个数中位数是位置平均数，不受极端值的影响。各个数值相对其中位数的绝对离差之和为最小。值相对其中位数的绝对离差之和为最小。 不足：中位数确定时只与中间位置的相关数据有关，不足：中位数确定时只与中间位置的相关数据有关，而不考虑其它数值的大小，缺乏敏感性；计算复杂。而不考虑其它数值的大小，缺乏敏感性；计算复杂。第10页/共47页第11页/共47页10111011()()()()iiiiiiiiiiiiiiiif

7、fMLdffffffMUdffff 设众数在第设众数在第i i组，则组，则 L Li i是众数所在组的下限，是众数所在组的下限， U Ui i是众数所在组的上限；是众数所在组的上限； f fi i是众数所在组的次数。是众数所在组的次数。 d di i= U= Ui i-L-Li i是中位数所在组的组距是中位数所在组的组距 = =上限上限- -下限下限第12页/共47页某单位80工人一周生产零件数分组统计资料如下：工人一周生工人一周生产零件数产零件数工人数工人数fi组中值组中值xixifi向上累计频向上累计频数数向下累计频向下累计频数数60以下75538578060-70216513652873

8、70-8025751875535280-9019851615722790以上895760808合计80-6000-第13页/共47页1 2111011101125,19,70,80,10,()()2521701074(2521)(2519)()()2519801074(2521)(2519)iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiifffLUdffMLdffffffMUdffff 第14页/共47页第15页/共47页xMeMoxMeMoxMeMoXfXfXf(对称分布对称分布)正偏态分布（右）正偏态分布（右）负偏态分布负偏态分布(左）左）MexxxMeMeMoMoMo均值是数据分布的平衡点或

9、重心，中位数把这个分均值是数据分布的平衡点或重心，中位数把这个分布划分为两半，众数正好是分布的顶端。布划分为两半，众数正好是分布的顶端。第16页/共47页32MeMox 3(e)xMoxM23MoxMe 在偏斜不大时，中位数大约位于均值与众数的在偏斜不大时，中位数大约位于均值与众数的1/3处。处。 算术平均数适用于定距变量（或数值变量、算术平均数适用于定距变量（或数值变量、定量变量），中位数适用于定序变量，众数则适用定量变量），中位数适用于定序变量，众数则适用于定类变量（或定性变量）于定类变量（或定性变量）第17页/共47页1i/KKiiiiiNFLdf K Ki i表示第表示第i i个个K

10、K分位数；分位数； L Li i表示第表示第i i个个K K分位数所在组的下分位数所在组的下限；限；N N表示数据总个数；表示数据总个数；F Fi-1i-1表示第表示第i i个个K K分位数所在组的前一组分位数所在组的前一组的累积次数；的累积次数；f fi i是第是第i i个个K K分位数所在组的次数。分位数所在组的次数。d di i= U= Ui i-L-Li i是第是第i i个个K K分位数所在组的组距。分位数所在组的组距。 第18页/共47页1122nQ 位位置置LU434nQnQ 位位置置位位置置其中其中 表示中位数的位置取整。这样计算出的四分位数表示中位数的位置取整。这样计算出的四分

11、位数的位置，要么是整数，要么在两个数之间的位置，要么是整数，要么在两个数之间0.50.5的位置上的位置上四分位数的位置确定方法：四分位数的位置确定方法：方法方法1：定义算法：定义算法方法方法2：以中位数为中心，从两端再计算中位数，公式：以中位数为中心，从两端再计算中位数，公式：第19页/共47页L34nQ 位位置置314UnQ 位位置置 无论哪种算法，如果位置是整数，四分位数就无论哪种算法，如果位置是整数，四分位数就是该位置对应的值；如果是在是该位置对应的值；如果是在0.50.5的位置上，则取该的位置上，则取该位置两侧值的平均数；如果在位置两侧值的平均数；如果在0.250.25或或0.750.

12、75位置上，位置上，则四分位数等于该位置的下侧值加上按比例分摊位则四分位数等于该位置的下侧值加上按比例分摊位置两侧数值的差值。置两侧数值的差值。第20页/共47页【例例】：9个家庭的人均月收入数据个家庭的人均月收入数据(3种方法计算种方法计算) 原始数据原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排排 序序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位位 置置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9方法方法1：方法方法2：所以所以QL为从最小值数第为从最小值数第3个数值，即个数值，即850元；元； Qu为

13、从最为从最大值数第大值数第3个数值，即个数值，即1500元；元；LU93 92.256.7544QQ 位位置置位位置置L780(850780) 0.25797.5Q U1250(15001250) 0.751437.5Q 1911122322nQ位位置置第21页/共47页L393344nQ位位置置313*91744UnQ位位置置所以所以Q QL L为第为第3 3个数值，即个数值，即850850元；元； Q Qu u为为7 7个数值，即个数值，即15001500元；元； 可见三种方法计算的四分位数不完全相同。但对可见三种方法计算的四分位数不完全相同。但对他们的解释是一样的，即排序数据中，至少他们

14、的解释是一样的，即排序数据中，至少25%25%的数的数据小于等于据小于等于Q QL L，至少至少75%75%的数据小于等于的数据小于等于Q Qu u。原始数据原始数据: : 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排排 序序: : 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位位 置置: : 1 2 3 4 5 6 7 8 9第22页/共47页12NgNMx xx 举例：将一笔钱存入银行，存期举例：将一笔钱存入银行，存期1010年，以复利计息年，以复利计息，1010年的利率分配是：第年的利率分配是：第1 1年至第年

15、至第2 2年为年为5%5%、第、第3 3年至年至5 5年为年为8%8%、第、第6 6年至第年至第8 8年为年为10%10%、第、第9 9年至第年至第1010年年12%12%，计算平均年利率。，计算平均年利率。第23页/共47页102332105%108%110%112%1108 77% 18 77% 平均年利率 注意：当观测值有一项为注意：当观测值有一项为0 0或负值时，不易计算或负值时，不易计算几何平均数。几何平均数。第24页/共47页HM11111HNNiiiiNMXXN （1 1）具有倒数性质）具有倒数性质 例如某人前例如某人前1010公里以时速公里以时速5050公里行驶，后公里行驶，后

16、1010公里公里以以3030公里时速行驶。这公里时速行驶。这2020公里花了公里花了0.5330.533小时，所以小时，所以平均时速平均时速10+10237.510101150305030H 第25页/共47页11111HNNiiiiiiNMffXXN（2 2）总体单位数未知时，例）总体单位数未知时，例4.114.11（7171）加权调和平均数加权调和平均数第26页/共47页XMMgH第27页/共47页第28页/共47页maxminRxx 全距值越小，数据变动范围越小，平均数的代表全距值越小，数据变动范围越小，平均数的代表性越高；全距值越大，数据数据变动范围越大，平均性越高；全距值越大，数据数

17、据变动范围越大，平均数的代表性越低。数的代表性越低。第29页/共47页1.niixxADn11.niiiniixx fADf分组数据分组数据：未分组数据：未分组数据： 平均差越大，平均差越大，平均数代表性越低；平均数代表性越低； 平均差愈小，平均数代表性越高平均差愈小，平均数代表性越高第30页/共47页221()NiixxN 21()NiixxN 第31页/共47页2122)(XNXNiikiikiiiffXX1122)(总体方差的另一种表达方式：总体方差的另一种表达方式：21122)(XffXkiiNiii 总体方差愈大，数据的变动程度愈大，总体方总体方差愈大，数据的变动程度愈大，总体方差愈

18、小，数据的变动程度愈小。差愈小，数据的变动程度愈小。第32页/共47页221()1NiixxN 21()1NiixxN 第33页/共47页(,)xx(3 ,3 )xx(2 ,2 )xx第34页/共47页五、相对离中趋势五、相对离中趋势变异系数变异系数定义：变异系数又称离散系数，是标准差与均值的定义：变异系数又称离散系数，是标准差与均值的比值。比值。 公式：公式：对数据相对离散程度的测度对数据相对离散程度的测度消除了数据水平高低和计量单位的影响消除了数据水平高低和计量单位的影响用于对不同组别数据离散程度的比较用于对不同组别数据离散程度的比较.C Vx 第35页/共47页例例：C.V.甲3007.52.5%乙40092.25%x从从上看，甲的上看，甲的 更具代表性，通过更具代表性，通过C.V. ，乙不，乙不但但 高，而且各地块产量比甲农场稳定，因此乙的高，而且各地块产量比甲农场稳定，因此乙的 最具有代表性。最具有代表性。xxx第36页/共47页发挥比较稳定的运动员是塞尔维亚的亚斯娜发挥比较稳定的运动员是塞尔维亚的亚斯娜舍舍卡里奇和中国的郭文珺，发挥不稳定的运动员是卡