固体物理学第三章

1、第三章第三章 外场作用下晶体电子的外场作用下晶体电子的运动运动固体材料固体材料器件器件器件工作需要外加电磁场驱动其中的电子器件工作需要外加电磁场驱动其中的电子3.1 晶体中电子的速度晶体中电子的速度v 在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动当作 准经典粒子来处理。准经典粒子来处理。 222UVEm rrv 解含外场的波动方程解含外场的波动方程处理晶体中电子在外场中的运动所采用的方法：处理晶体中电子在外场中的运动所采用的方法：条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的 跃迁，不涉及电子的衍射和干涉等。

2、跃迁，不涉及电子的衍射和干涉等。电子的速度电子的速度：001kdxdEv kdtdk三维情况：三维情况：1E kv电子速度为电子速度为理解：理解：电子的平均速度与其能量和状态有关。电子的平均速度与其能量和状态有关。)()(kvkv由于由于E(k)=E(-k), 所以所以计算结果：计算结果：v 电子运动速度的大小与电子运动速度的大小与k的关系的关系以一维为例：以一维为例： 0dEdkl 在能带底和能带顶，在能带底和能带顶，E(k)取极值，取极值， 在能带底和能带顶，电子速度在能带底和能带顶，电子速度v0220d Edkl 在能带中在能带中 的某处，的某处，电子速度的数值最大电子速度的数值最大与自

3、由电子的速度总是随与自由电子的速度总是随能量的增加而单调上升是能量的增加而单调上升是完全不同的。完全不同的。v 电子速度的方向为电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向，即沿空间中能量梯度的方向，即沿等等 能面能面的法线方向。的法线方向。l 在一般情况下，在在一般情况下，在k空间中，等能面并不是球面，因空间中，等能面并不是球面，因 此，此，v的方向一般并不是的方向一般并不是k的方向；的方向；电子的运动方向决定于等能面的形状电子的运动方向决定于等能面的形状:l 当等能面为球面时，或沿某些特殊方向，当等能面为球面时，或沿某些特殊方向，v才与才与k的的 方向相同。方向相同。kxkykv功能原理：功能原

4、理：dtdEE d kF vk1E kv0ddt kFvl 当当F与速度与速度v垂直时，可由冲量定理证明在垂直于垂直时，可由冲量定理证明在垂直于v 的方向上，的方向上， 和外力和外力F的分量也相等。的分量也相等。ddtkddtkl 在平行于在平行于v的方向上，的方向上， 和和F的分量相等；的分量相等； 在外场中，电子所受的力为在外场中，电子所受的力为F，在，在dt时间内，外场时间内，外场对电子所做的功为对电子所做的功为dt F v3.2 电子在外电场作用下的加速度，有效电子在外电场作用下的加速度，有效质量，等能面质量，等能面这是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，具这是电子在外场作用下运动

5、状态变化的基本公式，具有与经典力学中牛顿定律相似的形式。有与经典力学中牛顿定律相似的形式。ddt kF k 电子的准动量电子的准动量v 晶体中的电子在碰撞过程中所贡献的动量为晶体中的电子在碰撞过程中所贡献的动量为 。 kv Bloch电子电子 ieu k rkkrr的行为类似于波长的行为类似于波长为为 的平面波，再由的平面波，再由de Broglie关系得其关系得其具有具有 的动量。的动量。 k2k一、电子的准动量一、电子的准动量由经典功能关系由经典功能关系 得：得：dtdpF/二、电子的加速度和有效质量二、电子的加速度和有效质量晶体中电子准经典运动的基本关系式：晶体中电子准经典运动的基本关系

6、式：1Eddt kvkF由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。1. 一维情况一维情况1dvddEadtdtdk221 dk d Edtdk222d EdkF引入电子的有效质量：引入电子的有效质量：222*d Edkm 在周期场中电子的有效质量在周期场中电子的有效质量m*与与k有关有关220d EdkE(k)取极小值，取极小值，E(k)取极大值，取极大值，220d Edk*dvFmdtv 在能带底：在能带底：v 在能带顶：在能带顶：m*0；m* 0；在能带顶：在能带顶：220d Edk电子从外场所获得的动量小于它交给晶格的动量，因而电子从外场

7、所获得的动量小于它交给晶格的动量，因而表现为具有表现为具有负的有效质量负的有效质量m*F晶晶时，时，m* 0；而当；而当F外外F晶晶时，时，m*几个几个eV常规半导体：如常规半导体：如 Si：Eg 1.1eV； Ge： Eg 0.7 eV GaAs： Eg 1.5 eV宽带隙半导体：如宽带隙半导体：如 SiC： Eg 2.3 eV 4HSiC： Eg 3 eV如如 Al2O3： Eg 8 eV；NaCl： Eg 6 eV广义的价带：广义的价带：导带导带空带空带空带空带价带价带价带价带EgEg导体导体几个概念几个概念：半导体半导体绝缘体绝缘体一、在一、在k空间中的运动图象空间中的运动图象设沿设沿

8、x方向加一恒定电场方向加一恒定电场，电子受力：，电子受力：F=e 沿沿+x方向方向这表明这表明电子在电子在k空间中的运动是匀速的空间中的运动是匀速的。由由dkedtE.dkeconstdtE 在准经典运动中，电子在同一能带中运动。电子在在准经典运动中，电子在同一能带中运动。电子在k空间中的匀速运动意味着电子的能量本征值沿空间中的匀速运动意味着电子的能量本征值沿E(k)函数曲函数曲线周期性变化，即电子在线周期性变化，即电子在k空间中做循环运动。空间中做循环运动。 三、布洛赫振荡三、布洛赫振荡 电子在电子在k空间中的循环运动，表现在电子速度上是空间中的循环运动，表现在电子速度上是v随随时间作周期性

9、振荡。时间作周期性振荡。电子速度的周期性振荡形成同周期的电子速度的周期性振荡形成同周期的交变电流，这一现象称为交变电流，这一现象称为布洛赫振荡布洛赫振荡。二、在实空间中的运动图象二、在实空间中的运动图象Ex=0AB C电子速度的周期性振荡也就是电子在实空间中的振荡。电子速度的周期性振荡也就是电子在实空间中的振荡。附加电势能：附加电势能：exEExexEv 由于电子在运动过程中不断受到声子、杂质和缺陷的由于电子在运动过程中不断受到声子、杂质和缺陷的 散射，上述的振荡现象实际上很难观察到。若相邻两散射，上述的振荡现象实际上很难观察到。若相邻两 次散射（碰撞）间的平均时间间隔次散射（碰撞）间的平均时

10、间间隔很小，电子还来很小，电子还来 不及完成一次振荡过程就已被散射。不及完成一次振荡过程就已被散射。在晶体中：在晶体中： 10121013 s，a 31010 m为了观察到电子振荡的全过程，要求为了观察到电子振荡的全过程，要求 Tl 对金属：无法实现高电场对金属：无法实现高电场满足要求所需加的电场满足要求所需加的电场 ： 104 105 V/cml 对绝缘体：将被击穿对绝缘体：将被击穿2aee aT简约区的宽度电子在 空间的速度k电子振荡周期：电子振荡周期：四、空穴四、空穴半导体价带上的一个电子跃迁到空带后半导体价带上的一个电子跃迁到空带后,满带中出现一个空位。满带中出现一个空位。空 带价带D

11、Eg热激发热激发价带出现空位的结果：价带出现空位的结果：价带不再是满带，价带也可以导电。价带不再是满带，价带也可以导电。波矢为波矢为ki的电子不再有的电子不再有- ki 的电子速度相抵消。假设此时电流密度为的电子速度相抵消。假设此时电流密度为j0)()(ikvej)(ikevj 相当于一个具有正电荷相当于一个具有正电荷e以同一速度以同一速度v运动的粒子形成的电流，运动的粒子形成的电流，这一粒子称为这一粒子称为空穴空穴。价价 带带空 带DEg=2.42eV这相当于产生了一个带正电的粒子这相当于产生了一个带正电的粒子(称为称为“空穴空穴”) 。电子和空穴总是成电子和空穴总是成对出现的。对出现的。空

12、穴的有效质量：空穴的有效质量：在三维情形，价带中波矢为在三维情形，价带中波矢为 、速度为、速度为 的电子被激发的电子被激发至导带后在价带中即产生速度为至导带后在价带中即产生速度为 的空穴。其波矢也是的空穴。其波矢也是ik)(ikv)(ikvik对价带顶附近各向同性的能带，电子加速度为：对价带顶附近各向同性的能带，电子加速度为：)(1*emdtdvee下标下标e表示电子，如将空穴速度表示为表示电子，如将空穴速度表示为hv)(1)()(*emdtdvkvkveheh在价带顶附近在价带顶附近 ，如在上式中引入，如在上式中引入 0*em*0hhehmedtdvmm显然显然 可视为空穴的有效质量。可视为

13、空穴的有效质量。*hm空穴的性质：空穴的性质：能带中波矢为能带中波矢为k的空穴系由同一能带中波矢为的空穴系由同一能带中波矢为k的电的电 子缺失而产生。子缺失而产生。速度即为电子未缺失时在此能带中的速度。速度即为电子未缺失时在此能带中的速度。在外电场作用下表现为荷单位正电荷、具有正有效质量在外电场作用下表现为荷单位正电荷、具有正有效质量的粒子。的粒子。物理现象物理现象或实验结果或实验结果物理模型物理模型决定因素决定因素结果与预言结果与预言验验 证证修修改改理论解释理论解释3.4 金属的电导金属的电导Sommerfeld的自由电子论的自由电子论v 电子在运动中存在一定的散射机制。电子在运动中存在一

14、定的散射机制。n 金属自由电子模型金属自由电子模型v 电子在一有限深度的方势阱中运电子在一有限深度的方势阱中运 动，电子间的相互作用忽略不计；动，电子间的相互作用忽略不计； v 电子按能量的分布遵从电子按能量的分布遵从FermiDirac统计；统计；v 电子的填充满足电子的填充满足Pauli不相容原理；不相容原理；金属中电子的运动方程及其解金属中电子的运动方程及其解2202VEm V0：电子在势阱底部所具有的势能，取：电子在势阱底部所具有的势能，取V0 0。令令222mEk 有有220k1. 运动方程运动方程方程的解：方程的解： iAe k rkrA：归一化因子，由归一化条件确定：归一化因子，

15、由归一化条件确定电子的能量：电子的能量： 222kEm k(V)1d *kkV: 金属的体积金属的体积1VA 1expVi krk r ：电子波矢：电子波矢 k金属中电子的波函数和能量：金属中电子的波函数和能量：金属中原胞的总数：金属中原胞的总数： N N1 N2 N311expexpVVii Nk rkraexp1i kaN2. 周期性边界条件周期性边界条件h为整数为整数2 h kaN设设N 是金属沿基矢是金属沿基矢 （ 1，2，3）方向的原胞数，）方向的原胞数，a周期性边界条件：周期性边界条件： ， 1, 2, 3 kkrraN令：令：123123 kbbb123123 kabbbaNN2

16、2 hN123123123hhh kbbbNNNh为整数，为整数， 1, 2, 3hN123123111bbbbNNNN 33V.88abvconst NNk在在k空间中，电子态的分布是均匀的，分布密度只与金空间中，电子态的分布是均匀的，分布密度只与金属的体积有关属的体积有关38abv在在 空间中，波矢空间中，波矢 的分布密度为的分布密度为 k k每一个量子态在每一个量子态在 空间中所占的体积为：空间中所占的体积为： kn 量子统计基础知识量子统计基础知识v 经典的经典的Boltzmann统计：统计： expBEf Ek Tv 量子统计：量子统计： FermiDirac统计和统计和BoseEi

17、nstein统计统计玻色子：自旋为整数玻色子：自旋为整数n的粒子（如：光子、声子等），的粒子（如：光子、声子等）， 玻色子遵从玻色子遵从BoseEinstein统计规律，统计规律， 玻色子不遵从玻色子不遵从Pauli原理。原理。费米子：自旋为半整数（费米子：自旋为半整数（n1/2） 的粒子（如：电子、质的粒子（如：电子、质 子、中子子、中子 等），费米子遵从等），费米子遵从FermiDirac统计规统计规 律，费米子的填充满足律，费米子的填充满足Pauli原理。原理。一、费米分布函数一、费米分布函数FE称为费米能级称为费米能级费米分布函数费米分布函数T0时电子的分布时电子的分布T0时，电子的分

18、布函数为时，电子的分布函数为f(E) =1 E EF00 E EF0EEF001f(E)T0022FFmEk 费米半径费米半径FFFPkmV 费米动量费米动量2202FFkEm 费米能费米能FFkVm 费米速度费米速度费米球费米球T0K时所有包含在以时所有包含在以k空间原点为中心、半径为空间原点为中心、半径为/2FFmEk的球面内的波矢的端点均为被占电子状态的球面内的波矢的端点均为被占电子状态的代表点，球面以外的波矢代表的状态则是空的，即的代表点，球面以外的波矢代表的状态则是空的，即电子均分布于球内，这一球称为电子均分布于球内，这一球称为费米球费米球。EEF的等能面称为的等能面称为费米面费米面

19、。KT0虽然金属中有大量的自由电子，但是，虽然金属中有大量的自由电子，但是，决定金属许多决定金属许多性质的并不是其全部的自由电子，而只是在费米面附性质的并不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的那一小部分。近的那一小部分。元素元素EF0 (eV)TF (104K)元素元素EF0 (eV)TF (104K)Li4.725.48Mg7.138.27Na3.233.75Ca4.685.43K2.122.46Sr3.954.58Rb1.852.15Ba3.654.24Cs1.581.83Zn9.3910.90Cu7.008.12Cd7.468.66Ag5.486.36Al11.6313.49Au5.

20、516.39Ga10.3512.01Be14.1416.41In8.609.98一些金属元素费米能与费米温度的计算值一些金属元素费米能与费米温度的计算值由于由于散射作用散射作用，这一移动不会持续进行，而是稳定在，这一移动不会持续进行，而是稳定在一、金属电导率一、金属电导率当施以外加电场时，所以电子的波矢在当施以外加电场时，所以电子的波矢在t t时间内均以时间内均以tekD)(1变化。即整个费米球由于外场作用而在变化。即整个费米球由于外场作用而在k空间位移空间位移 。k)(1ek为为平均自由时间平均自由时间，即平均而言相邻两次散射之间电子得以自由，即平均而言相邻两次散射之间电子得以自由运动的时间

21、。运动的时间。电子与晶格的碰电子与晶格的碰撞；电子与电子撞；电子与电子及杂质的碰撞及杂质的碰撞0k0无外场时电子平衡分布不产生电流；无外场时电子平衡分布不产生电流；设金属中电子数密度为设金属中电子数密度为n，则有外场时的电流密度为：，则有外场时的电流密度为：mnevenj2)(D由欧姆定律由欧姆定律 得金属得电导率：得金属得电导率：jmne /2可以理解为费米面处电子的平均自由时间，反映了只有费米可以理解为费米面处电子的平均自由时间，反映了只有费米面附近的电子，即能量接近费米能级的电子对电导才有贡献。面附近的电子，即能量接近费米能级的电子对电导才有贡献。能量比能量比EF低得多的电子，其附近的状

22、态仍被其他电子低得多的电子，其附近的状态仍被其他电子所占据，没有空状态来接纳它。因此，这些电子不能所占据，没有空状态来接纳它。因此，这些电子不能吸收电场的能量而跃迁到较高的能态，对电导作出贡吸收电场的能量而跃迁到较高的能态，对电导作出贡献，献，能被电场激发而对电导有贡献的只是在费米面附能被电场激发而对电导有贡献的只是在费米面附近的一小部分电子。近的一小部分电子。金属电阻率：金属电阻率：21nem 金属的电阻率来自电子在运动过程中受到声子、金属的电阻率来自电子在运动过程中受到声子、晶体中的缺陷和杂质的散射，因而与温度有密切关系。晶体中的缺陷和杂质的散射，因而与温度有密切关系。v 在高温下，当在高

23、温下，当T D时，时， Tv 在低温下，当在低温下，当T0；v 在能带顶：在能带顶：E(k)取极大值，取极大值，220d Edkm*0 2. 三维情况三维情况(理解）理解）222222222222211xxyxzyxyyzzxzyzEEEkkkkkEEEmkkkkkEEEkkkkk 22222222222221xxyxzxxyyyxyyzzzzxzyzEEEkkkkkvFEEEvFkkkkkvFEEEkkkkk 倒有效质量张量：倒有效质量张量：原因：原因：在三维情形，在三维情形，沿沿k空间的不同方向空间的不同方向一般有不同的色散关一般有不同的色散关系，电子的有效质量系，电子的有效质量比较复杂，

24、表现为一比较复杂，表现为一个二级张量。个二级张量。在主轴坐标系中：在主轴坐标系中：222222210000111000010000 xxyyzzEkmEmkmEmk1,xxxdvFdtm1,yyydvFdtm1zzzdvFdtm有效质量的物理解释：有效质量的物理解释：FmmFF外晶外电子有效质量电子有效质量 有效质量包含了周期场的影响，所以，有效质量有效质量包含了周期场的影响，所以，有效质量有别于电子的惯性质量。有别于电子的惯性质量。 有效质量有效质量m*既可以小于既可以小于m，也可以大于，也可以大于m，甚至还，甚至还可以为负值。这都取决于晶格力的大小与方向，即周期可以为负值。这都取决于晶格力

25、的大小与方向，即周期场对电子运动的影响。场对电子运动的影响。电子有效质量取正或负的原因？电子有效质量取正或负的原因？ 电子的有效质电子的有效质量和量和电子的准动量电子的准动量是两个人为引入的物理量是两个人为引入的物理量四、等能面四、等能面在倒空间中，方程在倒空间中，方程 E(k)=Ec 描写一曲面，称其为描写一曲面，称其为能量能量Ec的等能面。的等能面。n自由电子：自由电子：中心在中心在k空间原点、半径为空间原点、半径为 的球面。的球面。ccmEk21n 在晶体近自由电子情况下在晶体近自由电子情况下kxkyAC五、导体、绝缘体和半导体五、导体、绝缘体和半导体1、满带不导电、满带不导电在满带的情

26、形中，电子的运动不改变布里渊区中电子的分布，所以在外在满带的情形中，电子的运动不改变布里渊区中电子的分布，所以在外场作用下，满带中的电子不产生宏观电流。场作用下，满带中的电子不产生宏观电流。2、价带填充程度决定导电性、价带填充程度决定导电性 在外电场的作用下，能带中在外电场的作用下，能带中电子的对称分布被破坏，产生宏电子的对称分布被破坏，产生宏观电流，观电流，I 0 。3、导体、半导体和绝缘体、导体、半导体和绝缘体导带导带空带空带空带空带价带价带价带价带EgEg导体导体非导体非导体半导体半导体绝缘体绝缘体 ：106105( cm)102 109( cm)1014 1022( cm)4、布洛赫振

27、荡、布洛赫振荡（了解）（了解）5、空穴、空穴价价 带带空 带相当于产生了一个带正电的粒子相当于产生了一个带正电的粒子(称为称为“空穴空穴”) 。性质：性质：能带中波矢为能带中波矢为k的空穴系由同一能带中波的空穴系由同一能带中波矢为矢为k的电的电 子缺失而产生。子缺失而产生。速度为电子未缺失时在此能带中的速度。速度为电子未缺失时在此能带中的速度。在外电场作用下表现为荷单位正电荷、具有在外电场作用下表现为荷单位正电荷、具有正有效质量的粒子。正有效质量的粒子。六、金属的电导六、金属的电导1、费米分布函数、费米分布函数2、金属电导、金属电导mne /2 金属的电阻率来自电子在运动过程中受到声子、金属的电阻率来自电子在运