42.内切球问题

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(14-42):内切球问题(356) 923 内切球问题 母题(14-42):(2002年上海交通大学保送生考试试题)正四棱锥内接于半径为r的球,且外切于半径为r的球,求证:+1.解析:如图,设正四棱锥s-abcd的底边长为a,高se=h,外接球球心为o,则点o在se上(h-r)2+(a)2=r2r=;又由正四棱锥的体积v=a2h=a2r+4××arr=(=k)=(=t>1)=(t-1=x>0)=(x+2)+1.点评:多面体的内切球问题是球

2、的基本问题,与圆类比可建立内切球的母题模型如下:项目圆球模型1.定义:与多边形各边均相切的圆叫做多边形的内切圆;2.性质:任意三角形都有唯一的内切圆,内切圆的圆心到各边的距离相等,等于内切圆的半径;内切圆的半径等于三角形面积的二倍除周长.1.定义:与多面体各面均相切的球叫做多面体的内切球;2.性质:任意四面体都有唯一的内切球,内切球的球心到各面的距离相等,等于内切球的半径;内切球的半径等于四面体体积的三倍除表面积. 子题(1):(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)正四面体内切球的体积是v,则它的外接球的体积是( ) (a)8v (b)27v (c)64v (d)4v解析:把正四

3、面体ab1d1d放置到如图所示的正方体中,则内切球的半径r=正方体的中心o到平面ad1d的距离=b1c;外接球的的半径r=b1cr=3r,即半径比=1:3体积比=1:27外接球的体积=27v.故选(b). 注:由该模型可得:棱长为a的正方体的内切球半径r=;与棱长为a的正方体各棱相切的球的半径r=a;棱长为a的正四面体的内切球半径r=a. 子题(2):(2013年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设正三棱锥的底面边长为1,侧棱长为2,求其体积和内切球半径.解析:在正三棱锥a-bcd中,由正bcd的边长为1正bcd外接圆的半径=,内切圆的半径=,又侧棱长为2正三棱锥的高ae=,斜高af=正三棱锥的体

4、积v=,正三棱锥的表面积s=+内切球半径r=. 924 母题(14-42):内切球问题(356) 注:由本题的解法可提炼出求多面体内切球半径的解法程序:首先求多面体的表面积s和体积v,由r=求半径; 子题(3):(2006年江西高考试题)如图,在四面体abcd中,截面aef经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心o,且与bc,dc分别截于e、f,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥a-befd与三棱锥a-efc的表面积分别是s1,s2,则必有( )(a)s1<s2 (b)s1>s2 (c)s1=s2 (d)s1,s2的大小关系不能确定解析:连oa、ob、oc、od,则

5、va-befd=vo-abd+vo-abe+vo-afd+vo-befd,vaefc=vo-afc+vo-aec+vo-efc;又va-befd=va-efc,而每个棱锥的高都是原四面体的内切球的半径sabd+sabe+safd+s四边形befd=safc+saec+sefc,又aef公共面s1=s2.故选(c). 注:由内切球的性质:“多面体内切球的球心到各面的距离相等,等于内切球的半径”,把内切球的球心o与多面体的各顶点连接,可得一些棱锥,这些棱锥的高都是原多面体的内切球的半径,由此解决相关问题. 子题系列:1.(2006年山东高考试题)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )(a)1:

6、 (b)1:3 (c)1:3 (d)1:92.(1994年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球,无论怎样摇动盒子,小球在盒子中不能达到的空间的体积是 cm3(盒子的厚度不计).3.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)在一个棱长为5的正方体封闭的盒内,有一个半径等于1的小球,若小球在盒内任意地运动,则小球达不到的空间的体积的大小等于 .4.(2007年全国高中数学联赛吉林初赛试题)所有棱长都等于1的三棱锥的内切球的体积等于 .5.(1990年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)若正四面体有一个半径为2的内切球,则它的棱长为_.6.(2

7、003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)设有棱长等于a的正四面体a1,作它的内切球r1,再作r1的内接正四面体a2,接着再作a2的内切球r2和r2的内接正四面体a3,如此继续下去,得到无限多个正四面体,它们的体积之和等于 .7.(2000年全国高中数学联赛试题)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是 .8.(2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)一个球与正四面体的各个棱都相切,且球的表面积为8,则正四面体的棱长为 .9.(2013年全国高中数学联赛试题a)已知正三棱锥p-abc的底面边长为1,高为,则其内切球半径为 .10.(2012年全

8、国高中数学联赛福建初赛试题)已知正三棱锥p-abc底面正三角形的边长为2,内切球半径为-1,则三棱锥的体积为 .11.(2010年全国高中数学联赛江西初赛试题)若正三棱锥的内切球半径为1,则其体积的最小值为 .12.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)若正四棱锥的底面边长和棱长都等于a,则它的内切球的半径长是( ) (a)a (b)a (c)a (d)a13.(2011年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)若底边长为2的正四棱锥恰内切一半径为的球,则此正四棱锥的体积是 .14.(1983年全国高中数学联赛试题)一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形,这样两个

9、多面体的内切球半径之比是一个既约分数,那么积mn是 .15.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切,若该球的体积为,则该三棱柱的体积是 .16.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)在三棱锥s-abc中,侧棱sa,sb,sc两两垂直,sa=sb=4,sc=6,在三棱锥的内部有一个与三棱锥的四个面都相切的球,则此球的半径为 . 母题(14-42):内切球问题(356) 925 17.(2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)已知四面体abcd,ab=ac=ad=bc=bd=1,cd=,则该四面体的内切球半径等于 .1

10、8.(2009年全国高中数学联赛山东初赛试题)在正三棱锥p-abc中,有一半球,其底面与正三棱锥的底面重合,正三棱锥的三个侧面都和半球相切.如果半球的半径等于1,则正三棱锥的体积最小时,正三棱锥的高等于( )(a) (b) (c) (d)219.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)过四面体abcd的顶点d作半径为1的球,该球与四面体abcd的外接球相切于点d,且与平面abc相切.若ad=2,bad=cad=450,bac=600,则四面体abcd的外接球的半径r为 .20.(2008年全国高中数学联赛试题)一个半径为1的小球在一个内壁棱长为4的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球

11、永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 子题详解:1.解:由正方体的内切球半径r=,外接球半径r=r:r=1:体积之比=1:3.故选(c).2.解:设正方体的棱长为a,小球半径为r;在正方体盒子中,不能到达的部分可分为两类:角的空间:在一个顶点处,小球不能达到的空间是棱长为r的正方体切去小球的八个顶点处,小球不能达到的空间恰为图一中的内切于正方体(棱长为2r)的小球不能到达的空间体积v1=(2r)3-r3;棱的空间:在一条棱处,小球沿每条棱运动小球不能达到的空间是高=a-2r,底面是边长为r的正方形的正四棱柱切去底面半径为r高为a-2r的圆柱的四分之一四条棱处,小球不能达到的空间为图二中的内切

12、于正四棱柱的圆柱外的空间体积=(2r)2(a-2r)-r2(a-2r),又正方体有12条棱小球不能到达的体积v2=3(2r)2(a-2r)-r2(a-2r);综上,不能达到的空间的体积=v1+v2=12ar2-16r3-3(a-2r)r2-r3.本题中,小球在盒子中不能达到的空间的体积=56-. 3.解:同上题,小球达不到的空间的体积=44-.4.解:由r=a(a=1)=v=. 5.解:由r=aa=2a=4.6.解:设内切球r1的半径为r1,正四面体a2的棱长=a1,由r1=a,r1=a1a1=a正四面体a2与正四面体a1的体积比=;正四面体a1的体积v=a3体积之和=a3.7.解:把正四面体

13、放置到正方体中,设正方体的棱长=x,则2x2=a2,且球的半径r=r=av=a3.8.解:由球的表面积为8球的半径r=a=a=4.9.解:如图,正三棱锥p-abc的底面边长为a,高ph=h,则mh=apm=;正三棱锥p-abc的体积v=a2h=(a2+3a)rr=;本题中,r=.10.解:由a=2,r=-1,r=-1h=1v=. 926 母题(14-42):内切球问题(356) 11.解:由r=1,r=1(ah-a)2=a2+12h2a2h=12h+2a22a2h96,当且仅当12h=2a2a=2,h=4时,等号成立v=a2h8.12.解:由正四棱锥的底面边长和棱长都等于a正四棱锥的高h=ar

14、=a.故选(b).13.解:由a=2,r=,r=h=v=.14.解:由此六面体可看成是由两个正四面体粘成,每个正四面体的高h1=a,利用体积可得sh1=3sr1r1=a;同样,正八面体可看成两个四棱锥粘成,每个四棱锥的高h2=a, 由a2h2=4×a2r2r2=a=mn=6.15.解:由球的体积球的半径r=2三棱柱的高为4,底面面积=12v=48. 16.解:由侧棱sa,sb,sc两两垂直,sa=sb=4,sc=6vs-abc=16,ssab=8,ssbc=12,ssca=12,sabc=4r=.17.解:取ab的中点e,则ab平面cde,ce=de=scde=vabcd=;又sab

15、cd=+1r=.18.解:如图,o是正三棱锥底面中心,也是半球的球心,cd是正三棱锥底面的高,侧面pab与半球相切于点e,则oepd,oe=1,po=h,设pdo=(00<<900),则poe=h=;设正三棱锥底面三角形的边长为a,则od=a=a=正三棱锥的体积为v=;由sin4cos2=sin2sin2(2cos2)()3=sin2cosv=;当且仅当sin2=2cos2,即cos=时,上式取等号,即v取最小值,相应的h=.故选(b).19.解:过d作平面abc的垂线,垂足为h,作deab,垂足为e,dfac垂足为f,则heab,hfac,且有ae=af=adcos450=.hae=300,ah=2,dh=2,因此dh为半径为1的球的直径,从而四面体abcd的外接球的球心o在dh的延长线上,于是有r2=(r-2)2+(2)2,解得r=3.20.解:如图,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为r,作平面a1b1c1平面abc,与小球相切于点d,则小球球心o为正四面体p-a1b1c1的中心,po面a1b1c1,垂足d为a1b1c1的中心;由=pd=4odpd=4od=4rpo