初中数学竞赛常用解题方法(代数)

1、学习必备欢迎下载初中数学竞赛常用解题方法（代数）一、配方法例 1、化简x12 x2x1 2 x 2 .练习：若 ( xz)24( xy)( yz)0 ，试求 x+z 与 y 的关系。二、非负数法例 2、在实数范围内解方程xy 1z 21yz) .( x2三、构造法（1）构造多项式例 3、三个整数 a、b、 c 的和是 6的倍数 .，那么它们的立方和被6 除，得到的余数是 ()(A) 0(B) 2(C) 3(D) 不确定的（2）构造有理化因式例 4、已知 ( xx22002)( yy22002)2002.则 x23xy 4 y26x6y58_。（3）构造对偶式例 5、已知 、是方程 x2x1 0

2、的两根，则43的值是 _。（4）构造递推式例 6、实数 a、b、x、 y 满足 axby3 , ax2by27 , ax3by316 , ax4by 442 .求 ax5by5 的值 _。（5）构造几何图形例 7、（构造对称图形）已知a、 b 是正数，且 a + b = 2.求 ua21b24 的最小值_。练习：（构造矩形）若 a，b 均为正数，且a2b2 ， 4a2b2 ， a24b2 是一个三角形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于_。四、合成法例 8、若 x1 , x2 , x3 , x4 和x5 满足方程组学习必备欢迎下载2x1x2x3x4x50x12x2x3x4x512x1x22x

3、3x4x524确定 3x42x5 的值。x1x2x32x4x548x1x2x3x42x596五、比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法）例 9、 71427 和 19 的积被 7 除，余数是几？练习：设 abc0 ，求证： a2 ab2b c2 cab cbc a ca b .六、因式分解法 （提取公因式法、公式法、十字相乘法）anbn(ab)( an 1an2b.abn2bn1)anbn(ab)(an 1an2b.abn2bn1)例 10、设 n 是整数，证明数Mn33 n21 n 为整数，且它是3 的倍数。22练习：证明 993993991991能被 1984 整除。七、换元法（用新的

4、变量代换原来的变量）例 11、解方程 (8x7)2 (4x 3)( x 1)92练习：解方程xx11.111.1.八、过度参数法 （常用于列方程解应用题）例 12、一商人进货价便宜8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的x% 增加到 ( x10)% ， x 等于多少 ?九、 判别式法 （b24ac 判定一元二次方程 ax 2bx c0 的根的性质）例 13、求使 Ax22x4 为整数的一切实数 x.x23x3xy za练习：已知 x, y, z是实数，且y2z2 1a2x22学习必备欢迎下载求证： 0x2y2a,0z2a,03a .33十、韦达法 （韦达定理： x1x2bc,

5、 x1 x2）aa例 14： y 2y55十一、共轭根式法 （设 A 使含有根式的表达式，若存在另一个不恒等于零的表达式 B，使乘积 AB 不含根式，则称 B 为 A 的共轭根式）例 11、设 a,b 分别表示31的整数部分与小数部分， 求 a2(17) ab 的值为 _ _。7练习：求不超过(75) 6 的值的最大整数为_。十二、反证法例 12、已知 a， b， c 为实数，设 A a22b, B b22c,Cc22a236证明： A， B， C 中至少有一个大于零。练习：命题“如果a，b 都是无理数，那么ab 也是无理数”是否正确，如果正确，试给予证明；如果不正确，试说明理由.代数常用的四

6、种解题方法数学离不开思维。学习效果的大小，取决于思维活动的发展与思维能力的发挥。而思维方法是思维的钥匙，有了科学的思维就能从总体上把握事物的本质联系。从而，有效地提高发现问题和解决问题的能力。很多学生天天做练习，但成绩就是不理想。为什么呢？主要原因就是没有吃透教材的基本原理，就是没有掌握解题的科学方法。掌握方法， 是攻克难题的有力武器，只有掌握方法，才能触类旁通，举一反三。不管遇到什么难题，都能得心应手，迎刃而解。那么在初中代数中有那些常用的解题思维方法呢？一、待定系数法用一个或多个字母来表示与解答有关的未知数，这些字母就叫待定系数法。待定系数法是一种最基本的数学方法,这个方法多用于多项式运算

7、、方程和函数方面较多。例如：例1试用关于（x-1）的各次幂表示多项式2x34x23x5 。解：设2x34x23x52( x1)3a( x1)2b(x1)c 。因为上式是恒等式，所以不学习必备欢迎下载论 x 取什么数，两边都应相等，据此可设x1 ，代入上式得c4 ，x0，代入上式得52ab2x2，代入上式得1616 652a bc.联立上面三个式子解得a2 ,b1,c4 2x34x23x 52( x1)32( x1)2( x1) 4。这道例题在求待定系数时运用了特殊值法。要尽量减少待定系数的个数，比如可以断定 (x1)3 的系数是 2，就没有必要再将( x1)3 项的系数设为待定系数了。例 2

8、根据二次函数的图象上（-1， 0）、（3 ，0）、（ 1， -5）三点的坐标，写出函数的解析式。解：由题设知，当x1 和 x3 时 ,函数 y 的值都等于 0.故设二次函数的解析式为ya(x1)(x3) ,把（ 1， -5）代入上式 ,得 a5,4故所求的解析式为y5 (x 1)(x 3)5 x25 x15.4424这道例题告诉我们用待定系数法确定函数式时要讲究一些解题技巧.此题若设所求二次函数的解析式为yax2bxc ,用待定系数法,把已知的三点代入,得到一个三元一次方程组,进而求出三个待定系数a, b, c ,这种解法运算量较大.二、配方法配方 ,一般是指在一个代数式中通过加减相同的项,把

9、其中若干项变形为n 次幂形式的项.这是恒等变形的重要方法之一.因为它有广泛的迁移意义。举例如下：例 3 分解因式（1） x4 64（2） b22ab3a24a1解：（ 1） x464= ( x416x264) 16 x2( x28)2(4 x) 2(x24x 8)( x24x 8)（2） b22ab 3a24a1学习必备欢迎下载(b22ab a2 ) (4a24a1)(ba) 2(2a1)2(ba2a 1)(b a 2a 1)(ba1)(b3a 1)例 4已知 n 为正整数，且 474n41998 是一个完全平方数，则n 的一个值是。（第九界“希望杯”赛试题）解：设 474n419982142

10、2n2399621422n23996(2 72x )2将 (27 2x )2 展开后得(2 72x )22142 27 2x22 x由、得 21422n2399621428 x22 x比较两边的指数，得8+x=2n,8 + x = 3 9 9 62x3996.或者2x2n .解之得n1003或者n3988。此题有两解，所以任意填其中的一个都行。三、换元法把一个简单的含变元的式子替换一个较为复杂的含变元的式子，从而使问题得以简化。这样的方法就叫做换元法。换元法是数学中重要的解题方法，根据问题的特点， 进行巧妙的换元，往往可以化繁为简，化难为易，收到事半功倍的功效，现举例说明。例 5化简19963

11、19971995199719962。（第七界“希望杯”赛培训试题）1996319951997199519962解：设1996 为 a ，则 1997= (a1) ， 1995= (a1) ，所以，原式a3(a1)(a1)(a1)a2a3(a1)(a1)(a1)a2a3a21a3a2a3a21a3a2111例 6 解方程组 x2 xy y2 36, 3x xy 3y 0.学习必备欢迎下载xyu,解：令 xyv.代入方程组中，得u2 3v 36,3u v 0.u12,u3,解得 v36.和 v9.代入式中，得xy 12,x y3, xy 36. xy9.分别解之，得x6,x3 3 5,2 y6. y335.2显然，这些例题运用了换元法就变的简捷了。四、同一法同一法属于间接证法， 它的理论依据分别是逻辑学中的同一律与矛盾律和排中律。 同一法就是应用 “同一法则” 进行证明的方法。 同一法则是如果两个互逆的命题的条件和结论所关联的事物是唯一存在的，那么两个命题同时为真，或同时为假。例如：例 7 设 a , b, g 都是锐角，它们的正切依次是1,1,1。258求证： a + b +g =45o 。tga + tg b1+17tg()25证明：，以及 a , b 都是锐角。Qa +b=1=1 -tg a tg b1-192?5Q ( a +