完整版高中数学基本不等式题型总结

1、专题基本不等式编者：高成龙专题基本不等式【一】基础知识基本不等式：ab2 ab a0,b0（ 1）基本不等式成立的条件：；（ 2）等号成立的条件：当且仅当时取等号 .2. 几个重要的不等式2ab（ 1） aba,br ；（ 2） a+b2ab a0,b0 ；4【二】例题分析【模块 1】“ 1”的巧妙替换【例 1】已知 x0, y 0 ，且 x y341.，则x的最小值为4y【变式 1】已知 x0, y 0 ，且 x y34x.，则x的最小值为4y【变式 2】（ 2013 年天津） 设 a b2,b 0 ， 则1| a | 的最小值为.2 | a |b212b 的最小值为.【例 2】（ 2012

2、 河西） 已知正实数 a,b 满足1 ，则 aab212b ab 的最小值为.【变式】 已知正实数 a,b 满足1，则 aab第 1页专题基本不等式编者：高成龙【例 3】已知 x0, y0 ，且 2x8yxy0 ，则 xy 的最小值为.【例 4】已知正数x, y 满足 x2 y1，则 x8y 的最小值为.xy【例 5】已知 a0, b 0 ，若不等式 21m总能成立，则实数m 的最大值为.ab2ab【例 6】（ 2013 年天津市第二次六校联考）已知直线2ax by1 a,b 0 与圆 x2y21相交于 a, b 两点， o 为坐标原点，且 aob为直角三角形，则12的最小值为.2b2a第 2

3、页专题基本不等式编者：高成龙【例 7】（ 2012 年南开二模） 若直线 2ax by2 0 a0,b 0 始终平分圆 x2y22x 4 y 1 0 的周长，则11.a的最小值为b【 例 8 】设 e1 ,e2 分别为具有公共焦点f1 , f2 的椭圆和双曲线的离心率，p 为两曲线的一个公共点，且满足uuuruuuur0 ，则 4e12e2 的最小值为pf1pf22【例 9】已知 x0, y0,lg 2xlg 4 ylg 2 ，则11的最小值是（）xya 6b 5c 3 2 2d 4 2【例 10】已知函数 f x4x1 ，若 x1 0, x20 ，且 f x1f x2 1，则 f x1x2

4、的最小值为.4x1第 3页专题基本不等式编者：高成龙【模块二】 “和”与“积”混合型【例 1（】 2012 年天津）设 m, nr , 若直线 l : mxny 10 与 x 轴相交于点 a, 与 y 轴相交于 b，且 l 与圆 x2y24相交所得弦的长为 2 ， o 为坐标原点，则aob 面积的最小值为.【例 2】设 x, yr ， a1,b1 ，若 axby2， a2b8 ，则 11 的最大值为 _.xy【例 3】若实数 x, y 满足 x2y2xy1 ，则 xy 的最大值为.【例 4】（ 2013 年南开一模）已知正实数a, b 满足 ab2ab1，则 ab 的最小值为.第 4页专题基本

5、不等式编者：高成龙【例 5】设 m, nr ，若直线 m 1 xn 1 y20 与圆x 122n 的取值范围是 （）y 11相切，则 m（ a）13,13（ b）,1313,（ c）22 2,22 2（ d）,22 2222,【例 6】已知 x1, y 1 ，且 1 ln x, 1,ln y 成等比数列，则xy 的最小值为.44【例 7】（ 2015 天津） 已知 a0, b0, ab8, 则当 a 的值为时 log2 a log 22b 取得最大值 .【例 8】（ 2011 年天津） 已知 log 2 alog 2 b1 ，则 3a9b 的最小值为.第 5页专题基本不等式编者：高成龙【例 9】下列说法正确的是（）a函数 yx2 的最小值为 2 2x2b函数 ysin xx) 的最小值为 2 2(0sin xc函数 yx2的最小