数学思想方法(201408012)

1、数学思想方法数学思想方法华中师范大学数学与统计学学院胡典顺E-mail：湘南学院，2014，08，12 思考一个小数数学试题中的问题：请用一句话说明“”的含义。 的含义是圆周率。 （） 标准答案是：是一个在数学及物理学领域普遍存在的数学常数。 一项调查 魔鬼，难打败的憎恨者； 数学是杀死脑细胞的工具； 数学是学不会的科目，很难，很难，难上加难； 脑细胞的灭绝师太； 满清十大酷刑； 看似简单，学起来难；听课容易，做题难；平时测验有高分，大型考试高分难；抽象难以变详细； 数学是一门伟大而神奇的学科，对于一些人而言，它是天堂，对于我而言，它是地狱！ 数学就像老奶奶的拐杖，没有它，老奶奶仍然可以行走，

2、但是不安全，不方便，拥有它，则更加便利； “买菜时最广泛的语言” ； 数学是150分，没定义，为了高考，为了父母的期望，为了上个好大学，要不然，打死我，我也不学。 小时候，数学是生活中的必须品，我离不开它，它也离不开我。后来啊，数学变成生活中的小包袱，我背着它，它压制我。现在，数学成了生活中的绳索，它捆绑我，我一心只想逃离，因为要高考。也许，它还是暴风雨，将我对学习的热情，扼杀在摇篮里。 数学，你是个坏蛋，你害我脑细胞不知死了多少。我美好的青春年华就毁在你的手上，你很能耐呀！你总是打破别人的梦，你为什么要做个人见人恨，人做人更恨的家伙呢？如果没有你，我将笑得多灿烂呀！如果你离开我，我绝不责怪你

3、无情，只要你理解我的心，我就知足了。数学课应该怎样上 不照本宣科，不拼命做题，有诗意，有笑声，不会让我们常觉得：你必须这样做，而是明白：为什么要这样做。 告诉我们如何能有正确的思路，而不是你要这样想。 把数学放在历史发展的角度进行发人深省的启迪。 互动，有激情，以学生为主体。 将数学与生活结合起来，讲有关数学的趣事。 从游戏到数学 游戏1：拿15点游戏 桌子上有9张扑克牌，从1点到9点，甲、乙两人轮流来取，哪个人先取得3张牌，使3张牌的点数加起来是15，他便胜了。 游戏2：有69块糖，甲乙两人轮流拿，每人每次可取不多于10的任意数（但不能不拿），谁取完糖使对方无糖可取为胜。如果让甲先取，问谁能

4、获胜，怎样才能获胜？形形色色的加法 1.在实数系里，有理数系里，整数系里，1+1=2。 2.电灯的拉线开关，拉一下，灯亮了，又拉一下，灯又灭了，拉两下等于不拉，这叫1+1=0。 3.操场上的口令：立正，向右转，向后转，向左转。向右转+向左转=立正，向左转+向后转=向右转。+012300123112302230133012记立正=0，向右转=1，向后转=2，向左转=3。叫“模4同余类的加法” 把“+”当成乘法来做，所得的积再除以7，余数就叫做和。+123456112345622461353362514441526355316426654321共同特征 1.每一个系统与一个基本集合有关。(1)实数

5、集，有理数集，整数集；(2)两个动作“拉”与“不拉”；(3)4个口令；（4）1，2，3，4，5，6。 2.给定集合中的两个元素，可以唯一地确定集合中的某元素，这叫在集合上规定了一种运算，用“+”或其他符号表示。 3.结合律(a+b)+c=a+(b+c)，交换律a+b=b+a。 4.零元素“0”，x+0=0+x=x。(1)中0，(2)中不拉动，(3)中立正；（4）1。 5.负元素，x+X=X+x=0。 加以抽象可得到交换群的定义。第一节第一节 数学思想方法的内涵数学思想方法的内涵 所谓所谓数学思想数学思想是指从具体的数学内容中提是指从具体的数学内容中提炼出来的对数学知识的本质认识，它在数炼出来的

6、对数学知识的本质认识，它在数学认识活动中被普遍使用，是建立数学理学认识活动中被普遍使用，是建立数学理论和解决数学问题的指导思想。论和解决数学问题的指导思想。比如，化归思想、极限思想、公理化思想等。 所谓所谓数学方法数学方法是指研究数学问题过程中所是指研究数学问题过程中所采用的手段、途径、方式等。采用的手段、途径、方式等。比如变量代换方法、解析法等。 数学思想和数学方法是紧密联系的，两者虽层次不同但它们之间并没有绝对的界限，因此常统称为数学思想方法。 一般说来，强调指导思想指导思想时称数学思想，强调操作过程操作过程时称数学方法。 中小学数学中用到的各种解题方法，都是体现着一定的数学思想的。同时，

7、有的解题方法和思想可以说是等同的，只是在不同的情况下或侧重于不同的方面，才有“方法”与“思想”提法之别，例如：“公理化方法”与“公理化思想”。当然，中小学数学中由于解题方法的层次性，有的方法通常不宜简单直接冠以“思想”的雅号。 例如，“配方法”倘若冠以“配方思想”就与我们所定义的思想不那么相称。鉴于中小学数学中的解题方法与数学思想的这种特殊关系，以及从数学方法论的角度来考虑既同一又有差异，或没有明确界限的数学思想和数学方法中，我们在中小学数学教学中一般仍笼统使用“数学思想方法”一词。 第二节第二节 数学思想方法的教学途径数学思想方法的教学途径渗透渗透 一般来说，数学思想方法的教学要采取“渗透”

8、的方式进行。 所谓“渗透”，就是有机地结合数学内容的教学，采用“教者有意、学者无心”的形式，反反复复地向学生介绍数学思想方法，日积月累，期待学生的认识飞跃。 第一，从数学知识内容与数学思想方法的关系来看，思想方法隐含在知识内容中，体现在揭示、应用知识的过程中，它不象知识那样可以具体地编排在某一教材，它几乎渗透在所有的教学内容之中。 第二，从学生的认识规律来看，学生掌握数学思想方法要经历较长时间从模糊到清晰的过程，也就是说学生对思想方法的认识不可能一次完成。 第三，从学生的个体差异来看，不同的学生掌握数学思想方法比理解知识和形成技能更加参差不齐，更加不同步。 数学思想是数学内容的进一步提炼和概括

9、，是以数学内容为载体的对数学内容的一种本质认识，因此是一种隐形的知识内容，要通过反复体验才能领悟和运用。 数学方法是处理、解决问题的一种方式、途径、手段，是对变换数学形式的认识，同样要通过数学内容才能反映出来，并且要在解决问题的不断实践中才能理解和掌握。 因此在数学课本中即使是直接指出“思想”、“方法”也不一定能起到应有的作用。于是沟通课本与学生的认识，使学生领悟、理解、掌握、运用数学思想方法就需要通过精心的教学设计和课堂上的教学活动过程，在教师的主导、学生的参与下去完成。 具体地说，设计数学思想方法的教学过程应包括“多次孕育、初步形成、应用发展多次孕育、初步形成、应用发展”三个阶段。 渗透思

10、想方法，重在细水长流 。第三节第三节 渗透数学思想方法的教学意义渗透数学思想方法的教学意义 数学思想方法作为数学知识内容的精髓，是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学的精神与态度、数学的观点与文化。 日本数学教育家米山国藏认为，“学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会之后，几乎没有什么机会应用。因而这种作为知识的数学，通常在出校门不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用” 数学的精神、思想与方法 数学思想方法是处理数学问题的推导思想和基本策略，是数学的灵魂。因此，引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数

11、学思想方法，是使学生提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学，运用数学的重要保证。 从宏观意义上来说，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力。 从微观意义上来说，在我们的数学教学和数学学习中，只有从知识和思想方法两层面上去教和学，使他们从整体上，从内部规律上掌握系统化的知识，以至蕴含于知识中以知识为载体的思想方法，才能形成良好的认知结构，也才能有助于学生的主动建构，最终达到提高学生洞察事物，寻求关系，解决问题的思维品质和各种能力，培养现代社会需要的智能型人才。 几个例子从烧水到三次方程的求解 匈牙利著名数学家路莎彼得（Rozsa Peter）在她的名著无穷的玩艺一书

12、中曾对“化归方法”作过生动而有趣的描述： “如上所述的推理过程，对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题。当然，从陈旧的实用观点来看，以下的一个比拟也许是十分可笑的，但这一比拟在数学家中却是广为流传的： 现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在你面前，当你要烧水时，你应当怎样去做呢？往水壶里注满水，点燃煤气，然后把水壶放在煤气灶上你对问题的回答是正确的。现把所说的问题稍作修改，即假使水壶里已经装满了水，而所说问题中的其他情况都不变，试问，此时你应该怎样去做？此时被问者一定会大声而颇有把握地说：点燃煤气，再把水壶放上去。他

13、确信这样的回答是正确的，但是更完善的回答应该是这样的：只有物理学家才会按照刚才所说的办只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：只须把水壶中的水法去做，而数学家却会回答：只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了。倒掉，问题就化归为前面所说的问题了。 从这段话可以看出，化归方法已经成为了数学家们最典型的思维模式了”。 笛卡尔的“万能方法万能方法”（一般模式）： 第一，把任何问题化归为数学问题；第二，把任何数学问题化归为代数问题；第三，把任何代数问题化归为方程式的求解。 由于求解方程问题是已经解决或较为容易解决的，因此，在笛卡尔看来，就可利用上述方法解决任何类型的问题，故

14、称其为“万能方法”。 不容置疑，他所阐述的上述化归原则事实上已成为他赖以创立解析几何的思想方法基础。 解一元三次方程：x3+px+q=0。33333333332332:,()()0,(3)(3)0,3,:0(1)3(2)1(2).27,10,.27:0 xuvuvuv pquuvp uuvp vvquvpuvuvquvpu vpuvyqypaxbxcxd 解 令则原方程变形为即从而 如果取对这样选择的 和 就有由有因此由韦达定理知和 就是一元二次方程的解 从而原问题获得解决注 由于一般的三次方程总(),.3byxa可以转化成上述特殊类型令即可 从而三次方程的求解问题也就彻底解决了第四节 数学思

15、想方法的教学内容对应思想方法 对应是人们对两个集合元素之间的联系的一种思想方法，中小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。符号化思想方法 用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式等。类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形

16、面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等 。分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。 如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。集合思想方法 集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问

17、题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法。数形结合思想方法 数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。化归思维方法 把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归”。而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高

18、无疑是有很大帮助。数学模型思想方法 所谓数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。培养学生用数学的眼光认识和处理周围事物或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。整体思想方法 对数学问题的观察和分析从宏观和大处着手，整体把握化零为整，往往不失为一种更便捷更省时的方法。假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设

19、思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。第五节 中学数学教学中数学思想方法的渗透符号思想 请你想好一个数记在心里。现在将它加5，然后乘以2，再减去4，再除以2，然后减去你记在心里的那个数。结果得到的数是什么？请你算出来，但不要告诉我，因为我已经知道它是什么了。请你猜我是怎么知道的。（美国问题） 请你进行如下操作： 写下你出生的月份（比如：如果出生在十月，写下你出生的月份（比如：如果出生在十月，就写下一个就写下一个1010）。将这个数字翻倍，然后加）。将这个数字翻倍，然后加上上6 6，用，用5050乘这个新的数。然后，加上出生乘这个新的数。然后，加上

20、出生那天的日期数（比如：如果那天的日期数（比如：如果1010月月2020号出生，号出生，则加上则加上2020）。最后，减去）。最后，减去365365。 现在，请你告诉我你计算的最后结果，我就可以知道你的生日了。（美国问题） 奥妙在哪里：从特殊到一般用m代表某人的出生月份，用d代表出生的天数，对于一个生日是10月20日的人，关于那个特殊日期以及一般情况而言，问题的步骤如下： 说明特殊一般写下月份10m数字乘以2202m加上6262m+6乘以50130050(2m+6)=100m+300加上生日日期1320100m+300+d减去365955100m-65+d私自加上651020100m+d A、

21、B、C、D四名选手即将进行100米决赛。甲、乙、丙三人猜测比赛结果。甲说“A第1名，B第3名”。乙说“C第1名，D第4名”。丙说“D第2名，A第3名”。比赛结果他们分获14名。而且甲、乙、丙三人都只猜对了一半。你知道比赛的结果吗? 我们用字母的下标1，2，3，4来表示该选手的名次，例如用A1表示A第1名，等等。由于已知甲、乙、丙三人所猜都各有一项为真，因此有A1+B3=1，C1+D4=1，D2+A3=1。于是有(A1+B3)( C1+D4)( D2+A3)=1。 则A1C1D2+A1C1A3+A1D4D2+A1D4A3+B3C1D2+B3C1A3+B3D4D2+B3D4A3=1。 显然，不能有

22、一人同时得两个名次，也没有两人获同一名次。 因此A1C1=A1A3=D4D2=A3B3=0。代入上式得B3C1D2=1。于是B3=1，C1=1，D2=1。故C第1名，D第2名，B第3名，从而A第4名。数学直觉 有人说，数学直觉是指对数学对象或问题(性质、关系或结构)的直接领悟或觉察。 也有人说，数学直觉是指对数学对象中隐含的整体性、次序性、和谐性的领悟，能够越过逻辑推理而做出种种预见的能力。 不论如何界定，数学直觉大体有如下特征：非逻辑性、直接性、快速性、易逝性、间断性、模糊性、偶然性、自发性等。 甲乙两人进行百米赛跑，当甲跑完100米时，乙离终点还有10米。现在，让甲从起跑线后退10米，再来

23、进行一次比赛，问甲乙两人会同时到达终点吗？ 若你从甲村步行到乙村，去时每小时走8千米，返回时每小时走12千米，问你往返甲乙两村的平均速度是多少？ 若你是一个售货员，半径是5厘米的实心线球标价10元，而半径是10厘米的实心线球未标价，恰好有人要卖半径是10厘米的实心线球，你卖多少元？ 某楼房的每楼层之间的楼梯台阶数一样多，若你从1楼到4楼用时30秒，问你从1楼到8楼，需用时多长？89,.910aa bNbb设求满足的分数 要求 最小8():89819(1)9910910191091(2)1091(1),(2):8191910817917,.9191019abababaababbbabbbab 师

24、 解由得1917),(109,9819172018109181698:)(分母相加分子相加解生数学模型 分蛋糕问题：A、B两人作游戏，掷一硬币，若正面出现则A得1分，反面出现则B得1分，先得10分者胜，胜利者可得一正方形蛋糕。现在A已得8分，B已得7分，而游戏因故中断，问蛋糕应如何合理分配？（美国问题）9:78:8 第一次掷币后 第二次掷币后 10:79:89:88:9 第三次掷币后 10:710:89:910:89:99:98:10第四次掷币后 10:7 10:8 10:9 9:10 10:8 10:9 9:10 10:9 8:10 9:10 （匈牙利）证明在6个人的集会上，总有3人或者互相

25、认识，或者互不认识。 可用图论的知识建立模型。将6个人用6个点V1、V2、V3、V4、V5、V6表示，且无三点共线，如果两人互相认识，就在相应的两点间用实线连接，否则就连虚线。于是实际问题相当于证明：在6点图中，必然会有实线三角形或虚线三角形存在。 由V1向V2、V3、V4、V5、V6连5条线，根据抽屉原则，这5条线中至少有三条同为实线或同为虚线。不妨设V1V2、V1V3、V1V4同为实线(或虚线)。如果V2V3V4的三条边中，只要有一条为实线，不妨设为V3V4，则V1V3V4为实线三角形；如果V2V3V4的三条边都不是实线，那么V2V3V4就是三边同为虚线的三角形。返回到原实际问题，可知其结

26、论：总有3人互相认识或者互不认识是成立的。 整体思想2310,20092 -.xxx x 若求的值转化思想 有张纸片，把它撕成5小片，把5小片再撕成5小片，也可不撕，如此继续，问能否撕成2005片?（英国问题）类比思想 这里有一堆桃子，这是5 个猴子的公共财产，它们要平分。 第一个猴子来了，它左等右等，别的猴子都不来，它便动手把桃子均分成5 堆，还剩下一个。它认为自己辛苦了，当之无愧地把这个无法分配的桃子吃掉了，又拿走了5堆中的1堆。 第二个猴子来了，它不知道刚才发生的情况，又把桃子均分成5堆，还是多了1个，它吃了这1个，又拿1堆走了。 以后，每个猴子来了，都是如此办理。 请问：原来至少有多少

27、桃子？最后至少剩下多少桃子？帮助分类讨论 给出3、6、12、15、21、27、42、51、66、81、99诸数(数字可以重复使用)，问能否从其中取出几个来，使它们的和等于100?为什么?（美国问题） 任给的五个整数中，必有三个数之和被3整除。概率统计思想 有三扇外观完全相同的门，其中一扇门背后有一辆轿车，另两扇门后面则各有一只山羊若你猜中有轿车的那一扇门，你就获胜了现在，你猜1号门，然后主持人将2、3号门中无轿车的打开，例如3号门无轿车，现在请问你是否要换选2号门? （美国问题）帮 助 河东狮吼：某公司的办公大楼在市中心，而公司总裁的家在郊区一个小镇的附近。他每次下班以后都是乘同一次市郊火车回

28、那小镇。小镇车站离家还有一段距离，他的私人司机总是在同一时刻从家里开出轿车，去小镇接总裁回家。由于火车与轿车都十分准时，因此火车与轿车每次都是在同一时刻到站。 某一次，司机比以往迟了半个小时出发。总裁到站后，找不到他的车子，又怕回去晚了遭老婆骂，便急匆匆沿着公路步行往家里走，途中遇到他的轿车正风驰电掣而来，立即招手示意停车，跳上车子后也顾不上骂司机，命其马上掉头往回开。回到家中，果不出所料，他老婆大发雷霆：“又到哪儿鬼混去啦！你比以往足足晚回了22分钟” 总裁步行了多长时间？（美国问题）数学假设 总裁在火车站死等，迟30分钟； 只晚了22分钟，他走了轿车4分钟的路程； 若他等在火车站，则知再过

29、4分钟，轿车也到了。也就是说，他如果等在火车站，那么他也等了30-4=26分钟。所以，他走了26分钟。 提示：从“第一天没有枪声”可以推出“病狗”不只一条。 否则，假设病狗只有一条，那么病狗的主人将看到其余的49条狗都不是病狗，而题目中说明“这些狗中有一部分病狗”，所以只可能自己的狗是病狗。题目中又说，“一旦主人发现自己的狗是一只病狗，就会在当天开枪打死这条狗”，但第一天没有枪声，矛盾，因此病狗不止一条。 同理，假设只有2条病狗，不妨设主人为A，B，此时A看到48条好狗，另外B的病狗；在B看来也一样，即48条好狗，A的病狗。A会想到，为什么B不知道自己的狗是病狗呢？只能说明自己的狗也是病狗。如

30、果假设成立，就会在第二天听到两声枪声。矛盾，因此不止2条病狗。 如此一直推理下去，有10条病狗。 有一只蜗牛住在一棵梧桐树下面，一天清晨，太阳刚刚升起，蜗牛便开始从树根向树梢上爬。它爬得忽快忽慢，有时还停下来四处望一望，躲避可能发生的危险。直到太阳落山的时候这只蜗牛终于爬上了树梢，在树梢上睡了一觉。第二天清晨，也是太阳刚刚升起的时候，蜗牛开始从树梢向下爬，它沿着昨天爬行所留下的印迹，忽快忽慢地朝树根爬去。有时它也停下来望一望，或者吸食一点树汁，总体来看，朝下爬要比朝上爬轻松多了，所花费的时间也少一些。这样，当太阳还没落山的时候，蜗牛就已经爬到了梧桐树的根部，也就是昨天清晨它出发的地点。 现在请问：在蜗牛上下爬行的途中，会不会存在着这样一个点：蜗牛第一天上树时经过这一点的时刻（几时