圆有关定理行稳书屋

1、切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 如图1对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3.弦切角（如

2、图2）：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。图2图1 直线ab切o于p，pc、pd为弦，图中几个弦切角呢？（四个）Ðapc,Ðapd,Ðbpd,Ðbpc4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中Ðapc=Ðcdp等证明：如图2，连接cd、oc、op，因为Ðcpo=Ðpco,所以Ðcop=180°-2Ðcpo而Ðcpo=90°-Ðapc,故Ðcop=2Ðapc,即Ðcdp=Ðapc。5.弄清

3、和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理o中，ab、cd为弦，交于p.pa·pbpc·pd连结ac、bd，Ðc=Ðb,Ða=Ðd,所以apcdpb相交弦定理的推论o中，ab为直径，cdab于p.pc2pa·pb用相交弦定理.切割线定理o中，pt切o于t，割线pb交o于apt2pa·pb连结ta、tb，则pta=b（弦切角等于同弧圆周角）所以ptapbt，所以pt2pa·

4、pb切割线定理推论pb、pd为o的两条割线，交o于a、cpa·pbpc·pd过p作pt切o于t，用两次切割线定理圆幂定理o中，割线pb交o于a，cd为弦p'c·p'dr2op'2pa·pbop2r2r为o的半径延长p'o交o于m，延长op'交o于n，用相交弦定理证；过p作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点p向o作任一直线，交o于两点，则自定点p到两交点的两条线段之积为常数|（r为圆半径），因为叫做点对于o的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。例1.如图1，正方形abcd的边长为1，以bc为直径。在正方形

5、内作半圆o，过a作半圆切线，切点为f，交cd于e，求de：ae的值。 图1例2.o中的两条弦ab与cd相交于e，若ae6cm，be2cm，cd7cm，求ce。 图2例3.已知pa是圆的切线，pcb是圆的割线，则_。例4.如图3，p是o外一点，pc切o于点c，pab是o的割线，交o于a、b两点，如果pa：pb1：4，pc12cm，o的半径为10cm，则圆心o到ab的距离是_cm。图3例5.如图4，ab为o的直径，过b点作o的切线bc，oc交o于点e，ae的延长线交bc于点d，求证：（1）；（2）若abbc2厘米，求ce、cd的长。 图4例6.如图5，ab为o的直径，弦cdab，ae切o于a，交c

6、d的延长线于e。求证：图5例7.如图6，pa、pc切o于a、c，pdb为割线。求证：ad·bccd·ab 图6例8.如图7，在直角三角形abc中，a90°，以ab边为直径作o，交斜边bc于点d，过d点作o的切线交ac于e。求证：bc2oe。 图7例9.如图8，在正方形abcd中，ab1，是以点b为圆心，ab长为半径的圆的一段弧。点e是边ad上的任意一点（点e与点a、d不重合），过e作所在圆的切线，交边dc于点f，g为切点。 当def45°时，求证:点g为线段ef的中点； 图8【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题 1.已知：pa、pb切o于点a、b

7、，连结ab，若ab8，弦ab的弦心距3，则pa（ ） a.20/3 b.25/3 c. 5 d. 8 2.下列图形一定有内切圆的是（ ） a.平行四边形 b.矩形 c.菱形 d.梯形 3.已知：如图1直线mn与o相切于c，ab为直径，cab40°，则mca的度数（ ）图1 a. 50° b. 40° c. 60° d. 55° 4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ） a. 8cm b. 10cm c. 12cm d. 16cm 5.在abc中，d是bc边上的点，ad=cm，bd3cm，dc4cm，

8、如果e是ad的延长线与abc的外接圆的交点，那么de长等于（ ） a. cm b. cm c. cm d. cm 6. pt切o于t，ct为直径，d为oc上一点，直线pd交o于b和a，b在线段pd上，若cd2，ad3，bd4，则pb等于（ ） a. 20 b. 10 c. 5 d. 二、填空题 7. ab、cd是o切线，abcd，ef是o的切线，它和ab、cd分别交于e、f，则eof_度。 8.已知：o和不在o上的一点p，过p的直线交o于a、b两点，若pa·pb24，op5，则o的半径长为_。 9.若pa为o的切线，a为切点，pbc割线交o于b、c，若bc20，pa=，则pc的长为_。 10.正abc内接于o，m、n分别为ab、ac中点，延长mn交o于点d，连结bd交ac于p，则=_。三、解答题 11.如图2，abc中，ac2cm，周长为8cm，f、k、n是abc与内切圆的切点，de切o于点m，且deac，求