旋转题(含答案)

1、图形变换 (2015江西）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”例如图1，图2，图3中，AF，BE是ABC的中线，AFBE，垂足为P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”设BCa，ACb，ABc特例探索(1)如图1，当ABE45°，c时，a ，b ； 如图2，当ABE30°，c4时，a ，b ；归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；拓展应用(3)如图4，在ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BEEG，AD，AB3求AF的长解：（1）如图1，连接EF,则EF是A

2、BC的中位线， EF=, ABE=45°,AEEF ABP是等腰直角三角形， EFAB ，EFP也是等腰直角三角形， AP=BP=2 ，EP=FP=1, AE=BF=, . 如图2，连接EF,则EF是ABC的中位线.ABE=30°,AEBF,AB=4 AP=2, BP=,EF, PE=,PF=1, AE=, BF= , . (2) 如图3，连接EF， 设AP=m ,BP=n.,则 EF, PE=BP=n , PF=AP=m, , , , （3）如上图，延长EG,BC交于点Q, 延长QD,BA交于点P,延长QE,BE分别交PB，PQ于点M,N,连接EF.四边形ABCD是平行四

3、边形，ADBC, ABCD,E,G是分别是AD,CD的中点，EDGQCGEAM, CQ=DE=, DG=AM=1.5，BM=4.5.，BP=9, M是BP的中点；ADFQ, 四边形ADQF是平行四边形，AFPQ,E,F分别是AD，BC的中点，AEBF, 四边形ABFE是平行四边形，OA=OF,由AFPQ得： , , PN=QN, N是PQ的中点；BQP是“中垂三角形”， , （2013江西）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DFAB于点F，EGAC

4、于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）AF=AG=AB；MD=ME；整个图形是轴对称图形；MDME（2）数学思考：在任意ABC中，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：（i）在任意ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断MED的形状（ii）在三边互不相等的ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直

5、角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论此时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由解：（1）ADB和AEC是等腰直角三角形，ABD=DAB=ACE=EAC=45°，ADB=AEC=90°在ADB和AEC中， ADBAEC（AAS）， BD=CE，AD=AE，DFAB于点F，EGAC于点G， AF=BF=DF=AB，AG=GC=GE=ACAB=AC， AF=AG=AB，故正确；M是BC的中点，BM=CMAB=AC，ABC=ACB，ABC+ABD=ACB+ACE，即DBM=ECM在DBM和ECM中 DBMECM（SAS）

6、， MD=ME故正确；连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，整个图形是轴对称图形，故正确AB=AC，BM=CM， AMBC，AMB=AMC=90°，ADM=90°，四边形ADBM四点共圆，AMD=ABD=45°AM是对称轴， AME=AMD=45°，DME=90°， MDME，故正确，故答案为：（2）MD=ME，理由：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG， AF=AB，AG=ACABD和AEC是等腰直角三角形， DFAB，DF=AB，EGAC，EG=AC，AFD=AGE=90°，DF

7、=AF，GE=AGM是BC的中点， MFAC，MGAB，四边形AFMG是平行四边形，AG=MF，MG=AF，AFM=AGMMF=GE，DF=MG，AFM+AFD=AGM+AGE，DFM=MGE在DFM和MGE中，DFMMGE（SAS），DM=ME；（3）i点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，MFAC，MF=AC，MGAB，MG=AB，四边形MFAG是平行四边形，MG=AF，MF=AGAFM=AGMADB和AEC是等腰直角三角形，DF=AF，GE=AG，AFD=BFD=AGE=90°MF=EG，DF=MG，AFMAFD=AGMAGE，即DFM=MGE在DFM和MGE中，DFMMG

8、E（SAS），MD=ME，MDF=EMGMGAB，MHD=BFD=90°，HMD+MDF=90°，HMD+EMG=90°，即DME=90°，DME为等腰直角三角形；ii如图4，ADB和AEC是直角三角形，ADB=AEC=90°，当BAD=CAE时，DM=EM理由：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，MF=AC，MFAC，MG=AB，MGAB，四边形AFMG是平行四边形，MF=AG，MG=AF，AFM=AGMADB=AEC=90°，DF=AF，EG=AG，DF=MG，MF=EG，FDA=DAF，AEG=GAEBAD=C

9、AE，FDA=DAF=AEG=GAE，AFD=AGE，AFDAFM=AGEAGM，即DFM=MGE在DFM和MGE中，DFMMGE（SAS），DM=ME（2014南昌）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依次操作下去（1）图2中的EFD是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH请判断四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与

10、BF的数量关系是AE=BF；以中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围；（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由解：（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则DEF为等边三角形在RtADE与RtCDF中，RtADERtCDF（HL）AE=CF设AE=CF=x，则BE=BF=4x BEF为等腰直角三角形 EF=BF=（4x）DE=DF=EF=（4x）在RtADE中，由勾股定理得：AE2+AD2=DE2，即：x+42=（4x2，解得：x1=84

11、，x2=8+4（舍去） EF=（4x）=44DEF的形状为等边三角形，EF的长为44（2）四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，四边形EFGH的形状为正方形1+2=90°，2+3=90°，1=33+4=90°，2+3=90°，2=4在AEH与BFE中，AEHBFE（ASA）AE=BF利用中结论，易证AEH、BFE、CGF、DHG均为全等三角形，BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4xy=S正方形ABCD4SAEH=4×44×x（4x）

12、=2x28x+16y=2x28x+16（0x4）y=2x28x+16=2（x2）2+8，当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16，y的取值范围为：8y16（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，可能为正多边形，边长为44如答图2所示，粗线部分是由线段EF经过7次操作所形成的正八边形设边长EF=FG=x，则BF=CG=x，BC=BF+FG+CG=x+x+x=4，解得：x=44(2) 证明：ACAB且EFBC，AEAF；由旋转的性质可知：EACFAB，AEAF， 在CAE和BAF中，CAEBAF，CEBF (3)存在CEAB，理由：由(1)可知AEBC，所以，在AEF

13、绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图：当点E的像E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，BAMABC72°，又BAC36°，CAM36°当点E的像E与点N重合时，由ABl得，AMNBAM72°，AMAN，ANMAMN72°，MAN180°2×72°36°，CANCAMMAN72°所以，当旋转角为36°或72°时，CEAB（1）证明：B1CB=45°，B1CA1=90°，B1CQ=BCP1=45°。在B1CQ和BCP1中，B1CQBCP1（ASA）。CQ=CP1。（2）如图，过点P1作P1DCA于D，A=30