【全国百强校word】河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理数试题

1、 数学试卷（理科）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合中至少有3个元素，则（ ）A B C D2.若，则等于（ ）A1 B C D3.在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ）A5 B6 C4 D3 4.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）A B C. D5.执行如图所示的程序框图，则输出

2、的结果为（ ）A4 B9 C.7 D56.已知函数的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）A函数的最小正周期为 B函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 C.函数的图象关于直线对称 D函数在区间上单调递增7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：；函数是偶函数；任意一个非零有理数，对任意恒成立；存在三个点，使得为等边三角形.其中真命题的个数是（ ）A4 B3 C.2 D18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A10 B20 C.40 D609.已知、是椭圆长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率

3、分别为，若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）A1 B C. D10.在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ）A36 B C. D11.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C. D12.已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点（在轴上方），满足，则以为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）A B C. D第卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若、满足约束条件，则的最大值为 14.在中，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为 15.已知数列的各项均为正数，若数列的前项和为5，则

4、 16.过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线的准线的的交点为，点在抛物线的准线上的射影为，若，则抛物线的方程为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在中，内角、所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）求的面积.18. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，平面平面.（1）求证：；（2）设点、分别是，的中点，试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（3）求二面角的余弦值.19. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于

5、，.（1）若点在第一象限，且直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，求的值；（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.20.（本小题满分12分）设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过与垂直的直线交轴负半轴于点，且.（1）求椭圆的离心率；（2）若过、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；（3）过的直线与（2）中椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知，设函数.（1）存在，使得是在上的最大值，求的取值范围；（2）对任意恒成立时，的最大值为1，求的取值范围.

6、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线（为参数）和定点，、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线的直角坐标方程；（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设.（1）解不等式；（2）若存在实数满足，试求实数的取值范围.2016-2017学年度高三上学期四调考试高三年级数学试卷（理科）一、选择题1-5：CCDCB 6-10:DABAA 11、12：BC二、填空题13.2 14.8 15.12

7、0 16.三、解答题17.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）在中，因为，所以，即，又，.（2）由（1）知，从而.因此，.所以，所以的面积为.18.证明：（1）连接，在正方形中，平面，因为平面，所以.（2）平面，理由如下：取的中点，连接、，因为是的中点，所以，且，因为是的中点，所以.在正方形中，所以，且.四边形为平行四边形，所以.因为，所以.（3）在平面内过点作，由（1）可知：，以点为坐标原点，分别以、所在的直线为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则.在菱形中，所以，.设平面的一个法向量为.因为即，所以即，由（1）可知：是平面的一个法向量.所以，所以二面角的余弦值为.19.【答案】（

8、1）；（2）；（3）36.试题解析：（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即 又点在椭圆上，所以 联立，解得，所以，所求圆的方程为 （2）因为直线和都与圆相切，所以，化简得，因为点在椭圆上，所以，即，所以（3）方法一（1）当直线、不落在坐标轴上时，设，由（2）知，所以，故，因为，在椭圆上，所以，即，所以，整理得，所以，所以.方法（二）（1）当直线，不落在坐标轴上时，设，联立，解得，所以.同理，得，由（2），得.所以.（2）当直线、落在坐标轴上时，显然有.综上：.20.试题解析：（1）由题，为的中点.设，则，由题，即，即，.（2）由题外接圆圆心为斜边的中点，半径，由题

9、外接圆与直线相切，即，即，故所求的椭圆的方程为.（3）设，由题异号，设的内切圆的半径为，则的周长为，因此要使内切圆的面积最大，只需最大，此时也最大，由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，由韦达定理得，（），令，则，当时，有最大值3，此时，故的内切圆的面积的最大值为，此时直线的方程为.21.解析：（1），当时，在上单调递增，在单调递减，在单调递增，由，得在时无解，当时，不合题意；当时，在单调递增，在递减，在单调递增，即，当时，在单调递增，在单调递减，满足条件，综上所述：时，存在，使得是在上的最大值.（2）对任意恒成立，即对任意恒成立，令，根据题意，可以知道的最大值为1，则恒成立，由于，则，当时，则，若，则在上递减，在上递增，则，在上是递增的函数.，满足条件，的取值范围是.22.解：（1）曲线可化为，其轨迹为椭圆，焦点为，.经过和的直线方程为，即.（2）由（1）知，直线的斜率为，因为，所以的斜率为，倾斜角为，所以