信号与系统第三章周期信号的fourier级数表

1、(1)复指数函数作为线性时不变系统的特征函数(2)连续时间周期信号的傅里叶级数表示(3)计算傅里叶系数(4)ctfs的性质第第3章章 周期信号的傅里叶级数表示周期信号的傅里叶级数表示3.1连续时间周期信号的傅里叶级数表示(ctfs)基信号的特性a.我们可以用这些基来构建一类信号;b.线性时不变系统对这些基信号的响应是非常简单的;以往的焦点：单位抽样信号和冲击现在的焦点：线性时不变系统的特征函数特征函数和它的特性（这里关注连续时间系统，但对离散时间系统也同样适用） kkktt 系统特征值特征函数输入特征函数 输出是带有增益的同一函数由线性时不变系统的叠加特性 kkkx tat线性时不变系统 kk

2、kky tat现在确定线性时不变系统的响应即是确定k 复指数可作为任何线性时不变系统的特征函数 s tsststy thedhedeh s e特征值特征函数 stx teh t nx nzh n n mmmnmny nh m zh m zzh z z特征值特征函数 ststh s eex th ty t sth sh t edt kks ts tkkkkkx ta ey th sa e nnkkkh zzznnnnkkkkkkkx nh ny nh zh n zx na zy nh za z 离散时间系统：什么样的信号可以表示为复指数的和？sj纯虚数j t形式为e 的信号这里关注限定的复指数连

3、续时间系统：例如：离散时间系统：jzej ne形式为的信号例如：幅值1连续与离散周期信号的傅里叶级数与傅里叶变换连续周期信号的傅里叶级数表示 x tx ttt取任意值j te这里最小的t是基本周期02=t是基本频率以t为周期的周期函数0k 02jktjkt tkkkkx ta ea e ka以t为周期的周期函数 是傅里叶级数的系数k=0 直流k=1 一次谐波k=2 二次谐波 4488cos42sin81222jtjtjtjtx ttteeeej问题1：我们怎样得到傅里叶系数？首先，简单周期信号由几个正弦项组成例如：公式（欧拉定理）04022142t00a 无直流分量112a 112a21aj3

4、0a 30a21aj 对于实周期信号，傅里叶级数还有其他两种常用的形式 1cossinokokokx taktkt或者 1cosokokkx takt由于 的特征函数性质，我们通常使用复指数形式j te这样做的结果是，我们需要包括正负两个频率项j tej te注意0000001cos21sin2jktjktjktjktkteekteej现在对问题一给出完整答案假设 0jktkkx ta e（给出 如何找出 ） x tka1）乘以 0jnte2）在一个周期内积分1）乘以 0jnte2）在一个周期内积分 0000jntjktjntkttkj k ntktx t edta eedtaedt这里 表示

5、积分任意长度为t（一个周期）的积分区间t然后注意到： 000,0,j k nttj k ntjntkkttkkt knedttknknx t edtaedta tkn 0jntntx t edta t连续时间周期信号的fourier级数 0jktkkx ta e合成方程 01jktktax t edtt解析方程02t其中例如：周期性方波 210221tttax t dttt当k=0 100102210 101011sin12ttjktjktkttjktax t edtedttttktetjktkt当k0周期性方波 210221tttax t dttt当k=0 100100 10 10 10 1

6、22110000 10 100111121 ()2sin22 sin ttjktjktkttjktjktjktjktjktax t edtedtttteeetjktjkteektjktktktkt当k0于是 00 11(0)sin2jktkkkttx tetk连续时间傅里叶级数对 直接记住， 将来跳过此运算过程02=)t（02/( )jktjkt tkkkkx ta ea e01( )jktktax t edtt() f skxta另一个例子（重要！）：周期脉冲序列 采样公式， 对于采样很重要 对于所有k均成立！ 所有的成分均含有： (1)相同的振幅； (2)相同的相位。00/2/2/2/21

7、1( )( )ttjktjktkttax t edtt edttt1t( )()nx ttnt01( )jktkx tet连续时间傅里叶级数的几个性质 线性 共轭对称性 x(t)是实数 或者说 时移性 引入一个线性相移( )( )kkx ty tab( ), ( )kkx tay tb*kkaa reimkkkaaja|kj akae reimkkaa是偶的，是奇的|kkaa是偶的，是奇的( )kx ta0 002/0()jktjkttkkx tta ea e例子：移动半个周期0/2( 1)( )(/ 2)=( 1)kjktjkkkkky tx tta ea eat （）1( )()knax

8、ttntfouriert是的系数注意: 帕塞瓦尔定理 无论在时间域还是频率域能量也具有相同的关系 乘积性质 （无论x(t),y(t)均以t为周期）证明：221( )kktx tdtat th在 k谐 波 处 的 功 率平 均 信 号 功 率x( ), ( )bkktay tx( ). ( )*klklkklty tca bab0000(),( )( ).kjltjmtj lmtjktlmlmlkllml mklx ty tca eb ea b elmka be 周期卷积x(t),y(t)均以t为周期 并不十分有意义例如：假设x(t),y(t)均为正数，则( )* ( )( ) ()x ty t

9、xy td( )* ( )x ty t 周期卷积周期卷积：可以在任意一个周期上求积分（如-t/2t/2）当t/2/2( )( ) ()( ) ()ttz txy tdxy td()tx t ( )0 x t/ 2/ 2ttt 其他周期卷积实质1）z(t)是以t为周期的对于lti系统在卷积中，把y(t)当做输入， 当做h(t)。2）我们可以选任意周期做积分：3）时间域 周期卷积 频率域乘法！t( )( ) ()( )( )z txy tdx ty t( )txt( )()( )()x tx tty ty tt( ), ( ), ( )kkkx tay tb z tc0011( )( ) ()jk

10、tjktktttcz t edtxy tdedttt 00()1()( )kjktjkttby tedt xedt 0()jkkkktb xedta b xn以n为基本周期，基频 仅仅以n为周期的 会出现在fs中 仅有这种形式的n个离散信号 因此我们仅能够使用j ne02 x nnx nn且02,0, 1, 2,.nkkk 00002()nj k nnjknjnnjkneeee0000012(n-1,.,jnjnjnjneeee）3.2离散时间周期信号的傅里叶级数表示(dtfs)离散时间傅里叶级数表示 对于任意n，连续的k值的和 这是有限级数 傅里叶（级数）系数 问题：1）什么样的离散时间周期

11、信号有如此表示方式？2）我们怎样找到 ？ kn(2 /) jkn nkknx na eka ka回答问题#1 任何一个离散时间周期信号都有一个傅里叶级数表示。. . n个方程为了求n个未知数：011a ,a ,.,an0 jknkknx na e01jkkknxa e022j kkknxa e0(1)1j nkkknx na e0kknxa一个更直接的方法来求解有限几何级数ka1011nnnnna ,1,10jke0(2/)101jkn njknee 00112/00nnnnjknjkjknnnnneee,0, 2 ,.knn, 其 他因此，由两边均乘以 然后0 xn=jknkkna e0jm

12、nenn000 jmnjknjmnknnnnknx n ea ee0()j k mnkknnnnk mae 正交=nma离散时间傅里叶级数对把 看作是在所有整数k上被定义是方便的，因此：1） 离散时间傅里叶系数的特殊性质；2）在综合方程中我们仅仅使用n个连续的 值（xn是周期的，无论时间域还是频率域它均被n个数指定）。02n0 jknkknx na e01 jknknnax n en（综合方程）（分析方程）k+nkaakaka例#1：一对正弦曲线求和以n=16为周期 cos/8cos/4/4x nnn0/ 8000022/4/411 22jnjnjnjnjjx neeeeee00a 30a 3

13、0a11/2a 11/2a/42/ 2jae151 1611/2aaa /4662 4 162/2jaaae ./42/2jae例#2：离散时间方波11106211.nnnnnnnax naaann 因为kn的倍数:1用n=m-n1100112()011nnjknjkm nknnmaeenn011010010(21)20111()1jknnjknjkjknmjkmeeeenne1010sin (1/2)sin2(1/2)/11sin(/2)sin(/)k nk nnnknk n例#2：离散时间方波1sin2(1/2)/1sin(/)kk nnank n离散时间傅里叶级数的收敛问题： 不是一个问

14、题，因为所有的级数都是一个有限的和。离散时间傅里叶级数的性质：很多，与连续时间傅里叶级数一样。例如： kx na0 ?jmnkex nb000 jmnjrnjmnrrnx n ea ee0jknkmknaekrmkk mba00()jkj km频移习题:例3.3,例3.4,例3.5,例3.6,例3.7,例3.8,例3.9;例3.10,例3.11,例3.12,例3.13,例3.14再讲周期序列的傅立叶级数周期序列的傅立叶级数（dfs-discrete fourier seriesdfs-discrete fourier series）周期序列的另一种写法周期序列的另一种写法: :一个周期为n的周

15、期序列，对于所有n满足式中n为正整数。定义n=0到n-1的周期区间为的主值区间主值区间，而主值区间内的n个样本值组成的有限长序列称为的主值序列主值序列，即这一过程称为取主值序列。 x n ,x nx nkn k为整数 x n x n对于一个有限长序列如将其以n为周期进行周期性延拓，得到周期序列 。 01 0 x nnnx nn为其它值 x n21j01 nknnkx nx k en21j0 nknnnx kx n e正变换正变换(分析式分析式)：反变换（综合式）：反变换（综合式）：dfs的另一种写法的另一种写法:.离散傅立叶级数的性质离散傅立叶级数的性质假定和是周期皆为n的两个离散周期序列，它

16、们的dfs为、线性、线性式中为任意常数，可见由两个离散周期序列和线性组合成一个新的周期序列的dfs也是周期为n的离散周期序列。 )(1nx)(2nx)()(11nxdfskx)()(22nxdfskx)()()()(2121kxbkxanxbnxadfsba,)(1nx)(2nx)()(21nxbnxa、移位特性、移位特性时域移位 频域移位 如果n,那么证明： lm,)()(kxwmnxdfsmkn)()( nxwlkxidfsnln)(mod),()(nmmkxwmnxdfskmn)(mod),()(nllnxwlkxidfsnln)()()()()(1010lnlkxwnxwnxwnxwd

17、fsnklnnnnknnnnlnn)()()()()(10110kxwwixwwwixwmnxmnxdfsmkniknnimknmkniknmnminknnn、时域卷积特性、时域卷积特性两个周期都为n的周期序列和，它们卷积的结果也是周期为n的周期序列，即 m的取值由0（n-1），因此称为周期卷积。)(1nx)(2nx1021)()()(nmmnxmxny05n000000555555mmmmmm111234图图 两个周期序列两个周期序列(n=6)的周期卷积过程的周期卷积过程)( ny)5(2mx)2(2mx)1(2mx)(2mx)(2mx)(1mx周期卷积与dfs的关系如下：设 若 则有 这就

18、是时域卷积定理。这就是时域卷积定理。)()(11nxdfskx)()(22nxdfskx)()(nydfsky1021)()()(nmmnxmxny)()()(21kxkxky证明：)()()()()()( )()()()()(21101211010)(2110102110kxkxwmxwmxwwmnxmxwmnxmxwnynydfskynmmnmmkmnmknnmnnmknkmnnnnnknnmnnnkn 、频域卷积特性、频域卷积特性 对于时域周期序列的乘积，同样对应于频域的周期卷积。若 则)()()(21nxnxny1021)()(1)()(nllkxlxnnydfsky内容延伸内容延伸离散傅立叶变换离散傅立叶变换设x(n)是长度为n的有限长序列，可以把它看作是周期为n的周期序列的一个主周期，即而将看作是x(n)以n为周期进行周期延拓的结果，表为同理 ，则周期序列 在一个周期内的dfs，叫做有限长序列x(n)的离散傅立叶变换)(nx)(nx)()(010)()(nrnxnnnnxnxn为其它值nkxkx)()()()()(krkxkxnnnxnx)()()(nx正变换（分析式）反变换（综合式）1010( )(